專題24.3弧、弦、圓心角目錄TOC\o"12"\h\u一．知識梳理與題型分類精析 1知識點1：圓心角 1【題型1】圓心角的判斷 1【題型2】與圓心角概念相關(guān)運(yùn)算 2活動探究： 5知識點2：圓心角定理 5【題型3】利用圓心角定理求值 5【題型4】利用圓心角定理證明 7知識點3：圓心角定理推論 11【題型5】利用圓心角定理推論求值 11【題型6】利用圓心角定理推論證明 14小結(jié)： 18二.同步練習(xí) 18【基礎(chǔ)鞏固（16題）】 18【能力提升（16題）】 31【中考真題3題】 49知識梳理與題型分類精析實際上，圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心.不僅如此,把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度,所得的圖形都與原圖形重合.利用這個性質(zhì)，我們還可以得到圓的其他性質(zhì).知識點1：圓心角【題型1】圓心角的判斷【例題1】（2425九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是（）【答案】B【分析】本題考查圓心角的概念，確定一個角是否是圓心角，只要看這個角的頂點是否在圓心上，頂點在圓心上的角就是圓心角，否則不是．故選：B．【變式】（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）下列圖形中的角是圓心角的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是圓心角的概念，掌握頂點在圓心的角是圓心角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓心角的概念解答．解：A、頂點沒在圓心，不是圓心角，故選項不符合題意；B、是圓心角，故選項符合題意；C、頂點沒在圓心，不是圓心角，故選項不符合題意；D、頂點沒在圓心，不是圓心角，故選項不符合題意；故選：B．【題型2】與圓心角概念相關(guān)運(yùn)算A． B． C． D．【答案】B故選：B．【答案】1本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及圓的相關(guān)知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．解：連接，，故答案為：1

【答案】144°/144度【點撥】此題考查了同弧所對的圓心角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．活動探究：知識點2：圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.【題型3】利用圓心角定理求值（2）若E為的中點，求的長．【答案】（1）見分析；（2）2【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，三線合一，勾股定理：【答案】C∵是直徑，故選：C【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．解：點是弧的中點，故選：B．【題型4】利用圓心角定理證明【答案】證明見分析【分析】本題考查的是弧、圓心角、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線．構(gòu)造出全等三角形及圓心角是解題的關(guān)鍵．解：證明：連接，，，【答案】CD項，連接、，∴垂直平分，C項，根據(jù)圖形只能證明垂直平分，不能證明垂直平分，故該項不正確，符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定，同圓中相等的圓心角所對應(yīng)的弧也相等等知識，掌握等腰三角形的判定，是解答本題的關(guān)鍵．【答案】故答案為：．進(jìn)一步研究還可以得到知識點3：圓心角定理推論在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等.【題型5】利用圓心角定理推論求值（3）在（2）的基礎(chǔ)上求的值．解：（1）解：如圖，連接，【點撥】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．A． B． C． D．【答案】D解：連接，如圖：故選：D．

A． B． C． D．【答案】C故選：C．【題型6】利用圓心角定理推論證明【答案】（1）證明見分析；（2）證明見分析（2）證明：由題意，畫出圖形如下：∵點為的中點，【點撥】本題考查了弧與圓心角的關(guān)系、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、矩形的判定等知識，熟練掌握弧與圓心角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【答案】D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系、三角形中位線定理、三角形的三邊關(guān)系判斷即可．本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．C、∵大圓半徑是小圓半徑的2倍，故選：D．【變式2】（2324九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條?。阎喝鐖D，是的直徑，__________________．求證：__________________．

【答案】見分析【分析】先根據(jù)已知畫圖，然后寫出已知和求證，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系及三線合一進(jìn)行證明即可．證明：連接、，

【點撥】本題考查的是垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，三線合一，解答此題的關(guān)鍵是掌握推理論證的一般方法．小結(jié)：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等。二.同步練習(xí)?【基礎(chǔ)鞏固（16題）】一、單選題A．8 B．9 C．6 D．4【答案】A故選：A．【答案】D【分析】本題主要考查垂徑定理的推論和勾股定理的知識，根據(jù)垂徑定理的推論可知垂直平分，再根據(jù)勾股定理計算長度即可．∵是的直徑，∴垂直平分，故選：D．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，熟練掌握圓周角的度數(shù)等于其所對的弧的度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵．連，根據(jù)圓周角的度數(shù)等于其所對的弧的度數(shù)的一半即可得解．解：證明：如圖，連接，∵的度數(shù)為，的度數(shù)為，故選：A．

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，

故選：．A．8 B．6 C． D．【答案】B故選B．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D解：連接、，

故選：D．二、填空題【答案】/度解：∵點D是的中點，故答案為：．

【答案】/度【分析】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系，角的和差等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．∵點為弧中點，故答案為：．

【答案】/80度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識點，解：連接，

故答案為：．【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，【答案】/78度故答案為：．【點撥】本題考查圓的弧長公式，圓心角與弧的關(guān)系，掌握圓的弧長公式，圓心角與弧的關(guān)系是解題關(guān)鍵．三、解答題【答案】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題關(guān)鍵．解：如圖，連接，（2）能否求出的長?若能，求出的長，若不能，請說明理由．【分析】本題考查的是弧，弦，圓心角之間的關(guān)系定理；【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)圓的半徑長為，∴圓的半徑長為．16．（2425九年級上·江西九江·期中）追本溯源題（1）來自課本中的習(xí)題，請你完成解答，提煉方法并解答題（2）．方法應(yīng)用【分析】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同圓或等圓中，弦、弧之間的關(guān)系得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理即可求解．【能力提升（16題）】一、單選題【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．解：點是弧的中點，故選：B．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題關(guān)鍵．解：連接，，如圖：∵是是半圓O的直徑，故選：D．A．3 B．6 C．6 D．6【答案】B【分析】本題考查圓周角定理的推論，等邊三角形的判定及性質(zhì)．解：連接，，，，故選：BA．4 B．5.5 C． D．【答案】C解：連接，如圖，設(shè)的半徑為r，∵點C是弧的中點，即的半徑為．故選：C．【答案】C解：如圖所示，連接．∵點D是的中點，故選：C．

A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B故選：B．二、填空題【答案】相等解：連接，故答案為：相等．【答案】100解：連接、、．故答案為：．【答案】故答案為：．10．（2324九年級上·江蘇蘇州·期中）將半徑為5的如圖折疊，折痕長為6，C為折疊后的中點，則長為．【答案】3∵C為折疊后的中點，∴垂直平分，∴C點和D點關(guān)于對稱，故答案為：3．【答案】3解：如圖，連接，，圖中與相等的線段有條，故答案為：．【答案】解：如圖，連接，，∵E為的中點，當(dāng)，，共線時，的值最小，如圖，故答案為：．三、解答題【答案】【分析】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求的半徑．【分析】此題考查了等弧所對的圓心角相等，垂徑定理，勾股定理，等邊對等角等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．如圖所示，連接，，∴的半徑為10．15．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測）如圖，的直徑垂直弦于點E，F(xiàn)是圓上一點，D是的中點，連接交于點G，連接．【答案】（1）證明見分析；（2）解：（1）證明：∵是的中點，（2）解：如圖，連接，【點撥】本題考查了圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理．熟練掌握圓的基本性質(zhì)、三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．【答案】（1）見分析；（2）解：（1）證明：如圖1，延長交于F，連接，，，∵點D為優(yōu)弧的中點，∴點D在線段的垂直平分線上，∴點O在線段的垂直平分線上，（2）解：連接并延長交于F，設(shè)的半徑為x，【點撥】本題主要考查圓心角定理的推論、線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【中考真題3題】一、單選題

【答案】A

故選A．【點撥