專題12圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。模型1.米勒最大張角（視角）模型【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大?！灸Ｐ妥C明】如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大?！窘忸}關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。例1．（2023·江蘇九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在足球比賽中，甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T，當(dāng)他帶球沖到點(diǎn)A時(shí)，同伴乙已經(jīng)沖到點(diǎn)B，此時(shí)甲是直接射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好？（僅從射門角度大小考慮）【答案】甲將球傳給乙，讓乙射門好【分析】設(shè)AQ交⊙O于點(diǎn)M，連接PM，則∠B＝∠PMQ，因?yàn)椤螾MQ是△PAM的一個(gè)外角，由外角性質(zhì)得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，即可分析求得答案．【詳解】解：甲將球傳給乙，讓乙射門好，理由如下：如圖所示，設(shè)AQ交⊙O于點(diǎn)M，連接PM，則∠B＝∠PMQ，因?yàn)椤螾MQ是△PAM的一個(gè)外角，所以僅從射門角度考慮，甲將球傳給乙，讓乙射門好．【答案】B【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理,勾股定理,坐標(biāo)與圖形，掌握相關(guān)定理性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP=．【答案】4?2【分析】先確定P點(diǎn)的位置，畫出輔助圓，再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切，且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的⊙O上時(shí)，∠DPM的度數(shù)最大，此時(shí)，P點(diǎn)即為切點(diǎn)，連接OP，∴OP⊥BC，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，∴DM=2，過O點(diǎn)作OE⊥DM于E，∴DE=1，延長(zhǎng)PO，交AD于點(diǎn)F，∴OF⊥AD，∴四邊形OEDF和四邊形PCDF都是矩形，∴OF=DE=1，∴OP=4?1=3，連接OD，則OD=3，∴DF=O∴PC=DF=22，∴BP=4?PC=4?22，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問題，涉及到了正方形性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．(1)如圖2所示，AB為球門，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿CD行進(jìn)時(shí)，，，為其中的三個(gè)射門點(diǎn)，則在這三個(gè)射門點(diǎn)中，最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)______；②過MN中點(diǎn)O作OF⊥AB于F，交AQ于P，【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，解題關(guān)鍵恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，熟練運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求解．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的外心，三角函數(shù)定義，二次函數(shù)與三角形面積計(jì)算，二次函數(shù)與圓的綜合等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模型。。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最?。弧鰽BC的面積最??；△ABC的周長(zhǎng)最小。證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin。∵OA+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcosa≥h，.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；【分析】利用直角三角形性質(zhì)求解即可．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例2、（2023·重慶·九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，則四邊形BCFE面積的最大值為．解：將△DCF向左平移，使DC與AB重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，∵∠ABE+∠FCD＝90°，∴∠GBE＝90°，作△BGE的外接圓O，連接OB，則OB≥AB，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，OB取得最小值，最小值為2，∴GE的最小值為4，∴△GBE的面積最?。健罣E?AB＝×4×2＝4，∵四邊形BCFE＝矩形ABCD的面積﹣△ABE的面積﹣△CDF的面積＝矩形ABCD的面積﹣△GBE的面積，∴當(dāng)△GBE的面積最小時(shí)，四邊形BCFE的面積有最大值，∴四邊形BCFE最大＝2×12﹣4＝20，∴四邊形BCFE面積的最大值為20．故答案為：20．例3．（2023·陜西咸陽·?？级＃締栴}提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_______；【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；【詳解】解：（1）∵圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，交平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，將四邊形面積最小問題轉(zhuǎn)化為三角形面積最小是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東·校考一模）問題提出：（1）如圖①，已知在邊長(zhǎng)為10的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝6，連接AD，則△ACD的面積為；問題探究：（2）如圖②，已知在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面積；問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的△AEF？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、正弦的定義求出AH，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案；（2）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；【詳解】（1）如圖①，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴△ACD的面積＝×CD×AH＝×4×10?sin60°＝10，故答案為：10；（2）如圖②，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，AF=AH,∠EAH＝∠EAF，AE=AE，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15；（3）把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，則AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，過點(diǎn)E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，設(shè)△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R，則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4，∴△AGE的面積≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，∴△AGE的面積的最小值為16﹣16，∴△AEF的面積的最小值為24﹣24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等，較為綜合，根據(jù)圖形作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·重慶·?？既＃﹩栴}探究（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝．（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請(qǐng)求出四邊形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運(yùn)”，園藝師將花壇設(shè)計(jì)成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造型設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°，現(xiàn)需要在△AEF的區(qū)域內(nèi)種植甲種花卉，其余區(qū)域種植乙種花卉．已知種植甲種花卉每平方米需200元，乙種花卉每平方米需160元．試求按設(shè)計(jì)要求，完成花卉種植至少需費(fèi)用多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)和判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形和四邊形的面積問題等知識(shí)，利用四點(diǎn)共圓及圖形的旋轉(zhuǎn)變換是解決本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練【答案】B【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、圓的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．

【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問題，涉及到了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．4．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE∽△ABC，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接NE，當(dāng)線段NE最短時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖，連接EC，作AH⊥BC于H．首先證明EC⊥BC，推出EN⊥EC時(shí)，EN的值最小，解直角三角形求出CH，DH即可解決問題；【詳解】解：如圖，連接EC，作AH⊥BC于H．∵△ABC∽△ADE，∴∠AED=∠ACD，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠DAE+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAE=90°，∴EC⊥BC，∴NE⊥EC時(shí)，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于G．在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3，∴AC=4，∵NE∥AG，AN=NC，∴GE=EC=，∵∠HAG=∠DAE，∴∠DAH=∠EAG，∵∠AHD=∠G=90°，∴△AHD∽△AGE，【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考填空題中的壓軸題．5．（2023·廣東·一模）已知點(diǎn)O為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線距離為4，點(diǎn)A、B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB＝30°。則△ABO的面積最小值為．解：如圖，過點(diǎn)O作直線l′∥直線l，則直線l與直線l′之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OB′，AB′，AB′交直線l′于點(diǎn)T，連接BT，過點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過點(diǎn)T作TW⊥AB于W．在Rt△ABB′中，AB＝＝，∴AB′的值最小時(shí)，AB的值最小，∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴當(dāng)A，O，B′共線時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)AB的值最小，∵直線l垂直平分線段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B，∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB，∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴＝，∴可以假設(shè)TH＝k，AT＝TB＝2k，∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝＝2k，∵S△TAB＝?AB?TW＝?TB?AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4，∴△ABO的面積最小值為＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案為：64﹣16．6．（2023·廣西·九年級(jí)期中）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上（不與B、C重合）．（1）如圖（1），若四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，連CF．①求∠BCF的大?。虎谌鐖D（2），點(diǎn)G是CF的中點(diǎn)，連DG、ED，若DE＝6，求DG的長(zhǎng)；（2）如圖（3），若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M在AD邊上，∠AEM＝60°，CD＝9，求線段AM的最小值．解：（1）①如圖（1），在AB上取一上點(diǎn)H，使AH＝CE，連接EH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴BE＝BH，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵AE＝EF，∴△AHE≌△ECF（SAS），∴∠BCF＝∠AHE＝135°；②如圖（2），在AB上取一上點(diǎn)H，使AH＝CE，連接EH，BD，由①知：△AHE≌△ECF，∴EH＝CF，設(shè)BE＝2x，則EH＝CF＝2x，∵G是CF的中點(diǎn)，∴CG＝x，∴＝＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD＝CD，∴＝，∵∠DBE＝∠DCG＝45°，∴△DBE∽△DCG，∴＝＝，∵DE＝6，∴＝，∴DG＝3；（2）如圖（3），作△AEM的外接圓O，過點(diǎn)O作ON⊥AM于N，連接OA，OE，OM，∵∠AEM＝60°，∴∠AOM＝120°，∵ON⊥AM，∴AN＝MN，∠AON＝∠NOM＝60°，∴∠OAN＝∠OMN＝30°，設(shè)ON＝a，則OA＝2a，AN＝a，則OE+ON≥AB，即當(dāng)E，O，N三點(diǎn)共線時(shí)，a最小，此時(shí)AM最小，∴a+2a＝9，∴a＝3，∴AM的最小值是6．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明是的切線是解題的關(guān)鍵．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角和，同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等，即可；

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同弧或者等弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，垂徑定理，圓的切線定理．9．（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）一個(gè)角的頂點(diǎn)在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個(gè)角是它所夾的較大的弧所對(duì)的圓外角．（1）證明：一條弧所對(duì)的圓周角大于它所對(duì)的圓外角；【分析】（1）寫出“已知”“求證”，設(shè)BP交⊙O于點(diǎn)Q，連接AQ，畫出圖象，用三角形外角大于不相鄰的內(nèi)角即可證明；（2）先計(jì)算120名隊(duì)員平均身高，再根據(jù)題意把實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”，畫出圖形，在QO上取一點(diǎn)B，使得BO＝152cm，則BQ＝16cm，過B作射線l⊥QO于B，過P，Q兩點(diǎn)作⊙C切射線l于M，由（1）的結(jié)論可知隊(duì)員的眼睛A與M重合時(shí)，觀看該展品的視角最大，此時(shí)隊(duì)員站在MN處，故求出ON長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）已知：如圖所示，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，點(diǎn)P在⊙O外．證明：設(shè)交⊙O于點(diǎn)Q，連接，依題意可知，參觀的隊(duì)員的眼睛A在射線上．而此時(shí)，射線l上的點(diǎn)只有點(diǎn)M在⊙C上，其他的點(diǎn)在⊙C外．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合知識(shí)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”，根據(jù)題意畫出圖形．10．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出了雕塑問題：假定有一個(gè)雕塑高AB＝3米，立在一個(gè)底座上，底座的高BC＝2.2米，一個(gè)人注視著這個(gè)雕塑并朝它走去，這個(gè)人的水平視線離地1.7米，問此人應(yīng)站在離雕塑底座多遠(yuǎn)處，才能使看雕塑的效果最好，所謂看雕塑的效果最好是指看雕塑的視角最大，問題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn)，如圖：過A、B兩點(diǎn)，作一圓與EF相切于點(diǎn)M，你能說明點(diǎn)M為所求的點(diǎn)嗎？并求出此時(shí)這個(gè)人離雕塑底座的水平距離？【答案】可以說明點(diǎn)M為所求的點(diǎn)，理由見解析；米【詳解】解：如圖所示，連接AM，BM，OM，作OG⊥AB于G，則AG=BG=1.5，連接OB，在直線EF找一點(diǎn)P，連接AP,BP,BP交于Q點(diǎn)，連接AQ，根據(jù)題意，得OM=BG+BE=1.5+2.2?1.7=2（米），【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，掌握勾股定理和垂徑定理．11．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．彌勒是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他在1471年提出了著名的彌勒定理：

小明思考后給出如下證明：證明：如圖2，在OM上任取一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)D，連接．

……任務(wù)：(1)寫出小明證明過程中的依據(jù)：依據(jù)①：；依據(jù)②：．

【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等和同角的余角相等求解即可；【詳解】（1）根據(jù)題意可得，依據(jù)①：同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)②：同角的余角相等．（3）如圖所示，過點(diǎn)A，B作與x軸相切于點(diǎn)C，是的直徑，

【點(diǎn)睛】此題考查了圓切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．12．（2023·福建福州·?？家荒＃﹫A周角定理是初中數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)定理，它反映的是圓心角和圓周角的關(guān)系，在實(shí)際生活中也有很多的應(yīng)用．

【詳解】（1）∵在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，（2）如圖：即為所求；

作法：作直線的垂直平分線，與直線交于一點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑，在直線下方畫弧，與直線的垂直平分線交于一點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑，畫弧，與直線交于一點(diǎn)，即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理即，畫垂直平分線，畫圓，切線的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．

(1)求拋物線的解析式．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，相當(dāng)于向上平移1個(gè)單位，∴點(diǎn)D向上平移1個(gè)單位為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，相當(dāng)于向上平移5個(gè)單位，

圖1故答案為：；

圖3【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合知識(shí)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切點(diǎn)的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，能夠?qū)Ⅻc(diǎn)的坐標(biāo)與園內(nèi)有關(guān)線段的長(zhǎng)聯(lián)系起來是解題的關(guān)鍵．15．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考二模）小輝同學(xué)觀看2022卡塔爾世界杯時(shí)發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀的球員通常都能選擇最優(yōu)的點(diǎn)射門（僅從射門角度大小考慮）．這引起了小輝同學(xué)的興趣，于是他展開了一次有趣的數(shù)學(xué)探究．【提出問題】如圖所示．球員帶球沿直線奔向球門，探究：是否存在一個(gè)位置，使得射門角度最大．【分析問題】因?yàn)榫€段長(zhǎng)度不變，我們聯(lián)想到圓中的弦和圓周角．【解決問題】【詳解】（1）設(shè)與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)，連接，問題：如圖②，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P對(duì)線段的視角最大．所以，點(diǎn)P對(duì)線段的視角最大．(1)請(qǐng)寫出小明證明過程中的依據(jù)1和依據(jù)2；依據(jù)1：________________________________________依據(jù)2：________________________________________①若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)P，在圖③中，用直尺和圓規(guī)在上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P對(duì)的視角最大（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)同弧所對(duì)的圓周角相等；三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（2）解：①如圖，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了解直角三角形、直線和圓相切等，這種新定義類的題目，通常按照題設(shè)的順序求解，一般比較容易解答．(2)為經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓，點(diǎn)是上線段的一個(gè)可視點(diǎn)．【分析】（1）以為底作等腰直角三角形，以直角頂點(diǎn)為圓心，直角邊為半徑作圓，則、兩點(diǎn)與優(yōu)弧上點(diǎn)形成的角是的可視角的可視點(diǎn)；（2）①是直徑，可視角是；②半徑是4時(shí)，圓心和、兩點(diǎn)形成的是等邊三角形，圓心角是，故可視角是；【詳解】（1）解：如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以點(diǎn)不是的可視角為的可視點(diǎn)，（3）如圖2，18．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）問題研究（1）若等邊△AB