2025年大學統計學期末考試：抽樣調查方法實踐操作與解題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項字母填在題后的括號內。）1.從一個包含N個單元的總體中，隨機抽取n個單元構成樣本，每個單元被抽中的概率相等，且每次抽取后不放回，這種抽樣方法稱為（）。A.系統抽樣B.分層抽樣C.簡單隨機抽樣D.整群抽樣2.在抽樣估計中，用來衡量估計量與被估計參數之間平均差異程度的指標是（）。A.抽樣極限誤差B.抽樣平均誤差C.置信區(qū)間寬度D.相對誤差3.當總體單位數N較小，且需要使用整群抽樣時，為了縮小抽樣誤差，應采用（）。A.較大的群內方差B.較小的群內方差C.較大的群間方差D.較小的群間方差4.在其他條件不變的情況下，提高抽樣估計的置信度，則置信區(qū)間的（）。A.寬度變窄B.寬度變寬C.寬度不變D.取決于樣本量5.抽樣調查中，由于抽樣框不完善、測量工具誤差、調查員偏差等導致的誤差屬于（）。A.抽樣框誤差B.無回答誤差C.測量誤差D.抽樣誤差二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。請將答案填寫在題中橫線上。）6.分層抽樣中，若按比例分配樣本量，則第i層的樣本量ni與總體規(guī)模Ni和總體樣本量n的關系為：ni=n*(Ni/N)。7.若要從1000名員工中抽取一個包含100人的簡單隨機樣本，采用不重復抽樣方式，某員工被抽中的概率為1/10。（提示：需說明理由或計算過程，此處僅作填空示例，實際考試可能不要求此計算）。8.在總體方差σ2未知時，估計總體均值μ的置信區(qū)間通常使用t分布，此時自由度等于樣本量減1。9.影響必要樣本量計算的主要因素包括：總體方差（或標準差）、抽樣允許誤差、置信度水平以及抽樣方法（重復/不重復）。10.為了減少抽樣誤差，提高抽樣估計的精度，常用的方法之一是采用分層抽樣，前提是各層內方差盡可能小，層間方差盡可能大。三、名詞解釋（本大題共3小題，每小題3分，共9分。請用簡潔、準確的語言解釋下列名詞。）11.抽樣平均誤差12.抽樣框13.置信區(qū)間四、簡答題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。請圍繞題目要求，結合所學知識作答。）14.簡述分層抽樣與簡單隨機抽樣的主要區(qū)別和聯系。15.影響抽樣誤差大小的因素有哪些？請分別說明。16.在實際組織抽樣調查時，可能存在哪些主要的非抽樣誤差？如何控制這些誤差？五、計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分。請列出計算公式和計算過程，結果保留兩位小數。）17.某大學欲調查學生平均每周用于課外活動的時間。從全校20000名學生中，采用不重復簡單隨機抽樣方式抽取400名學生進行調查。調查結果顯示，這400名學生平均每周用于課外活動的時間為12小時，樣本標準差為3小時。試以95%的置信度估計全校學生平均每周用于課外活動的時間區(qū)間。（提示：需先判斷是否適用修正系數FPC，然后計算抽樣平均誤差和置信區(qū)間）。18.某工廠生產一批零件，總數量為5000件。為檢查該批零件的一級品率，需要抽取一個樣本進行檢驗。要求抽樣極限誤差不超過0.05（即p?-p≤0.05），置信度為95%。若以往類似產品的抽樣調查中，一級品率估計值為0.8。試計算在不重復抽樣情況下，至少需要抽取多少件零件才能滿足上述要求？（提示：需根據p的估計值選擇合適的公式，并判斷是否需要使用修正系數FPC）。六、綜合應用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請結合具體情境，綜合運用所學知識進行分析和解答。）19.某市宣傳部想了解該市居民對本地文化活動中心的滿意度。該市分為城中和郊區(qū)兩個區(qū)域，已知城區(qū)居民約15萬人，郊區(qū)居民約5萬人。由于城區(qū)居民分布密集，而郊區(qū)居民居住相對分散，宣傳部認為采用分層抽樣更為合適。初步計劃抽取總樣本量1000人。請根據上述信息，設計一個分層抽樣方案的大致框架，包括分層依據、樣本量分配原則（可簡述），并說明在實施過程中需要注意哪些關鍵環(huán)節(jié)。20.假設你是一家市場調研公司的分析師，需要為一款新的在線教育課程進行市場潛力調查?？傮w目標人群是年齡在18-35歲的網民。請分析，如果采用整群抽樣和分層抽樣兩種方法分別進行調查，各有什么優(yōu)缺點？在什么情況下選擇哪種方法可能更合適？請簡要說明理由。試卷答案一、選擇題1.C*解析思路：簡單隨機抽樣定義是從總體N個單元中，完全隨機地抽取n個單元構成樣本，每個單元被抽中的概率相等，且通常是有放回或無放回（實踐中多為不重復）。選項描述符合簡單隨機抽樣的特點。2.B*解析思路：抽樣平均誤差是反映樣本統計量（如樣本均值、樣本比例）在重復抽樣條件下，圍繞總體參數（如總體均值μ、總體比例p）平均離散程度的指標。它是計算置信區(qū)間的基礎。抽樣極限誤差是允許的誤差范圍，置信區(qū)間寬度與之相關，但不是衡量平均差異程度的指標。3.B*解析思路：整群抽樣的抽樣誤差主要取決于群內單元同質性（方差?。┖腿洪g單元異質性（方差大）。為了減小抽樣誤差，應選擇群內方差較小、群間方差較大的劃分方式。4.B*解析思路：置信區(qū)間的寬度=2*抽樣平均誤差。提高置信度（如從90%提高到95%），需要增大臨界值（如z值或t值），從而導致抽樣平均誤差增大，最終使置信區(qū)間寬度變寬。5.C*解析思路：非抽樣誤差是指抽樣以外的誤差，包括抽樣框誤差（抽樣框與目標總體不匹配）、無回答誤差（部分選定的單元未參與調查）、測量誤差（數據收集過程中的誤差）等。測量誤差直接源于測量過程本身。二、填空題6.Ni/N7.（提示：在不重復抽樣下，每個單元被抽中的概率p=n/N=100/1000=1/10）8.自由度等于樣本量減19.總體方差（或標準差）、抽樣允許誤差、置信度水平以及抽樣方法（重復/不重復）10.各層內方差盡可能小，層間方差盡可能大三、名詞解釋11.抽樣平均誤差是指樣本統計量（如樣本均值或樣本比例）在重復抽樣條件下，圍繞總體參數（如總體均值或總體比例）的平均離散程度。它反映了抽樣估計的精確性，是計算抽樣極限誤差和置信區(qū)間的基礎。12.抽樣框是指包含總體所有單元的名單或其他可接觸到的清單，它是實施抽樣調查、聯系和抽取樣本的依據。一個好的抽樣框應盡可能全面、準確，并與目標總體重合。13.置信區(qū)間是指在給定的置信度水平下，以樣本統計量為中心，包含總體參數可能取值的一個區(qū)間。它表達了抽樣估計的不確定性范圍，置信度反映了區(qū)間估計的可靠程度。四、簡答題14.簡單隨機抽樣是直接從總體中隨機抽取樣本，每個單元被抽中概率相等。分層抽樣是將總體先按一定標志劃分成若干層，然后在各層內分別進行隨機抽樣（通常是比例抽樣或最優(yōu)分配抽樣），最后將各層樣本合并構成總樣本。聯系在于，分層抽樣是在簡單隨機抽樣的基礎上，通過分層增強了樣本的代表性，特別是當層內同質性高、層間異質性大時效果更好。簡單隨機抽樣是基礎，分層抽樣是其在特定條件下的改進和擴展。15.影響抽樣誤差大小的因素主要有：*總體變異程度：總體單位之間的差異越大（總體方差或標準差越大），抽樣誤差越大。*樣本容量：樣本量越大，抽樣誤差越小；樣本量越小，抽樣誤差越大。*抽樣方法：不同的抽樣方法（如簡單隨機、分層、整群）有不同的抽樣誤差。通常，分層抽樣和整群抽樣的誤差取決于層內/群內方差和層間/群間方差，而簡單隨機抽樣的誤差直接由總體方差和樣本量決定。在同等樣本量下，設計抽樣方案合理的概率抽樣方法可以比簡單隨機抽樣產生更小的誤差。*抽樣方式：重復抽樣比不重復抽樣的抽樣誤差要大一些（尤其是在總體規(guī)模有限時，需考慮修正系數FPC）。16.主要的非抽樣誤差包括：*抽樣框誤差：抽樣框與目標總體定義不一致，或抽樣框本身存在錯誤、缺失單元等，導致部分目標單位無法被抽中或被重復包含。*無回答誤差：被抽中的單元（個體或單位）沒有提供所需信息，可能導致樣本代表性偏差。*測量誤差：數據收集過程中，由于問卷設計、測量工具、調查員偏見、受訪者理解或回答偏差等原因，導致記錄的數據與真實情況不符。*數據處理誤差：在數據錄入、編碼、校對、匯總等環(huán)節(jié)發(fā)生的錯誤。*溝通偏差：調查員與受訪者之間的溝通不暢或誤解導致的誤差。*推理偏差：從樣本結果推斷總體時，超出了抽樣允許的范圍或基于不恰當的假設。控制方法：*完善抽樣框：盡可能確保抽樣框全面、準確，并與目標總體定義一致。*提高問卷設計質量：清晰、簡潔、無歧義，避免誘導性問題。*加強調查員培訓：統一標準，規(guī)范流程，減少主觀偏見。*提高激勵水平，降低無回答率：通過合理方式鼓勵受訪者參與。*多種方式確認信息：如電話回訪、地址核實等。*嚴格數據處理流程：多重校對，使用雙人錄入核對等方式。*增加抽樣量：一定程度上可以減少某些非抽樣誤差的影響。*在報告中明確說明非抽樣誤差的可能來源和估計范圍。五、計算題17.解：*總體規(guī)模N=20000，樣本量n=400，樣本均值x?=12小時，樣本標準差s=3小時。*計算樣本標準差（作為總體標準差σ的估計值）：s=3小時。*判斷是否使用FPC：由于N=20000，n=400，n/N=400/20000=0.02<0.05，滿足使用FPC的條件。*計算修正系數FPC=sqrt((N-n)/(N-1))=sqrt((20000-400)/(20000-1))≈sqrt(19600/19999)≈0.9950。*計算抽樣平均誤差（使用FPC）：SE(x?)=s/sqrt(n)*FPC=3/sqrt(400)*0.9950=3/20*0.9950=0.14825小時。*查t分布表：置信度為95%，樣本量n=400，自由度df=n-1=399。由于df較大，可用z值近似，z(0.975)≈1.96。（或查t表得t(399,0.975)≈1.96）。*計算抽樣極限誤差：E(x?)=z*SE(x?)=1.96*0.14825≈0.2907小時。*計算置信區(qū)間：[x?-E(x?),x?+E(x?)]=[12-0.2907,12+0.2907]=[11.7093,12.2907]小時。*答：以95%的置信度估計，全校學生平均每周用于課外活動的時間在11.71至12.29小時之間。18.解：*總體規(guī)模N=5000，抽樣極限誤差E(p?-p)≤0.05，置信度95%，p的估計值p?=0.8。*計算標準誤的估計值：SE(p?)=sqrt[p?(1-p?)/n]。*抽樣極限誤差E(p?-p)=z*SE(p?)=z*sqrt[p?(1-p?)/n]。*重復抽樣下，修正系數FPC不適用（N遠大于n）。*令E(p?-p)=0.05，則0.05=z*sqrt[0.8*(1-0.8)/n]=z*sqrt[0.16/n]。*查z分布表：z(0.975)=1.96。*代入計算：0.05=1.96*sqrt[0.16/n]。*解方程求n：sqrt[0.16/n]=0.05/1.96=0.02551。*0.16/n=(0.02551)^2≈0.0006507。*n=0.16/0.0006507≈245.9。*因為樣本量必須是整數，且需滿足誤差不超過0.05的要求，向上取整，n≥246。*答：在不重復抽樣情況下，至少需要抽取246件零件才能滿足要求。六、綜合應用題19.分層抽樣方案設計框架：*分層依據：根據城區(qū)和郊區(qū)兩個區(qū)域劃分，這是基于地理區(qū)域進行分層。*樣本量分配：采用比例分配法。城區(qū)樣本量ni=(Ni/N)*n=(150000/200000)*1000=750人。郊區(qū)樣本量nj=(Nj/N)*n=(50000/200000)*1000=250人。*實施關鍵環(huán)節(jié)：1.獲取準確的城區(qū)和郊區(qū)居民名單（作為抽樣框）。2.在城區(qū)范圍內，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣方法抽取750名居民。3.在郊區(qū)范圍內，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣方法抽取250名居民。4.將城區(qū)和郊區(qū)的樣本合并，形成最終的1000人樣本。5.對抽中的樣本進行實地或電話等方式的訪問，收集滿意度數據。6.進行數據整理和分析，計算總體滿意度估計值及區(qū)間估計。20.分析：*整群抽樣：*優(yōu)點：組織方便，實施成本較低，尤其適合地理上分散的總體；便于現場組織