2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)：抽樣調(diào)查方法與時(shí)間序列分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題3分，共15分）1.抽樣框2.抽樣誤差3.點(diǎn)估計(jì)4.自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）5.單位根過程二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共25分）1.簡(jiǎn)述分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)及其適用條件。2.解釋時(shí)間序列數(shù)據(jù)的三種主要構(gòu)成要素。3.簡(jiǎn)述檢驗(yàn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的常用方法。4.說明ARIMA模型（p,d,q）中參數(shù)p,d,q的含義。5.在進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮哪些主要因素？三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.某總體包含1000個(gè)單元，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)抽樣）方法抽取一個(gè)容量為100的樣本。已知總體方差σ2=400，試計(jì)算樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。若要求抽樣極限誤差不超過4，應(yīng)抽取多大樣本量（假設(shè)其他條件不變）？2.根據(jù)某地區(qū)歷年GDP數(shù)據(jù)（共10個(gè)觀測(cè)值），計(jì)算出其一階差分后得到的新序列如下：5,6,3,8,5,7,4,6,3,5。試根據(jù)此一階差分序列的圖形特征（僅描述趨勢(shì)，無需繪圖），初步判斷原時(shí)間序列可能適合用哪種模型擬合？并說明理由。3.某時(shí)間序列模型的一階差分和二階差分后均平穩(wěn)，且其自回歸系數(shù)φ?=0.6，移動(dòng)平均系數(shù)θ?=-0.4。請(qǐng)寫出該時(shí)間序列的ARMA模型表達(dá)式。四、分析題（共10分）假設(shè)某公司想通過抽樣調(diào)查了解其產(chǎn)品在某一城市的市場(chǎng)占有率。請(qǐng)簡(jiǎn)要說明如果采用整群抽樣方法，應(yīng)如何進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)？并分析整群抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣可能存在的優(yōu)缺點(diǎn)。試卷答案一、名詞解釋1.抽樣框：指包含總體所有單元的名單或其它可供抽樣選中的工具。它是實(shí)施抽樣調(diào)查的依據(jù)。**解析思路：*定義抽樣框，強(qiáng)調(diào)其是抽樣操作的基礎(chǔ)，是總體單元的集合形式。2.抽樣誤差：指在遵守抽樣規(guī)則的前提下，用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差。它是由抽樣方法本身引起的，是不可避免的，但可以控制。**解析思路：*定義抽樣誤差，強(qiáng)調(diào)其隨機(jī)性、不可避免性及與抽樣方法的關(guān)系。3.點(diǎn)估計(jì)：指用樣本統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)具體觀測(cè)值來估計(jì)總體參數(shù)的方法。例如，用樣本均值x?來估計(jì)總體均值μ。**解析思路：*定義點(diǎn)估計(jì)，并給出最常用的例子（用樣本均值估計(jì)總體均值）。4.自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）：指一個(gè)時(shí)間序列可以表示為它的過去值（自回歸項(xiàng)）和過去誤差項(xiàng)（移動(dòng)平均項(xiàng)）的線性組合的模型，通常記為ARMA(p,q)，其中p是自回歸階數(shù)，q是移動(dòng)平均階數(shù)。**解析思路：*給出ARMA模型的定義，并點(diǎn)明其階數(shù)p和q的含義。5.單位根過程：指一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，經(jīng)過差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的時(shí)間序列。也稱為隨機(jī)游走過程或差分平穩(wěn)過程。常見的單位根過程是一階自回歸過程AR(1)，當(dāng)其自回歸系數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)為平穩(wěn)，等于1時(shí)為非平穩(wěn)。**解析思路：*定義單位根過程，說明其核心特征（差分后平穩(wěn)），并關(guān)聯(lián)到最常見的形式AR(1)及其平穩(wěn)條件。二、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)及其適用條件。*優(yōu)點(diǎn)：①可以保證樣本在各個(gè)層中的代表性，提高抽樣效率（即用相同樣本量可以得到更精確的估計(jì)）；②便于分層進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析，滿足不同層別管理或分析的需求；③對(duì)于需要按層進(jìn)行管理的總體，分層抽樣更具實(shí)施意義。*適用條件：①總體可以按照某個(gè)標(biāo)志劃分為互不重疊且全部包含總體單元的若干層；②各層內(nèi)部單元差異盡可能小，而層間單元差異盡可能大。**解析思路：*先回答優(yōu)點(diǎn)（效率、方便、管理意義），再回答適用條件（可分層、層內(nèi)同質(zhì)、層間異質(zhì)）。2.解釋時(shí)間序列數(shù)據(jù)的三種主要構(gòu)成要素。*趨勢(shì)（Trend）：指時(shí)間序列在長(zhǎng)期內(nèi)呈現(xiàn)的總體上升、下降或平穩(wěn)的水平變化趨勢(shì)。它反映了現(xiàn)象發(fā)展的基本方向。*季節(jié)性（Seasonality）：指時(shí)間序列在一年或更短周期內(nèi)由于季節(jié)、假日、氣候等因素引起的規(guī)律性波動(dòng)。*隨機(jī)性/殘差（Irregular/Residual）：指時(shí)間序列中除去趨勢(shì)和季節(jié)性成分后，剩余的由偶然因素、隨機(jī)波動(dòng)引起的不可預(yù)測(cè)的成分。**解析思路：*分別定義三種構(gòu)成要素（趨勢(shì)、季節(jié)性、隨機(jī)性），并解釋其含義。3.簡(jiǎn)述檢驗(yàn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的常用方法。*觀察法：通過繪制時(shí)間序列圖直觀判斷其水平、趨勢(shì)、季節(jié)性是否穩(wěn)定。*線性模型檢驗(yàn)：計(jì)算自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的值及滯后期，平穩(wěn)序列的ACF和PACF通常隨滯后階數(shù)增加而較快衰減至0（可參考特定標(biāo)準(zhǔn)，如滿足絕對(duì)截尾或指數(shù)衰減）。*統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法：對(duì)序列的均值、方差是否隨時(shí)間變化進(jìn)行檢驗(yàn)（如Wald-Wolfowitz游程檢驗(yàn)、Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin檢驗(yàn)即KPSS檢驗(yàn)，后者通常檢驗(yàn)非平穩(wěn)性）。*單位根檢驗(yàn)：通過單位根檢驗(yàn)（如DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)）來判斷序列是否具有單位根，即是否非平穩(wěn)。檢驗(yàn)結(jié)果通常以P值判斷，P值小則拒絕原假設(shè)（序列非平穩(wěn)）。**解析思路：*列舉幾種常用方法，并簡(jiǎn)要說明其原理或判斷依據(jù)（如ACF/PACF衰減、單位根檢驗(yàn)的P值）。4.說明ARIMA模型（p,d,q）中參數(shù)p,d,q的含義。*p：自回歸階數(shù)（Autoregressiveorder）。表示模型中包含的過去觀測(cè)值項(xiàng)的個(gè)數(shù)。它反映了序列與其過去值之間的相關(guān)程度。p=0表示模型中不包含自回歸項(xiàng)。*d：差分階數(shù)（Differencingorder）。表示將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列所需的差分次數(shù)。d=0表示序列本身就是平穩(wěn)的。*q：移動(dòng)平均階數(shù)（MovingAverageorder）。表示模型中包含的過去誤差（殘差）項(xiàng)的個(gè)數(shù)。它反映了序列當(dāng)前值與其過去誤差之間的相關(guān)程度。q=0表示模型中不包含移動(dòng)平均項(xiàng)。**解析思路：*分別解釋p（自回歸項(xiàng)個(gè)數(shù)）、d（差分次數(shù)）、q（移動(dòng)平均項(xiàng)個(gè)數(shù)）的具體含義。5.在進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮哪些主要因素？*抽樣目標(biāo)：明確抽樣調(diào)查要達(dá)到的具體目的和需要估計(jì)的總體參數(shù)。*總體特征：了解總體的單元構(gòu)成、分布情況、變異程度以及是否可以劃分層次或群別。*抽樣方法：根據(jù)總體特征、抽樣目標(biāo)、成本、時(shí)間限制等因素選擇合適的抽樣方法（如隨機(jī)抽樣、非隨機(jī)抽樣，以及具體的隨機(jī)抽樣方法如簡(jiǎn)單隨機(jī)、分層、整群、系統(tǒng)抽樣等）。*抽樣精度要求：確定允許的抽樣誤差范圍或置信水平。*抽樣成本與時(shí)間：考慮完成抽樣調(diào)查所需的人力、物力、財(cái)力和時(shí)間資源。*數(shù)據(jù)質(zhì)量要求：考慮抽樣框的質(zhì)量、無回答問題等對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響。*法律法規(guī)與倫理：遵守相關(guān)法律法規(guī)，保護(hù)受訪者隱私。**解析思路：*列舉抽樣設(shè)計(jì)中需要綜合考慮的關(guān)鍵要素，涵蓋目標(biāo)、總體、方法、精度、成本、質(zhì)量、法律等多個(gè)方面。三、計(jì)算題1.某總體包含1000個(gè)單元，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)抽樣）方法抽取一個(gè)容量為100的樣本。已知總體方差σ2=400，試計(jì)算樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。若要求抽樣極限誤差不超過4，應(yīng)抽取多大樣本量（假設(shè)其他條件不變）？*樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算：*公式：σ_?=σ/√n*√(N/n)*代入數(shù)據(jù)：σ_?=√400/√100*√(1000/100)=20/10*√10=2√10≈6.32*結(jié)果：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差約為6.32。*樣本量計(jì)算：*公式：n?=(Zα/2*σ/E)2（不考慮有限總體校正時(shí)）*代入數(shù)據(jù)：n?=(1.96*√400/4)2=(1.96*20/4)2=(1.96*5)2=9.82≈96.04*因?yàn)闃颖玖勘仨殲檎麛?shù)，且要求極限誤差不超過4，需取大于96.04的最小整數(shù)，即n=97。*考慮有限總體校正：n=n?*(N-1)/(N+n?)=96.04*(1000-1)/(1000+96.04)≈96.04*999/1096.04≈86.84*取大于86.84的最小整數(shù)，即n=87。*結(jié)果：為滿足抽樣極限誤差不超過4的要求，應(yīng)抽取的樣本量至少為87（采用有限總體校正后的結(jié)果更精確）。**解析思路：*第一步，使用不重復(fù)抽樣樣本均值標(biāo)準(zhǔn)誤差公式計(jì)算σ_?。第二步，使用抽樣極限誤差公式計(jì)算所需的最小樣本量n?，然后考慮有限總體校正系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，并取整。2.根據(jù)某地區(qū)歷年GDP數(shù)據(jù)（共10個(gè)觀測(cè)值），計(jì)算出其一階差分后得到的新序列如下：5,6,3,8,5,7,4,6,3,5。試根據(jù)此一階差分序列的圖形特征（僅描述趨勢(shì)，無需繪圖），初步判斷原時(shí)間序列可能適合用哪種模型擬合？并說明理由。*判斷：原時(shí)間序列可能適合用ARIMA(1,1,0)模型擬合。*理由：觀察一階差分序列{5,6,3,8,5,7,4,6,3,5}，其值圍繞0波動(dòng)，沒有明顯的上升或下降趨勢(shì)，且波動(dòng)幅度相對(duì)穩(wěn)定。這表明原序列可能是一個(gè)非平穩(wěn)序列，其一階差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。從差分序列的數(shù)值上看，序列值與其前一個(gè)值之間存在一定的正相關(guān)性（如5→6，3→8，5→7等），但相關(guān)性不是特別強(qiáng)或非常規(guī)律。因此，可以考慮ARIMA(1,1,0)模型，其中d=1表示序列需要差分一次才能平穩(wěn)，p=1表示平穩(wěn)后的序列可以包含一個(gè)自回歸項(xiàng)來捕捉其與過去值的聯(lián)系，q=0表示不包含移動(dòng)平均項(xiàng)。**解析思路：*第一步，觀察差分序列的數(shù)值特征（圍繞0波動(dòng)、無明確趨勢(shì)、波動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定），判斷原序列為非平穩(wěn)序列。第二步，觀察差分序列與自身的關(guān)系（存在一定的相關(guān)性），判斷平穩(wěn)序列可能包含自回歸項(xiàng)。第三步，根據(jù)d=1和初步判斷的p=1,q=0，給出ARIMA(1,1,0)模型，并簡(jiǎn)要說明理由。3.某時(shí)間序列模型的一階差分和二階差分后均平穩(wěn)，且其自回歸系數(shù)φ?=0.6，移動(dòng)平均系數(shù)θ?=-0.4。請(qǐng)寫出該時(shí)間序列的ARMA模型表達(dá)式。*分析：一階差分和二階差分后均平穩(wěn)，說明原序列是帶有趨勢(shì)的（至少二階積分），即d=2。根據(jù)Box-Jenkins建模思想，若d=2，則最終模型應(yīng)為ARMA(p,q)形式，其中p和q分別對(duì)應(yīng)差分后序列的自回歸階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)。題目給出的φ?=0.6和θ?=-0.4，分別是一個(gè)自回歸項(xiàng)和一個(gè)移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)。由于只給出了這兩個(gè)系數(shù)，且沒有說明是差分后序列的哪個(gè)階數(shù)的系數(shù)，最直接的理解是這代表了最終的ARMA(p,q)模型中的參數(shù)，即p=1（一個(gè)自回歸項(xiàng)），q=1（一個(gè)移動(dòng)平均項(xiàng)）。*模型表達(dá)式：ARMA(1,1)*或?qū)懗桑篨?-φ?X???-θ?ε???=ε?*代入?yún)?shù)：X?-0.6X???-(-0.4)ε???=ε?*即：X?-0.6X???+0.4ε???=ε?**解析思路：*第一步，根據(jù)差分階數(shù)d=2，確定最終模型形式為ARMA(p,q)。第二步，根據(jù)題目給出的φ?和θ?，判斷p=1,q=1。第三步，寫出ARMA(1,1)的通用形式，并代入具體參數(shù)得到最終模型表達(dá)式。四、分析題假設(shè)某公司想通過抽樣調(diào)查了解其產(chǎn)品在某一城市的市場(chǎng)占有率。請(qǐng)簡(jiǎn)要說明如果采用整群抽樣方法，應(yīng)如何進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)？并分析整群抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣可能存在的優(yōu)缺點(diǎn)。*抽樣設(shè)計(jì)步驟：1.劃分群組：將該城市的所有潛在購(gòu)買者（或家庭、街道等）按照一定的地理區(qū)域或行政區(qū)域（如居委會(huì)、街道、小區(qū)）劃分為若干個(gè)互不重疊的群組（群）。確保每個(gè)群包含相似類型的單位。2.確定群規(guī)模：決定每個(gè)群包含的單元數(shù)量（可以是所有單元，也可以是隨機(jī)抽取一部分單元）。3.抽取群組：從所有群組中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（或不重復(fù)抽樣）的方法抽取k個(gè)群組作為樣本群。4.調(diào)查樣本單元：對(duì)被抽中的每個(gè)樣本群中的所有單元（或再次隨機(jī)抽取部分單元）進(jìn)行調(diào)查，收集關(guān)于產(chǎn)品市場(chǎng)占有率的信息。5.數(shù)據(jù)整理與分析：計(jì)算每個(gè)樣本群的估計(jì)值，然后加權(quán)平均（若群規(guī)模不等）得到總體市場(chǎng)占有率的估計(jì)值，并計(jì)算抽樣誤差。*優(yōu)缺點(diǎn)分析：*優(yōu)點(diǎn)：1.組織方便、節(jié)省成本：可以集中在一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)群內(nèi)進(jìn)行抽樣和調(diào)查，便于組織管理和人員調(diào)配，大大節(jié)省交通、時(shí)間和調(diào)查費(fèi)用。2.實(shí)施方便：特別適用于地理上分散的總體，可以減少現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查的工作量和難度。*缺點(diǎn)：1.抽樣誤差通常較大：如果群內(nèi)單位同質(zhì)性差（即群內(nèi)變異大），而群間同質(zhì)性較好（即群間變異?。?，則抽樣誤差會(huì)相對(duì)較大，不如簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣精確。2.對(duì)總體