2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策案例解析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某公司想要了解其產(chǎn)品的用戶滿意度，隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，用戶的平均滿意度評(píng)分為7.5分（滿分10分），標(biāo)準(zhǔn)差為1.2分。公司經(jīng)理認(rèn)為，用戶的滿意度評(píng)分超過(guò)8分。請(qǐng)根據(jù)這些信息，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷公司經(jīng)理的看法是否成立。（請(qǐng)寫(xiě)出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定p值或臨界值、做出結(jié)論）二、一家連鎖超市想要分析其不同門(mén)店的銷售額與廣告投入之間的關(guān)系。以下是五個(gè)門(mén)店的年度廣告投入（單位：萬(wàn)元）和銷售額（單位：萬(wàn)元）數(shù)據(jù)：門(mén)店A：廣告投入3，銷售額20門(mén)店B：廣告投入2，銷售額15門(mén)店C：廣告投入4，銷售額25門(mén)店D：廣告投入5，銷售額30門(mén)店E：廣告投入1，銷售額10請(qǐng)計(jì)算廣告投入與銷售額之間的相關(guān)系數(shù)，并解釋其含義。然后，建立銷售額對(duì)廣告投入的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義。假設(shè)門(mén)店F計(jì)劃下一年度投入3萬(wàn)元廣告費(fèi)，請(qǐng)預(yù)測(cè)其可能的銷售額。三、一家銀行想要比較兩種不同的信用卡套餐的月均消費(fèi)額。銀行隨機(jī)抽取了100名信用卡用戶，其中50名用戶使用套餐A，50名用戶使用套餐B。經(jīng)過(guò)一個(gè)月的觀察，套餐A用戶的平均月均消費(fèi)額為2000元，標(biāo)準(zhǔn)差為500元；套餐B用戶的平均月均消費(fèi)額為2200元，標(biāo)準(zhǔn)差為600元。請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法，檢驗(yàn)兩種套餐的月均消費(fèi)額是否存在顯著差異。（請(qǐng)寫(xiě)出檢驗(yàn)步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定p值或臨界值、做出結(jié)論）四、一家制造企業(yè)想要了解其產(chǎn)品的生產(chǎn)過(guò)程是否穩(wěn)定。他們監(jiān)測(cè)了生產(chǎn)過(guò)程中的某個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)，連續(xù)記錄了25天的數(shù)據(jù)。該指標(biāo)的理論標(biāo)準(zhǔn)值為100，實(shí)際數(shù)據(jù)的平均值為98，標(biāo)準(zhǔn)差為3。請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法，檢驗(yàn)生產(chǎn)過(guò)程是否穩(wěn)定。（請(qǐng)寫(xiě)出檢驗(yàn)步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定p值或臨界值、做出結(jié)論）五、一家保險(xiǎn)公司想要評(píng)估其兩種不同的投資產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)。他們收集了兩種產(chǎn)品過(guò)去五年的年收益率數(shù)據(jù)，如下所示：產(chǎn)品X的年收益率：10%，12%，8%，15%，11%產(chǎn)品Y的年收益率：9%，14%，10%，13%，12%請(qǐng)計(jì)算兩種產(chǎn)品的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，并比較哪種產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)更大。解釋標(biāo)準(zhǔn)差在此情境下的含義。六、一家公司想要分析其員工的年齡與工作績(jī)效之間的關(guān)系。他們收集了100名員工的年齡和工作績(jī)效評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)。假設(shè)經(jīng)過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)員工的年齡與工作績(jī)效評(píng)分之間存在顯著的線性關(guān)系，并且得到了回歸方程：績(jī)效評(píng)分=50+0.8*年齡。請(qǐng)解釋該回歸方程中截距項(xiàng)和斜率項(xiàng)的含義。如果公司想要將員工的工作績(jī)效評(píng)分提高到80分以上，根據(jù)這個(gè)回歸方程，員工大致需要工作多少年？試卷答案一、1.提出假設(shè)：*H0:μ≤8(用戶的平均滿意度評(píng)分不超過(guò)8分)*H1:μ>8(用戶的平均滿意度評(píng)分超過(guò)8分)（這是一個(gè)上側(cè)檢驗(yàn)）2.選擇檢驗(yàn)方法：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，樣本量n=100較大（n≥30），可以使用t檢驗(yàn)，或者由于樣本量很大，也可以使用z檢驗(yàn)。這里使用z檢驗(yàn)。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：*樣本均值(x?)=7.5*假設(shè)的總體均值(μ0)=8*樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s)=1.2*樣本量(n)=100*標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)=s/√n=1.2/√100=1.2/10=0.12*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(z)=(x?-μ0)/SE=(7.5-8)/0.12=-0.5/0.12≈-4.174.確定p值或臨界值：*采用顯著性水平α=0.05。*這是上側(cè)檢驗(yàn)，p值=P(Z>-4.17)。*查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算器，P(Z>-4.17)非常接近于1。*p值≈1。*（或者：臨界值：Z(α)=Z(0.05)≈1.645。由于-4.17<1.645）5.做出結(jié)論：*由于p值≈1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于顯著性水平α=0.05，或者檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-4.17小于臨界值1.645。*因此，不能拒絕原假設(shè)H0。*沒(méi)有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持公司經(jīng)理的看法，即用戶的平均滿意度評(píng)分超過(guò)8分。二、1.計(jì)算相關(guān)系數(shù)(r)：*數(shù)據(jù)：廣告投入(x):3,2,4,5,1；銷售額(y):20,15,25,30,10。*計(jì)算各項(xiàng)的和與積：Σx=15,Σy=100,Σx2=32+22+42+52+12=9+4+16+25+1=55,Σy2=202+152+252+302+102=400+225+625+900+100=2250,Σxy=3*20+2*15+4*25+5*30+1*10=60+30+100+150+10=350。*樣本量n=5。*計(jì)算分子(Σxy-(Σx)(Σy)/n)=350-(15*100)/5=350-300=50。*計(jì)算分母：√[(Σx2-(Σx)2/n)*(Σy2-(Σy)2/n)]=√[(55-(15)2/5)*(2250-(100)2/5)]=√[(55-45)*(2250-2000)]=√[10*250]=√2500=50。*相關(guān)系數(shù)r=分子/分母=50/50=1。2.解釋相關(guān)系數(shù)含義：相關(guān)系數(shù)r=1，表明廣告投入與銷售額之間存在完美的正線性相關(guān)關(guān)系。這意味著在這五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上，廣告投入與銷售額的變化完全同步，并且呈正相關(guān)。3.建立回歸方程：*回歸系數(shù)b：b=(Σxy-(Σx)(Σy)/n)/(Σx2-(Σx)2/n)=50/50=1。*截距項(xiàng)a：a=(Σy/n)-b*(Σx/n)=(100/5)-1*(15/5)=20-3=17。*回歸方程為：銷售額(?)=17+1*廣告投入(x)。4.預(yù)測(cè)銷售額：當(dāng)廣告投入x=3萬(wàn)元時(shí)，預(yù)測(cè)的銷售額?=17+1*3=20萬(wàn)元。三、1.提出假設(shè)：*H0:μA=μB(兩種套餐的月均消費(fèi)額無(wú)顯著差異)*H1:μA≠μB(兩種套餐的月均消費(fèi)額存在顯著差異)（這是一個(gè)雙尾檢驗(yàn)）2.選擇檢驗(yàn)方法：這是兩個(gè)獨(dú)立樣本的均值比較，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可以使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）或Welch'st檢驗(yàn)（假設(shè)方差不等）。為演示，這里使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：*樣本1（套餐A）：n1=50,x?1=2000,s1=500。*樣本2（套餐B）：n2=50,x?2=2200,s2=600。*計(jì)算合并方差估計(jì)(pooledvarianceestimate,Sp2)：Sp2=[(n1-1)s12+(n2-1)s22]/(n1+n2-2)=[(49*5002)+(49*6002)]/(50+50-2)=[49*250000+49*360000]/98=[12250000+17640000]/98=29890000/98≈304107.14。*合并標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)(Sp)=√Sp2≈√304107.14≈551.47。*計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)：SE=Sp*√[(1/n1)+(1/n2)]=551.47*√[(1/50)+(1/50)]=551.47*√[2/50]=551.47*√0.04=551.47*0.2=110.294。*計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(t)：t=(x?1-x?2)/SE=(2000-2200)/110.294=-200/110.294≈-1.81。*自由度(df)=n1+n2-2=50+50-2=98。4.確定p值或臨界值：*采用顯著性水平α=0.05。*這是雙尾檢驗(yàn)，df=98。*查t分布表或使用計(jì)算器，找到df=98時(shí)，t(0.025,98)≈1.984。*（或者：p值=2*P(T>|t|)=2*P(T>1.81)。使用t分布表或計(jì)算器，p值≈2*0.0358=0.0716）。*（或者：由于-1.81>-1.984，p值大于0.05）。5.做出結(jié)論：*使用臨界值法：由于-1.81的絕對(duì)值(1.81)小于臨界值1.984。*使用p值法：由于p值≈0.0716大于顯著性水平α=0.05。*因此，不能拒絕原假設(shè)H0。*沒(méi)有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明兩種套餐的月均消費(fèi)額存在顯著差異。四、1.提出假設(shè)：*H0:μ=100(生產(chǎn)過(guò)程穩(wěn)定，指標(biāo)均值等于標(biāo)準(zhǔn)值)*H1:μ≠100(生產(chǎn)過(guò)程不穩(wěn)定，指標(biāo)均值不等于標(biāo)準(zhǔn)值)（這是一個(gè)雙尾檢驗(yàn)）2.選擇檢驗(yàn)方法：這是單樣本均值檢驗(yàn)，總體標(biāo)準(zhǔn)差已知（理論標(biāo)準(zhǔn)值），可以使用z檢驗(yàn)。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：*樣本均值(x?)=98*假設(shè)的總體均值(μ0)=100*總體標(biāo)準(zhǔn)差(σ)=3（理論標(biāo)準(zhǔn)值）*樣本量(n)=25*標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)=σ/√n=3/√25=3/5=0.6*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(z)=(x?-μ0)/SE=(98-100)/0.6=-2/0.6≈-3.334.確定p值或臨界值：*采用顯著性水平α=0.05。*這是雙尾檢驗(yàn)，p值=2*P(Z>|z|)=2*P(Z>3.33)。*查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算器，P(Z>3.33)非常小，約為0.0004。*p值≈2*0.0004=0.0008。*（或者：臨界值：Z(α/2)=Z(0.025)≈-1.96。由于-3.33<-1.96）。5.做出結(jié)論：*使用臨界值法：由于-3.33的絕對(duì)值(3.33)大于臨界值1.96。*使用p值法：由于p值≈0.0008小于顯著性水平α=0.05。*因此，拒絕原假設(shè)H0。*有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明生產(chǎn)過(guò)程不穩(wěn)定，指標(biāo)均值與標(biāo)準(zhǔn)值100存在顯著差異。五、1.計(jì)算產(chǎn)品X的標(biāo)準(zhǔn)差：*數(shù)據(jù)：10%,12%,8%,15%,11%。*平均值(x?X)=(10+12+8+15+11)/5=56/5=11.2%。*方差(sX2)=[(10-11.2)2+(12-11.2)2+(8-11.2)2+(15-11.2)2+(11-11.2)2]/(5-1)*=[(-1.2)2+(0.8)2+(-3.2)2+(3.8)2+(-0.2)2]/4*=[1.44+0.64+10.24+14.44+0.04]/4=26.8/4=6.7。*標(biāo)準(zhǔn)差(sX)=√6.7≈2.59%。2.計(jì)算產(chǎn)品Y的標(biāo)準(zhǔn)差：*數(shù)據(jù)：9%,14%,10%,13%,12%。*平均值(x?Y)=(9+14+10+13+12)/5=58/5=11.6%。*方差(sY2)=[(9-11.6)2+(14-11.6)2+(10-11.6)2+(13-11.6)2+(12-11.6)2]/(5-1)*=[(-2.6)2+(2.4)2+(-1.6)2+(1.4)2+(0.4)2]/4*=[6.76+5.76+2.56+1.96+0.16]/4=17.2/4=4.3。*標(biāo)準(zhǔn)差(sY)=√4.3≈2.08%。3.比較風(fēng)險(xiǎn)：產(chǎn)品X的標(biāo)