2025年浙江金華中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風險的損失分布為指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，其中\(zhòng)(\lambda=0.2\)。則該風險的期望損失為（）A.2B.5C.10D.20答案：B解析：對于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。已知\(\lambda=0.2\)，則\(E(X)=\frac{1}{0.2}=5\)。2.在精算模型中，泊松過程常用于描述（）A.風險的損失金額B.風險的發(fā)生次數(shù)C.風險的損失時間D.風險的損失分布答案：B解析：泊松過程是一種計數(shù)過程，常用于描述在一定時間或空間內隨機事件（如風險的發(fā)生次數(shù)）的發(fā)生情況。而風險的損失金額通常用各種連續(xù)型分布來描述；風險的損失時間可以用生存分析等方法處理；風險的損失分布是對損失金額的概率描述。3.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)為樣本均值，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)為樣本方差。若總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)服從（）A.正態(tài)分布\(N(0,1)\)B.\(t\)分布\(t(n-1)\)C.\(\chi^2\)分布\(\chi^2(n-1)\)D.\(F\)分布\(F(n-1,n-1)\)答案：C解析：根據(jù)抽樣分布的性質，若總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)。4.某保險公司承保了1000份同質風險的保單，每份保單的索賠概率為0.05。設\(X\)表示索賠的保單份數(shù)，則\(X\)近似服從（）A.泊松分布\(P(50)\)B.正態(tài)分布\(N(50,47.5)\)C.二項分布\(B(1000,0.05)\)D.以上都不對答案：B解析：已知\(n=1000\)，\(p=0.05\)，\(X\simB(n,p)=B(1000,0.05)\)。當\(n\)很大，\(np\geq5\)且\(n(1-p)\geq5\)時，二項分布\(B(n,p)\)近似服從正態(tài)分布\(N(np,np(1-p))\)。這里\(np=1000\times0.05=50\)，\(np(1-p)=1000\times0.05\times(1-0.05)=47.5\)，所以\(X\)近似服從\(N(50,47.5)\)。雖然\(np=50\)時，也可以用泊松分布\(P(np)=P(50)\)近似，但在本題中，根據(jù)中心極限定理，用正態(tài)分布近似更合適。5.在數(shù)據(jù)分析中，相關系數(shù)\(r\)的取值范圍是（）A.\([-1,0]\)B.\([0,1]\)C.\([-1,1]\)D.\((-\infty,+\infty)\)答案：C解析：相關系數(shù)\(r\)用于衡量兩個變量之間線性相關的程度，其取值范圍是\([-1,1]\)。當\(r=1\)時，表示兩個變量完全正線性相關；當\(r=-1\)時，表示兩個變量完全負線性相關；當\(r=0\)時，表示兩個變量之間不存在線性相關關系。6.已知某風險的損失分布函數(shù)為\(F(x)=1-e^{-0.1x},x\geq0\)，則該風險的90%分位數(shù)為（）A.23.03B.25.03C.27.03D.29.03答案：A解析：設\(x_{0.9}\)為90%分位數(shù)，則\(F(x_{0.9})=0.9\)。即\(1-e^{-0.1x_{0.9}}=0.9\)，移項可得\(e^{-0.1x_{0.9}}=0.1\)。兩邊取自然對數(shù)得\(-0.1x_{0.9}=\ln(0.1)\)，解得\(x_{0.9}=-\frac{\ln(0.1)}{0.1}\approx23.03\)。7.在廣義線性模型中，若響應變量\(Y\)服從泊松分布，通常選擇的連接函數(shù)是（）A.對數(shù)連接函數(shù)B.恒等連接函數(shù)C.倒數(shù)連接函數(shù)D.概率單位連接函數(shù)答案：A解析：對于泊松分布的響應變量，對數(shù)連接函數(shù)是常用的連接函數(shù)。它可以將泊松分布的均值與線性預測器聯(lián)系起來，使得模型具有良好的統(tǒng)計性質。8.設\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X-2)(Y-3)]\)等于（）A.0B.1C.2D.3答案：B解析：根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)。已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X-2)(Y-3)]=Cov(X,Y)=1\)。9.在時間序列分析中，自回歸模型\(AR(p)\)的一般形式為（）A.\(X_t=\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\cdots+\varphi_pX_{t-p}+\epsilon_t\)B.\(X_t=\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}+\epsilon_t\)C.\(X_t=\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\cdots+\varphi_pX_{t-p}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}+\epsilon_t\)D.以上都不對答案：A解析：自回歸模型\(AR(p)\)是用過去\(p\)期的觀測值\(X_{t-1},X_{t-2},\cdots,X_{t-p}\)來預測當前值\(X_t\)，其一般形式為\(X_t=\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\cdots+\varphi_pX_{t-p}+\epsilon_t\)，其中\(zhòng)(\epsilon_t\)是白噪聲序列。選項B是移動平均模型\(MA(q)\)的形式；選項C是自回歸移動平均模型\(ARMA(p,q)\)的形式。10.在精算模型中，信度理論主要用于（）A.估計風險的損失分布B.確定保險費率C.評估保險公司的財務狀況D.分析風險的相關性答案：B解析：信度理論是精算學中的一個重要理論，主要用于在經(jīng)驗數(shù)據(jù)和先驗信息之間進行權衡，以確定更合理的保險費率。通過信度因子，將基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值和基于先驗信息的估計值進行加權平均，得到一個更準確的費率估計。11.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^2\)。若將這組數(shù)據(jù)每個都加上一個常數(shù)\(c\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.\(\overline{x}+c\)，\(s^2\)B.\(\overline{x}\)，\(s^2+c\)C.\(\overline{x}+c\)，\(s^2+c\)D.\(\overline{x}\)，\(s^2\)答案：A解析：設新數(shù)據(jù)為\(y_i=x_i+c,i=1,2,\cdots,n\)。則新數(shù)據(jù)的均值\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+c)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+c=\overline{x}+c\)。新數(shù)據(jù)的方差\(s_y^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+c)-(\overline{x}+c)]^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2=s^2\)。12.在回歸分析中，若判定系數(shù)\(R^2=0.8\)，則說明（）A.自變量解釋了因變量80%的變異B.自變量和因變量之間的相關系數(shù)為0.8C.回歸方程的擬合效果很差D.以上都不對答案：A解析：判定系數(shù)\(R^2\)表示回歸模型中自變量對因變量變異的解釋程度。\(R^2=0.8\)意味著自變量解釋了因變量80%的變異。相關系數(shù)\(r\)與判定系數(shù)\(R^2\)的關系是\(R^2=r^2\)，所以不能直接說自變量和因變量之間的相關系數(shù)為0.8。一般來說，\(R^2\)越接近1，回歸方程的擬合效果越好。13.設某風險的損失隨機變量\(X\)服從伽馬分布\(\Gamma(\alpha,\beta)\)，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\betax},x>0\)，其中\(zhòng)(\alpha>0,\beta>0\)。則該風險的期望和方差分別為（）A.\(\frac{\alpha}{\beta}\)，\(\frac{\alpha}{\beta^2}\)B.\(\frac{\beta}{\alpha}\)，\(\frac{\beta}{\alpha^2}\)C.\(\alpha\beta\)，\(\alpha\beta^2\)D.以上都不對答案：A解析：對于伽馬分布\(\Gamma(\alpha,\beta)\)，其期望\(E(X)=\frac{\alpha}{\beta}\)，方差\(Var(X)=\frac{\alpha}{\beta^2}\)。這可以通過伽馬分布的定義和期望、方差的計算公式推導得出。14.在生存分析中，生存函數(shù)\(S(t)\)與死亡力\(\mu(t)\)之間的關系為（）A.\(S(t)=e^{-\int_{0}^{t}\mu(s)ds}\)B.\(S(t)=1-e^{-\int_{0}^{t}\mu(s)ds}\)C.\(S(t)=\int_{0}^{t}\mu(s)ds\)D.\(S(t)=1-\int_{0}^{t}\mu(s)ds\)答案：A解析：生存函數(shù)\(S(t)\)表示個體在時間\(t\)時仍然存活的概率，死亡力\(\mu(t)\)表示在時刻\(t\)瞬間死亡的概率強度。它們之間的關系為\(S(t)=e^{-\int_{0}^{t}\mu(s)ds}\)。15.在數(shù)據(jù)分析中，主成分分析的主要目的是（）A.減少數(shù)據(jù)的維度B.發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的異常值C.檢驗數(shù)據(jù)的正態(tài)性D.分析數(shù)據(jù)的相關性答案：A解析：主成分分析是一種數(shù)據(jù)降維技術，其主要目的是通過線性變換將原始的高維數(shù)據(jù)轉換為一組低維的綜合變量（主成分），這些主成分盡可能多地保留了原始數(shù)據(jù)的信息，從而減少數(shù)據(jù)的維度，便于后續(xù)的分析和處理。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布可以用于描述風險的損失金額（）A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.伽馬分布D.對數(shù)正態(tài)分布答案：ABCD解析：正態(tài)分布、指數(shù)分布、伽馬分布和對數(shù)正態(tài)分布都可以用于描述風險的損失金額。正態(tài)分布是一種常見的連續(xù)型分布，適用于許多實際情況；指數(shù)分布常用于描述無記憶性的風險損失，如保險理賠的時間間隔等；伽馬分布可以靈活地描述不同形狀的損失分布；對數(shù)正態(tài)分布常用于描述一些具有偏態(tài)特征的損失金額，如財產(chǎn)損失等。2.在數(shù)據(jù)分析中，常用的數(shù)據(jù)預處理方法包括（）A.數(shù)據(jù)清洗B.數(shù)據(jù)標準化C.數(shù)據(jù)離散化D.數(shù)據(jù)抽樣答案：ABCD解析：數(shù)據(jù)預處理是數(shù)據(jù)分析的重要步驟，常用的方法包括數(shù)據(jù)清洗（去除重復數(shù)據(jù)、處理缺失值和異常值等）、數(shù)據(jù)標準化（將數(shù)據(jù)轉換為具有相同尺度的形式，便于比較和分析）、數(shù)據(jù)離散化（將連續(xù)型數(shù)據(jù)轉換為離散型數(shù)據(jù)）和數(shù)據(jù)抽樣（從總體數(shù)據(jù)中抽取一部分樣本進行分析）。3.在精算模型中，以下哪些因素會影響保險費率的確定（）A.風險的損失分布B.保險公司的運營成本C.市場競爭情況D.被保險人的風險特征答案：ABCD解析：保險費率的確定是一個復雜的過程，受到多種因素的影響。風險的損失分布決定了保險公司可能面臨的賠付成本；保險公司的運營成本（如管理費用、營銷費用等）需要通過保險費率來覆蓋；市場競爭情況會影響保險公司在確定費率時的策略，以吸引更多的客戶；被保險人的風險特征（如年齡、性別、健康狀況等）不同，其發(fā)生風險的概率和損失程度也不同，因此會影響保險費率。4.在時間序列分析中，平穩(wěn)時間序列的性質包括（）A.均值為常數(shù)B.方差為常數(shù)C.自協(xié)方差只與時間間隔有關D.自相關系數(shù)為1答案：ABC解析：平穩(wěn)時間序列具有以下性質：均值為常數(shù)，即時間序列的均值不隨時間的變化而變化；方差為常數(shù)，說明序列的波動程度在不同時間點上是穩(wěn)定的；自協(xié)方差只與時間間隔有關，而與具體的時間點無關。自相關系數(shù)是衡量時間序列不同滯后項之間相關性的指標，其取值范圍是\([-1,1]\)，不一定為1。5.在信度理論中，信度因子\(Z\)的取值與以下哪些因素有關（）A.樣本容量B.數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性C.先驗信息的可靠性D.風險的性質答案：ABCD解析：信度因子\(Z\)用于權衡基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值和基于先驗信息的估計值。樣本容量越大，基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計越可靠，信度因子\(Z\)越接近1；數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越高，說明經(jīng)驗數(shù)據(jù)更能反映真實情況，信度因子也會相應增大；先驗信息的可靠性越高，信度因子會相對減小；不同性質的風險，其信度因子的取值也會不同。三、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述線性回歸模型的基本假設，并說明這些假設的重要性。答案：線性回歸模型的基本假設主要包括以下幾個方面：（1）線性性：因變量\(Y\)與自變量\(X_1,X_2,\cdots,X_p\)之間存在線性關系，即\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)，其中\(zhòng)(\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_p\)是待估計的回歸系數(shù)，\(\epsilon\)是隨機誤差項。這個假設是線性回歸模型的基礎，如果不滿足線性性，使用線性回歸模型進行擬合會導致模型不準確。（2）獨立性：隨機誤差項\(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\)相互獨立。也就是說，一個觀測值的誤差不會影響其他觀測值的誤差。獨立性假設對于估計回歸系數(shù)的方差和進行假設檢驗非常重要。如果誤差項不獨立，會導致估計的標準誤差不準確，從而影響假設檢驗的結果和置信區(qū)間的構建。（3）同方差性：隨機誤差項\(\epsilon\)的方差是常數(shù)，即\(Var(\epsilon)=\sigma^2\)，對于所有的觀測值都成立。同方差性假設保證了回歸系數(shù)的最小二乘估計是最優(yōu)線性無偏估計（BLUE）。如果不滿足同方差性，會導致估計的標準誤差不準確，進而影響到假設檢驗和預測的精度。（4）正態(tài)性：隨機誤差項\(\epsilon\)服從正態(tài)分布，即\(\epsilon\simN(0,\sigma^2)\)。正態(tài)性假設使得我們可以進行精確的假設檢驗和構建置信區(qū)間。在進行回歸系數(shù)的顯著性檢驗和預測區(qū)間的計算時，正態(tài)性假設是必不可少的。如果誤差項不服從正態(tài)分布，在大樣本情況下，可以根據(jù)中心極限定理進行近似推斷，但在小樣本情況下，可能會導致結果不準確。這些假設的重要性在于它們保證了線性回歸模型的有效性和可靠性。只有在滿足這些假設的前提下，我們才能使用最小二乘法等方法來估計回歸系數(shù)，進行假設檢驗和預測，并且得到的結果才具有統(tǒng)計學意義。如果這些假設不滿足，我們需要對數(shù)據(jù)進行適當?shù)淖儞Q或采用其他更合適的模型來進行分析。2.解釋信度理論中的有限波動信度和最大信度的概念，并說明它們之間的關系。答案：（1）有限波動信度有限波動信度是信度理論中的一個重要概念，它主要關注的是基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值與真實值之間的波動程度。在保險費率厘定等精算問題中，我們通常希望通過經(jīng)驗數(shù)據(jù)來估計風險的損失情況，但由于樣本的局限性，經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值可能會與真實值存在一定的偏差。有限波動信度的目標是在一定的概率保證下，使基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值與真實值之間的波動控制在一個可接受的范圍內。設\(X\)是基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值，\(\mu\)是真實值，有限波動信度要求在給定的概率\(1-\alpha\)下，滿足\(P\left(\left|\frac{X-\mu}{\mu}\right|\leqk\right)\geq1-\alpha\)，其中\(zhòng)(k\)是預先給定的相對誤差界限。通過確定滿足這個條件的樣本容量\(n\)，可以得到一個信度因子\(Z\)，用于在經(jīng)驗數(shù)據(jù)估計值和先驗信息估計值之間進行加權平均。（2）最大信度最大信度是指在信度理論中，當樣本容量足夠大時，基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計值可以完全代表真實值，此時信度因子\(Z=1\)。也就是說，我們可以完全信賴經(jīng)驗數(shù)據(jù)的估計結果，而不需要考慮先驗信息。最大信度是信度理論中的一種理想情況，在實際應用中，由于各種因素的限制，很難達到最大信度。（3）兩者之間的關系有限波動信度和最大信度是信度理論中相互關聯(lián)的兩個概念。有限波動信度是在考慮樣本容量有限的情況下，通過控制估計值與真實值之間的波動來確定信度因子，以平衡經(jīng)驗數(shù)據(jù)和先驗信息。而最大信度是有限波動信度的一種極限情況，當樣本容量不斷增大，達到一定程度時，有限波動信度逐漸趨近于最大信度，信度因子\(Z\)趨近于1。在實際應用中，我們通常根據(jù)有限波動信度的方法來確定信度因子，以在經(jīng)驗數(shù)據(jù)和先驗信息之間進行合理的權衡，而最大信度則為我們提供了一個理論上的參考標準。四、計算題（每題15分，共30分）1.某保險公司承保了兩類風險，第一類風險有\(zhòng)(n_1=500\)份保單，每份保單的平均索賠額為\(\overline{x}_1=2000\)元，標準差為\(s_1=500\)元；第二類風險有\(zhòng)(n_2=300\)份保單，每份保單的平均索賠額為\(\overline{x}_2=3000\)元，標準差為\(s_2=600\)元。假設兩類風險相互獨立，求這兩類風險的總索賠額的均值和標準差。答案：設\(X_1\)表示第一類風險的總索賠額，\(X_2\)表示第二類風險的總索賠額，\(X=X_1+X_2\)表示兩類風險的總索賠額。（1）計算總索賠額的均值根據(jù)期望的性質，對于獨立隨機變量\(X_1\)和\(X_2\)，有\(zhòng)(E(X)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)\)。第一類風險的總索賠額\(X_1\)的均值\(E(X_1)=n_1\overline{x}_1\)，已知\(n_1=500\)，\(\overline{x}_1=2000\)元，則\(E(X_1)=500\times2000=1000000\)元。第二類風險的總索賠額\(X_2\)的均值\(E(X_2)=n_2\overline{x}_2\)，已知\(n_2=300\)，\(\overline{x}_2=3000\)元，則\(E(X_2)=300\times3000=900000\)元。所以，兩類風險的總索賠額的均值\(E(X)=E(X_1)+E(X_2)=1000000+900000=1900000\)元。（2）計算總索賠額的標準差根據(jù)方差的性質，對于獨立隨機變量\(X_1\)和\(X_2\)，有\(zhòng)(Var(X)=Var(X_1+X_2)=Var(X_1)+Var(X_2)\)。第一類風險的總索賠額\(X_1\)的方差\(Var(X_1)=n_1s_1^2\)，已知\(n_1=500\)，\(s_1=500\)元，則\(Var(X_1)=500\times500^2=500\times250000=125000000\)。第二類風險的總索賠額\(X_2\)的方差\(Var(X_2)=n_2s_2^2\)，已知\(n_2=300\)，\(s_2=600\)元，則\(Var(X_2)=300\times600^2=300\times360000=108000000\)。所以，兩類風險的總索賠額的方差\(Var(X)=Var(X_1)+Var(X_2)=125000000+108000000=233000000\)。則總索賠額的標準差\(\sigma=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{233000000}\approx15264.34\)元。綜上，這兩類風險的總索賠額的均值為1900000元，標準差約為15264.34元。2.已知某風險的損失隨機變量\(X\)服從帕累托分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}},x>0\)，其中\(zhòng)(\alpha>0,\theta>0\)。求該風險的期望和方差。答案：（1）計算期望\(E(X)\)期望的計算公式為\(E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdotf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}}dx\)。令\(t=x+\theta\)，則\(x=t-\theta\)，\(dx=dt\)。當\(x=0\)時，\(t=\theta\)；當\(x\rightarrow+\infty\)時，\(t\rightarrow+\infty\)。則\(E(X)=\int_{\theta}^{+\infty}(t-\theta)\cdot\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{t^{\alpha+1}}dt=\alpha\theta^{\alpha}\int_{\theta}^{+\infty}\left(\frac{1}{t^{\alpha}}-\frac{\theta}{t^{\alpha+1}}\right)dt\)\(=\alpha\theta^{\alpha}\left[\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt-\theta\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha+1}}dt\right]\)對于積分\(\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_{\theta}^t^{-\alpha}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left[\frac{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\right]_{\theta}^\)，當\(\alpha>1\)時，\(\lim_{b\rightarrow+\infty}\frac{b^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}=0\)，則\(\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\frac{\theta^{-\alpha+1}}{\alpha-1}\)。對于積分\(\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha+1}}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_{\theta}^t^{-(\alpha+1)}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left[\frac{t^{-(\alpha+1)+1}}{-(\alpha+1)+1}\right]_{\theta}^=\frac{\theta^{-\alpha}}{\alpha}\)。所以\(E(X)=\alpha\theta^{\alpha}\left(\frac{\theta^{-\alpha+1}}{\alpha-1}-\theta\cdot\frac{\theta^{-\alpha}}{\alpha}\right)=\frac{\theta}{\alpha-1}\)，當\(\alpha>1\)時；當\(\alpha\leq1\)時，期望不存在。（2）計算方差\(Var(X)\)首先計算\(E(X^2)=\int_{0}^{+\infty}x^2\cdotf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x^2\cdot\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}}dx\)。同樣令\(t=x+\theta\)，則\(x=t-\theta\)，\(dx=dt\)。\(E(X^2)=\alpha\theta^{\alpha}\int_{\theta}^{+\infty}(t-\theta)^2\cdot\frac{1}{t^{\alpha+1}}dt=\alpha\theta^{\alpha}\int_{\theta}^{+\infty}\left(\frac{t^2}{t^{\alpha+1}}-\frac{2\thetat}{t^{\alpha+1}}+\frac{\theta^2}{t^{\alpha+1}}\right)dt\)\(=\alpha\theta^{\alpha}\left[\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha-1}}dt-2\theta\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt+\theta^2\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha+1}}dt\right]\)當\(\alpha>2\)時：\(\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha-1}}dt=\frac{\theta^{-\alpha+2}}{\alpha-2}\)，\(\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\frac{\theta^{-\alpha+1}}{\alpha-1}\)，\(\int_{\theta}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha+1}}dt=\frac{\theta^{-\alpha}}{\alpha}\)。\(E(X^2)=\alpha\theta^{\alpha}\left(\frac{\theta^{-\alpha+2}}{\alpha-2}-2\theta\cdot\frac{\theta^{-\alpha+1}}{\alpha-1}+\theta^2\cdot\frac{\theta^{-\alpha}}{\alpha}\right)=\frac{2\theta^2}{(\alpha-1)(\alpha-2)}\)根據(jù)方差的計算公式\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，當\(\alpha>2\)時：\(Var(X)=\frac{2\theta^2}{(\alpha-1)(\alpha-2)}-\left(\frac{\theta}{\alpha-1}\right)^2=\frac{\theta^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\)當\(\alpha\leq2\)時，方差不存在。綜上，當\(\alpha>1\)時，期望\(E(X)=\frac{\theta}{\alpha-1}\)；當\(\alpha>2\)時，方差\(Var(X)=\frac{\theta^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\)。五、論述題（10分