2025年下半年精算師職業(yè)資格考試[中國精算師]訓練題及答案數學基礎部分單項選擇題1.已知隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda=2\)的泊松分布，則\(P(X=3)\)的值為（）A.\(\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)B.\(\frac{3^2e^{-3}}{2!}\)C.\(\frac{2^3e^{-3}}{3!}\)D.\(\frac{3^2e^{-2}}{2!}\)答案：A解析：若隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda\)的泊松分布，其概率質量函數為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，這里\(\lambda=2\)，\(k=3\)，所以\(P(X=3)=\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)。2.設\(A\)和\(B\)是兩個事件，且\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.7\)，\(P(A\cupB)=0.9\)，則\(P(A\capB)\)為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案：C解析：根據概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，將\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.7\)，\(P(A\cupB)=0.9\)代入可得：\(0.9=0.6+0.7-P(A\capB)\)，解得\(P(A\capB)=0.4\)。3.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)是樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)答案：A解析：當總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)且\(\sigma^2\)已知時，\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為\((\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)，其中\(zhòng)(z_{\frac{\alpha}{2}}\)是標準正態(tài)分布的上\(\frac{\alpha}{2}\)分位數。解答題1.設隨機變量\(X\)的概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}kx(1-x),&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求常數\(k\)的值；（2）求\(X\)的分布函數\(F(x)\)。答案：（1）由概率密度函數的性質\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，可得：\(\int_{0}^{1}kx(1-x)dx=1\)\(k\int_{0}^{1}(x-x^2)dx=1\)\(k\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=1\)\(k\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1\)\(\frac{k}{6}=1\)，解得\(k=6\)。（2）當\(x\lt0\)時，\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=0\)；當\(0\leqx\leq1\)時，\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}6t(1-t)dt=6\int_{0}^{x}(t-t^2)dt=6\left[\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_0^x=3x^2-2x^3\)；當\(x\gt1\)時，\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}6t(1-t)dt=1\)。所以\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\3x^2-2x^3,&0\leqx\leq1\\1,&x\gt1\end{cases}\)金融數學部分單項選擇題1.某債券面值為1000元，票面年利率為8%，期限為5年，每年付息一次。若市場利率為10%，則該債券的價格為（）A.924.16元B.1000元C.1075.84元D.1100元答案：A解析：債券價格計算公式為\(P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+r)^t}+\frac{M}{(1+r)^n}\)，其中\(zhòng)(C\)為每年利息（\(C=1000\times8\%=80\)元），\(r\)為市場利率（\(r=10\%\)），\(M\)為債券面值（\(M=1000\)元），\(n\)為期限（\(n=5\)）。\(P=80\times\frac{1-(1+0.1)^{-5}}{0.1}+\frac{1000}{(1+0.1)^5}\approx80\times3.7908+620.92=924.16\)元。2.假設無風險利率為5%，市場組合的預期收益率為12%，某股票的\(\beta\)系數為1.5，則該股票的預期收益率為（）A.15.5%B.13.5%C.14.5%D.12.5%答案：A解析：根據資本資產定價模型\(E(R_i)=R_f+\beta[E(R_m)-R_f]\)，其中\(zhòng)(E(R_i)\)為股票預期收益率，\(R_f\)為無風險利率（\(R_f=5\%\)），\(\beta\)為股票的\(\beta\)系數（\(\beta=1.5\)），\(E(R_m)\)為市場組合預期收益率（\(E(R_m)=12\%\)）。\(E(R_i)=5\%+1.5\times(12\%-5\%)=5\%+10.5\%=15.5\%\)。3.一份歐式看漲期權，標的資產價格為50元，執(zhí)行價格為55元，無風險利率為6%，期權到期時間為1年，波動率為20%。使用布萊克-斯科爾斯公式計算該期權價格時，\(d_1\)的值為（）A.-0.32B.-0.22C.-0.12D.-0.02答案：B解析：布萊克-斯科爾斯公式中\(zhòng)(d_1=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\)，其中\(zhòng)(S=50\)元，\(K=55\)元，\(r=6\%\)，\(T=1\)年，\(\sigma=20\%\)。\(d_1=\frac{\ln(\frac{50}{55})+(0.06+\frac{0.2^2}{2})\times1}{0.2\times\sqrt{1}}\approx\frac{-0.0953+0.08}{0.2}\approx-0.22\)。解答題1.某投資者在年初以100元的價格買入一只股票，持有期間獲得股息5元，年末該股票價格為110元。（1）計算該股票的持有期收益率；（2）若該投資者在年末將股票賣出，同時用所得資金以90元的價格買入另一只股票，持有6個月后以95元的價格賣出，計算該投資者在這一年半內的平均年收益率。答案：（1）持有期收益率\(HPR=\frac{P_1-P_0+D}{P_0}\)，其中\(zhòng)(P_0=100\)元，\(P_1=110\)元，\(D=5\)元。\(HPR=\frac{110-100+5}{100}=0.15=15\%\)。（2）第一步投資的終值為\(110+5=115\)元，用115元買入第二只股票，6個月后賣出得到95元，設第二只股票6個月的收益率為\(r_2\)，則\(r_2=\frac{95-90}{90}=\frac{5}{90}\approx0.0556\)。一年半的總收益率\(R=(1+0.15)(1+0.0556)-1\approx0.213\)。設平均年收益率為\(r\)，則\((1+r)^{1.5}=1+0.213\)，\(r=(1+0.213)^{\frac{2}{3}}-1\approx0.138=13.8\%\)。精算模型部分單項選擇題1.在壽險精算中，\(l_x\)表示\(x\)歲的生存人數，\(d_x\)表示\(x\)歲到\(x+1\)歲的死亡人數，則\(q_x\)（\(x\)歲的死亡概率）等于（）A.\(\frac{d_x}{l_x}\)B.\(\frac{d_x}{l_{x+1}}\)C.\(\frac{l_x}{d_x}\)D.\(\frac{l_{x+1}}{d_x}\)答案：A解析：根據死亡概率的定義，\(q_x=\frac{d_x}{l_x}\)。2.某保險公司承保了1000份獨立同分布的保險合同，每份合同在一年內發(fā)生索賠的概率為0.1。用泊松近似計算一年內索賠次數不超過120次的概率時，泊松分布的參數\(\lambda\)為（）A.100B.110C.120D.130答案：A解析：當\(n\)很大，\(p\)很小時，二項分布\(B(n,p)\)可以用泊松分布\(P(\lambda)\)近似，其中\(zhòng)(\lambda=np\)。這里\(n=1000\)，\(p=0.1\)，所以\(\lambda=1000\times0.1=100\)。3.已知某險種的損失分布服從參數為\(\lambda=2\)的指數分布，免賠額為1，則每次損失的平均賠付額為（）A.\(0.5e^{-2}\)B.\(0.5e^{-1}\)C.\(e^{-2}\)D.\(e^{-1}\)答案：B解析：設損失隨機變量為\(X\)，\(X\simExp(\lambda)\)，賠付隨機變量為\(Y=\max(X-d,0)\)（\(d\)為免賠額）。對于指數分布\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，\(E(Y)=\int_yk8iuom^{+\infty}(x-d)\lambdae^{-\lambdax}dx\)，令\(t=x-d\)，則\(E(Y)=\int_{0}^{+\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+d)}dt=e^{-\lambdad}\int_{0}^{+\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt\)。已知\(\lambda=2\)，\(d=1\)，且\(\int_{0}^{+\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}\)，所以\(E(Y)=e^{-2\times1}\times\frac{1}{2}=0.5e^{-1}\)。解答題1.設某壽險保單的死亡給付為10000元，在\(x\)歲的死亡概率\(q_x=0.01\)，利率\(i=0.05\)。（1）計算該保單在\(x\)歲的自然保費；（2）若該保單是完全連續(xù)型的，計算該保單在\(x\)歲的躉繳純保費。答案：（1）自然保費\(P=\frac{10000\timesq_x}{1+i}=\frac{10000\times0.01}{1+