2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算數(shù)學）綜合試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.已知年利率為5%，按連續(xù)復利計算，現(xiàn)在投資多少元，10年后可得10000元？A.$10000e^{-0.5}$B.$10000e^{0.5}$C.$10000e^{-5}$D.$10000e^{5}$答案：A詳細解答：連續(xù)復利的計算公式為$A=Pe^{rt}$，其中$A$是終值，$P$是現(xiàn)值，$r$是年利率，$t$是時間。已知$A=10000$，$r=0.05$，$t=10$，則$P=\frac{A}{e^{rt}}=10000e^{-0.05\times10}=10000e^{-0.5}$。2.設隨機變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B詳細解答：泊松分布的概率質量函數(shù)為$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$。已知$P(X=1)=P(X=2)$，即$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，化簡可得$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因為$\lambda>0$，所以解得$\lambda=2$。3.已知某保險標的在一年內發(fā)生損失的概率為0.1，若有10個這樣獨立的保險標的，那么恰有2個標的在一年內發(fā)生損失的概率為（）A.$C_{10}^2\times0.1^{2}\times0.9^{8}$B.$C_{10}^2\times0.1^{8}\times0.9^{2}$C.$0.1^{2}\times0.9^{8}$D.$0.1^{8}\times0.9^{2}$答案：A詳細解答：這是一個二項分布問題，二項分布的概率公式為$P(X=k)=C_{n}^k\timesp^{k}\times(1-p)^{n-k}$，其中$n$是試驗次數(shù)，$k$是成功次數(shù)，$p$是每次試驗成功的概率。這里$n=10$，$k=2$，$p=0.1$，所以恰有2個標的在一年內發(fā)生損失的概率為$P(X=2)=C_{10}^2\times0.1^{2}\times0.9^{8}$。4.設隨機變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}$，則$E(X)$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.1答案：B詳細解答：隨機變量$X$的數(shù)學期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$。已知$f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}$，則$E(X)=\int_{0}^{1}x\times2xdx=\int_{0}^{1}2x^{2}dx=\left[\frac{2}{3}x^{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}$。5.若隨機變量$X$和$Y$相互獨立，且$X\simN(1,4)$，$Y\simN(2,9)$，則$X+Y$服從的分布是（）A.$N(3,13)$B.$N(3,5)$C.$N(1,13)$D.$N(1,5)$答案：A詳細解答：若$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，且$X$和$Y$相互獨立，則$X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})$。已知$X\simN(1,4)$，$Y\simN(2,9)$，所以$X+Y\simN(1+2,4+9)=N(3,13)$。6.已知某壽險保單在時刻$t$的準備金為$V_t$，保險金額為$b$，死亡力為$\mu_{x+t}$，利息力為$\delta$，則準備金的微分方程為（）A.$\frac{dV_t}{dt}=(\delta+\mu_{x+t})V_t-\mu_{x+t}b$B.$\frac{dV_t}{dt}=(\delta-\mu_{x+t})V_t+\mu_{x+t}b$C.$\frac{dV_t}{dt}=(\delta+\mu_{x+t})V_t+\mu_{x+t}b$D.$\frac{dV_t}{dt}=(\delta-\mu_{x+t})V_t-\mu_{x+t}b$答案：A詳細解答：根據(jù)壽險準備金的推導，準備金的微分方程為$\frac{dV_t}{dt}=(\delta+\mu_{x+t})V_t-\mu_{x+t}b$。7.某保險公司承保了100份獨立的保險合同，每份合同的索賠額$X_i$服從均值為1000元，標準差為200元的分布。用中心極限定理估計該保險公司的總索賠額$S=\sum_{i=1}^{100}X_i$超過103000元的概率約為（）A.$1-\varPhi(1.5)$B.$\varPhi(1.5)$C.$1-\varPhi(0.15)$D.$\varPhi(0.15)$答案：A詳細解答：已知$E(X_i)=1000$，$D(X_i)=200^{2}=40000$，$n=100$。則$E(S)=nE(X_i)=100\times1000=100000$，$D(S)=nD(X_i)=100\times40000=4000000$，$\sigma_S=\sqrt{D(S)}=2000$。根據(jù)中心極限定理，$S$近似服從$N(100000,4000000)$。$P(S>103000)=1-P(S\leq103000)=1-\varPhi(\frac{103000-100000}{2000})=1-\varPhi(1.5)$。8.已知某年金在每年年初支付1元，共支付$n$年，年利率為$i$，則該年金的現(xiàn)值為（）A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}$B.$a_{\overline{n}|i}$C.$(1+i)a_{\overline{n}|i}$D.$\frac{1-v^{n}}{i}$答案：A詳細解答：每年年初支付的年金為期初年金，其現(xiàn)值記為$\ddot{a}_{\overline{n}|i}$。$a_{\overline{n}|i}$是期末年金現(xiàn)值，$(1+i)a_{\overline{n}|i}=\ddot{a}_{\overline{n}|i}$，$\frac{1-v^{n}}{i}=a_{\overline{n}|i}$。9.設隨機變量$X$的分布函數(shù)為$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\x^{2},&0\leqx<1\\1,&x\geq1\end{cases}$，則$P(0.2<X<0.5)$的值為（）A.0.21B.0.25C.0.04D.0.49答案：A詳細解答：$P(0.2<X<0.5)=F(0.5)-F(0.2)=0.5^{2}-0.2^{2}=0.25-0.04=0.21$。10.已知某保險產品的純保費為$P$，附加保費為$A$，則該保險產品的毛保費為（）A.$P-A$B.$P+A$C.$\frac{P}{A}$D.$P\timesA$答案：B詳細解答：毛保費是純保費和附加保費之和，即毛保費$=P+A$。11.若$a_{\overline{n}|i}=5$，$a_{\overline{2n}|i}=8$，則$v^{n}$的值為（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{1}{5}$D.$\frac{4}{5}$答案：B詳細解答：因為$a_{\overline{2n}|i}=a_{\overline{n}|i}+v^{n}a_{\overline{n}|i}$，已知$a_{\overline{n}|i}=5$，$a_{\overline{2n}|i}=8$，則$8=5+5v^{n}$，解得$v^{n}=\frac{3}{5}$。12.設隨機變量$X$和$Y$的協(xié)方差$Cov(X,Y)=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，則$X$和$Y$的相關系數(shù)$\rho_{XY}$為（）A.$-\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.$-\frac{2}{3}$D.$\frac{2}{3}$答案：A詳細解答：相關系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，已知$Cov(X,Y)=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，則$\rho_{XY}=\frac{-2}{\sqrt{4\times9}}=-\frac{1}{3}$。13.某離散型隨機變量$X$的可能取值為1，2，3，對應的概率分別為0.2，0.5，0.3，則$E(X^{2})$的值為（）A.4.9B.5.9C.6.9D.7.9答案：B詳細解答：$E(X^{2})=1^{2}\times0.2+2^{2}\times0.5+3^{2}\times0.3=0.2+2+2.7=5.9$。14.已知某保險費率厘定采用純保費法，某類風險的純保費為500元，費用率為20%，則該類風險的毛保費為（）A.600元B.625元C.700元D.750元答案：B詳細解答：設毛保費為$P$，純保費為$P_0$，費用率為$r$，則$P_0=(1-r)P$，已知$P_0=500$，$r=0.2$，可得$P=\frac{P_0}{1-r}=\frac{500}{1-0.2}=625$元。15.對于一個完全連續(xù)的終身壽險，保險金額為1，死亡力為常數(shù)$\mu$，利息力為常數(shù)$\delta$，則該壽險的躉繳純保費為（）A.$\frac{\mu}{\mu+\delta}$B.$\frac{\delta}{\mu+\delta}$C.$\frac{\mu}{\delta}$D.$\frac{\delta}{\mu}$答案：A詳細解答：完全連續(xù)終身壽險的躉繳純保費$\overline{A}_x=\int_{0}^{+\infty}v^{t}\mu_{x+t}p_{x}dt$，當$\mu$為常數(shù)時，$p_{x}=e^{-\mut}$，$v^{t}=e^{-\deltat}$，則$\overline{A}_x=\int_{0}^{+\infty}e^{-(\delta+\mu)t}\mudt=\frac{\mu}{\mu+\delta}$。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下關于精算假設的說法正確的有（）A.精算假設包括死亡率假設、利率假設、費用率假設等B.死亡率假設通常根據(jù)經(jīng)驗生命表來確定C.利率假設對保險產品的定價和準備金計算有重要影響D.費用率假設需要考慮公司的運營成本、銷售費用等答案：ABCD詳細解答：精算假設是精算工作中對未來不確定因素的估計，包括死亡率假設、利率假設、費用率假設等。死亡率假設一般依據(jù)經(jīng)驗生命表，它反映了不同年齡段人群的死亡概率。利率假設直接影響保險產品的定價和準備金計算，因為資金具有時間價值。費用率假設要涵蓋公司運營過程中的各種成本，如運營成本、銷售費用等。2.下列屬于年金分類的有（）A.期末年金B(yǎng).期初年金C.永續(xù)年金D.變額年金答案：ABCD詳細解答：年金可以按支付時間分為期末年金（每期期末支付）和期初年金（每期期初支付）；按支付期限分為永續(xù)年金（無限期支付）；按支付金額是否變化分為變額年金（支付金額隨時間變化）。3.關于隨機變量的數(shù)字特征，以下說法正確的有（）A.數(shù)學期望反映了隨機變量取值的平均水平B.方差反映了隨機變量取值的離散程度C.協(xié)方差可以衡量兩個隨機變量之間的線性關系D.相關系數(shù)的取值范圍是$[-1,1]$答案：ABCD詳細解答：數(shù)學期望$E(X)$是隨機變量所有可能取值的加權平均，體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平。方差$D(X)=E[(X-E(X))^{2}]$衡量了隨機變量取值相對于其均值的離散程度。協(xié)方差$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$用于衡量兩個隨機變量之間的線性關系。相關系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$的取值范圍是$[-1,1]$，其絕對值越接近1，線性關系越強。4.在壽險準備金計算中，需要考慮的因素有（）A.保險金額B.死亡率C.利率D.退保率答案：ABCD詳細解答：壽險準備金的計算是一個復雜的過程，需要考慮多個因素。保險金額是確定賠償金額的基礎，死亡率影響著保險事故發(fā)生的概率，利率涉及資金的時間價值，退保率也會對準備金產生影響，因為退保會改變保險合同的存續(xù)情況。5.以下關于風險度量的指標有（）A.方差B.標準差C.風險價值（VaR）D.條件風險價值（CVaR）答案：ABCD詳細解答：方差和標準差是常用的風險度量指標，它們反映了隨機變量取值的離散程度，離散程度越大，風險越高。風險價值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產或投資組合在未來特定的一段時間內可能遭受的最大損失。條件風險價值（CVaR）是在給定損失超過VaR的條件下，損失的期望值，它彌補了VaR在度量尾部風險方面的不足。三、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述精算師在保險產品定價中的主要工作。精算師在保險產品定價中起著核心作用，主要工作包括以下幾個方面：首先是數(shù)據(jù)收集與分析。精算師需要收集大量與保險業(yè)務相關的數(shù)據(jù)，如死亡率、發(fā)病率、傷殘率、退保率等，這些數(shù)據(jù)是定價的基礎。通過對這些數(shù)據(jù)的分析，了解不同風險因素的特征和規(guī)律，為后續(xù)的定價模型提供準確的參數(shù)。其次是風險評估。根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，精算師對保險標的所面臨的風險進行評估。例如，對于人壽保險，評估不同年齡段、性別、健康狀況的人群的死亡風險；對于財產保險，評估不同類型財產面臨的自然災害、意外事故等風險。準確的風險評估有助于確定合理的保險費率。然后是定價模型的選擇與構建。精算師會根據(jù)保險產品的特點和風險評估結果，選擇合適的定價模型。常見的定價模型有凈保費模型、毛保費模型等。在構建模型時，需要考慮各種因素，如利率、費用率、利潤目標等，以確保模型能夠準確反映保險產品的成本和風險。接著是費率計算。利用定價模型和確定的參數(shù)，精算師計算出保險產品的費率。費率的計算要保證保險公司在承擔風險的同時，能夠覆蓋成本并獲得合理的利潤。最后是敏感性分析和方案調整。精算師會對定價模型進行敏感性分析，評估不同因素（如利率變動、死亡率變化等）對費率的影響。根據(jù)敏感性分析的結果，對定價方案進行調整和優(yōu)化，以提高保險產品的競爭力和適應性。2.說明中心極限定理在精算中的應用。中心極限定理在精算中具有廣泛而重要的應用，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：在保險風險評估方面，保險公司通常承保大量獨立的保險標的。每個保險標的的索賠額可以看作是一個隨機變量。根據(jù)中心極限定理，當保險標的數(shù)量足夠大時，這些隨機變量的總和（總索賠額）近似服從正態(tài)分布。這使得精算師可以利用正態(tài)分布的性質來評估總索賠額的分布特征，如計算總索賠額的均值和方差，進而評估保險公司面臨的風險。在保險費率厘定中，通過中心極限定理可以估計總索賠額的分布，從而確定合理的保險費率。例如，精算師可以根據(jù)總索賠額超過一定金額的概率來確定附加保費，以確保保險公司在大多數(shù)情況下能夠承擔賠償責任。在準備金計算中，中心極限定理有助于精算師估計未來可能的索賠支出。保險公司需要預留一定的準備金以應對未來的索賠。利用中心極限定理對總索賠額進行近似，精算師可以更準確地計算準備金的規(guī)模，保證保險公司的財務穩(wěn)定性。在再保險安排方面，再保險公司需要評估接受分保業(yè)務的風險。中心極限定理可以幫助再保險公司分析分保業(yè)務的總索賠額分布，從而確定合理的再保險費率和分保比例，降低自身的風險。四、計算題（每題15分，共30分）1.某保險公司推出一款3年期的定期壽險產品，保險金額為10萬元。已知3年期的生存概率$p_{x}=0.95$，$p_{x+1}=0.96$，$p_{x+2}=0.97$，年利率$i=0.05$。（1）計算該定期壽險的躉繳純保費。（2）若采用均衡純保費方式繳納保費，計算每年年初繳納的均衡純保費。（1）首先計算各年的死亡概率：$q_{x}=1-p_{x}=1-0.95=0.05$$q_{x+1}=1-p_{x+1}=1-0.96=0.04$$q_{x+2}=1-p_{x+2}=1-0.97=0.03$躉繳純保費$A_{x:\overline{3}|}^1=vq_{x}+v^{2}_{x}p_{x}q_{x+1}+v^{3}_{x}p_{x}_{x+1}p_{x}q_{x+2}$其中$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}$$vq_{x}=\frac{1}{1.05}\times0.05\approx0.0476$$v^{2}_{x}p_{x}q_{x+1}=(\frac{1}{1.05})^{2}\times0.95\times0.04\approx0.0347$$v^{3}_{x}p_{x}_{x+1}p_{x}q_{x+2}=(\frac{1}{1.05})^{3}\times0.95\times0.96\times0.03\approx0.0247$$A_{x:\overline{3}|}^1=0.0476+0.0347+0.0247=0.107$保險金額為10萬元，所以躉繳純保費為$100000\times0.107=10700$元。（2）先計算期初年金現(xiàn)值$\ddot{a}_{x:\overline{3}|}=1+v_{x}p_{x}+v^{2}_{x}p_{x}_{x+1}p_{x}$$v_{x}p_{x}=\frac{1}{1.05}\times0.95\approx0.9048$$v^{2}_{x}p_{x}_{x+1}p_{x}=(\frac{1}{1.05})^{2}\times0.95\times0.96\approx0.8398$$\ddot{a}_{x:\overline{3}|}=1+0.9048+0.8398=2.7446$設每年年初繳納的均衡純保費為$P$，根據(jù)躉繳純保費與均衡純保費的關系$P\times\ddot{a}_{x:\overline{3}|}=A_{x:\overline{3}|}^1\times100000$$P=\frac{10700}{2.7446}\approx3898.5$元2.設隨機變量$X$和$Y$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&其他\end{cases}$（1）求$X$和$Y$的邊緣概率密度函數(shù)。（2）判斷$X$和$Y$是否相互獨立。（1）求$X$的邊緣概率密度函數(shù)$f_X(x)$：$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$當$x>0$時，$f_X(x)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-2y}dy$$=2e^{-x}\left[-\frac{1}{2}e^{-2y}\right]_0^{+\infty}=e^{-x}$當$x\leq0$時，$f_X(x)=0$，所以$f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&其他\end{cases}$求$Y$的邊緣概率密度函數(shù)$f_Y(y)$：$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$當$y>0$時，$f_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y}\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$$=2e^{-2y}\left[-e^{-x}\right]_0^{+\infty}=2e^{-2y}$當$y\leq0$時，$f_Y(y)=0$，所以$f_Y(y)=\begin{cases}2e^{-2y},&y>0\\0,&其他\end{cases}$（2）判斷$X$和$Y$是否相互獨立：若$X$和$Y$相互獨立，則$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$已知$f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&其他\end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases}2e^{-2y},&y>0\\0,&其他\end{cases}$當$x>0,y>0$時，$f_X(x)f_Y(y)=e^{-x}\times2e^{-2y}=2e^{-(x+2y)}=f(x,y)$當$x\leq0$或$y\leq0$時，$f_X(x)f_Y(y)=0=f(x,y)$所以$X$和$Y$相互獨立。五、論述題（15分）論述大數(shù)據(jù)和人工智能技術對精算行業(yè)的影