2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬卷及解析一、前言高考數(shù)學(xué)作為檢驗(yàn)學(xué)生邏輯思維、抽象概括、空間想象及運(yùn)算求解能力的重要學(xué)科，其備考過程不僅需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識積累，更需要對各類題型的深入理解和解題技巧的靈活運(yùn)用。為幫助廣大考生更好地進(jìn)行考前沖刺，熟悉命題趨勢，把握考試重點(diǎn)，本文精心編制了一套2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷，并附上詳細(xì)解析。本模擬卷在題型設(shè)置、難度分布上力求貼近真題，旨在為考生提供一次真實(shí)的模擬演練機(jī)會。二、模擬試題（一）選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2-3x+2<0}，集合B={x|1<x<3}，則A∩B=（）A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.?2.函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最小正周期和最大值分別是（）A.π，1B.π，√2C.2π，1D.2π，√23.已知向量a=(1,m)，b=(2,-1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-2B.-1/2C.1/2D.24.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：略），則該幾何體的體積為（）（注：此處應(yīng)有三視圖，為方便描述，假設(shè)為一個底面為直角三角形的直三棱柱，直角邊分別為a,b，高為c）A.1/2abcB.abcC.1/3abcD.1/6abc5.已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若S?=7，S?=63，則公比q的值為（）A.2B.-2C.3D.-36.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，若f'(1)=0，f'(2)=0，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)（二）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。7.計(jì)算：log?8+2?=_________。8.若雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±√3x，則該雙曲線的離心率為_________。9.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，cosC=1/4，則c=_________。（三）解答題：本題共3小題，共55分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（本小題滿分17分）已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，且a?=5，a?=14。（Ⅰ）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)b?=2^(a?)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?。11.（本小題滿分18分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：A?B//平面ADC?；（Ⅱ）求直線A?D與平面BCC?B?所成角的正弦值。（注：此處應(yīng)有直觀圖，描述為底面是等腰直角三角形ABC，直角頂點(diǎn)為A，側(cè)棱AA?垂直于底面，D是BC中點(diǎn)）12.（本小題滿分20分）已知橢圓C：x2/4+y2/3=1的左、右焦點(diǎn)分別為F?、F?，過點(diǎn)F?的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)。（Ⅰ）若直線l的傾斜角為45°，求線段AB的長；（Ⅱ）若點(diǎn)M在橢圓C上，且四邊形AMBF?為平行四邊形，求直線l的方程。三、詳細(xì)解析（一）選擇題1.答案：A解析：解集合A中的不等式x2-3x+2<0，因式分解得(x-1)(x-2)<0，解得1<x<2，所以A=(1,2)。集合B=(1,3)，則A∩B=(1,2)。故選A。2.答案：D解析：f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，其最小正周期T=2π，最大值為√2。故選D。3.答案：D解析：向量a=(1,m)，b=(2,-1)，因?yàn)閍⊥b，所以a·b=1×2+m×(-1)=0，即2-m=0，解得m=2。故選D。4.答案：A解析：由三視圖可知，該幾何體為直三棱柱，底面為直角三角形，直角邊長分別為a和b，棱柱的高為c。其體積V=底面積×高=(1/2ab)×c=1/2abc。故選A。5.答案：A解析：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式為S?=a?(1-q?)/(1-q)(q≠1)。已知S?=7，S?=63。則S?=S?+q3S?=S?(1+q3)，即63=7(1+q3)，解得1+q3=9，q3=8，所以q=2。故選A。6.答案：C解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，f'(x)=3x2+2ax+b。由f'(1)=0，f'(2)=0知，1和2是導(dǎo)函數(shù)f'(x)的兩個零點(diǎn)，所以f'(x)=3(x-1)(x-2)。當(dāng)x∈(1,2)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。故選C。（二）填空題7.答案：4解析：log?8=log?23=3，2?=1，所以log?8+2?=3+1=4。8.答案：2解析：雙曲線x2/a2-y2/b2=1的漸近線方程為y=±(b/a)x。已知漸近線方程為y=±√3x，所以b/a=√3，即b=√3a。離心率e=c/a，其中c=√(a2+b2)=√(a2+3a2)=√(4a2)=2a，所以e=2a/a=2。9.答案：3解析：根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC。代入a=2，b=3，cosC=1/4，得c2=4+9-2×2×3×(1/4)=13-3=10？（注：此處計(jì)算有誤，應(yīng)為2×2×3=12，12×1/4=3，4+9=13，13-3=10，c=√10。但為了避免出現(xiàn)根號，且用戶要求四位以上數(shù)字，此處修改題目條件，假設(shè)cosC=1/2，則c2=4+9-2×2×3×1/2=13-6=7，仍有根號?；蛘咝薷腷=√3，cosC=1/2，則c2=4+3-2×2×√3×1/2=7-2√3，更復(fù)雜。看來最初設(shè)定c=3是想當(dāng)然了。為了符合“不要四位以上數(shù)字”且答案簡潔，調(diào)整題目條件為cosC=1/2，則c2=4+9-2×2×3×1/2=13-6=7，c=√7，仍有根號?；蛘邔=3，b=4，cosC=5/13，則c=5。但a=3，b=4會出現(xiàn)4。用戶說“不要含手機(jī)號，身份證號，以及4位以上的數(shù)字”，四位數(shù)字本身是可以的嗎？比如4是兩位？不，4是一位數(shù)。用戶說“4位以上的數(shù)字”，即≥1000的數(shù)字。那么b=4是允許的。為了使c為整數(shù)且計(jì)算簡單，將題目改為：a=3，b=4，cosC=5/13，則c2=32+42-2×3×4×(5/13)=25-120/13=(____)/13=205/13，不對?；蛘吒纱嘤迷荚O(shè)定，c2=10，答案寫√10，但用戶沒說不能有根號?；蛘?，可能我最初的想法是對的，用戶只是說“不要含...4位以上的數(shù)字”，即數(shù)字本身不能是四位或更多，比如1000就不行，但像3、4、10（兩位數(shù)）是允許的。那么第9題，按原始條件，a=2，b=3，cosC=1/4，c2=4+9-2×2×3×1/4=13-3=10，c=√10。但√10不是整數(shù)?；蛟S將cosC改為-1/4，則c2=4+9+3=16，c=4。這樣更好，c=4，是個一位數(shù)。那么題目修改為：“cosC=-1/4”，答案為4。這樣更符合要求。）（修正后的題目9：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，cosC=-1/4，則c=_________。）解析：根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC。代入a=2，b=3，cosC=-1/4，得c2=22+32-2×2×3×(-1/4)=4+9+3=16，所以c=4。（三）解答題10.解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d。由已知a?=5，a?=14，可得：a?+d=5①a?+4d=14②②-①得：3d=9，解得d=3。將d=3代入①得：a?=5-3=2。所以數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。（Ⅱ）由（Ⅰ）知a?=3n-1，所以b?=2^(a?)=2^(3n-1)=2^(-1)×(23)^n=(1/2)×8?。所以數(shù)列{b?}是首項(xiàng)b?=(1/2)×81=4，公比q=8的等比數(shù)列。其前n項(xiàng)和S?=b?(1-q?)/(1-q)=4(1-8?)/(1-8)=4(8?-1)/7=(4×8?-4)/7=(2^(3n+2)-4)/7。11.解析：（Ⅰ）證明：連接A?C，交AC?于點(diǎn)O，連接OD。在直三棱柱ABC-A?B?C?中，四邊形ACC?A?為平行四邊形，所以O(shè)為A?C的中點(diǎn)。又因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A?BC的中位線，因此OD//A?B。因?yàn)镺D?平面ADC?，A?B?平面ADC?，所以A?B//平面ADC?。（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AA?所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A?(0,0,2)，C?(0,2,2)，D為BC中點(diǎn)，所以D(1,1,0)。向量A?D=(1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2)。平面BCC?B?的一個法向量可以取平面內(nèi)不共線的兩個向量的叉積，或者觀察得向量AB=(2,0,0)是平面BCC?B?的一個法向量（因?yàn)锳B⊥BC，AB⊥BB?，所以AB⊥平面BCC?B?）。設(shè)直線A?D與平面BCC?B?所成角為θ，則sinθ=|cos<A?D,AB>|=|A?D·AB|/(|A?D||AB|)。A?D·AB=(1,1,-2)·(2,0,0)=1×2+1×0+(-2)×0=2。A?DAB所以sinθ=|2|/(√6×2)=1/√6=√6/6。即直線A?D與平面BCC?B?所成角的正弦值為√6/6。12.解析：（Ⅰ）由橢圓C：x2/4+y2/3=1，知a2=4，b2=3，所以c2=a2-b2=1，c=1。故F?(-1,0)，F(xiàn)?(1,0)。直線l的傾斜角為45°，所以斜率k=tan45°=1，直線l的方程為y=x-1。聯(lián)立方程組：{x2/4+y2/3=1{y=x-1將y=x-1代入橢圓方程得：x2/4+(x-1)2/3=1。通分，兩邊同乘12得：3x2+4(x2-2x+1)=12。展開：3x2+4x2-8x+4-12=0，即7x2-8x-8=0。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=8/7，x?x?=-8/7。所以|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1