小學(xué)奧數(shù)高階思維訓(xùn)練題解析小學(xué)奧數(shù)，作為思維訓(xùn)練的重要載體，其高階部分往往超越了基礎(chǔ)課本知識(shí)的范疇，更側(cè)重于考察孩子的觀察力、分析能力、邏輯推理以及創(chuàng)新思維。許多家長(zhǎng)和孩子在面對(duì)這些“難題”時(shí)，常常感到困惑，不知從何下手。本文旨在通過(guò)對(duì)幾道典型高階思維訓(xùn)練題的深度解析，揭示其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與解題策略，希望能為大家提供一些啟發(fā)，讓奧數(shù)學(xué)習(xí)不再是枯燥的題海戰(zhàn)術(shù)，而是充滿樂(lè)趣的思維探險(xiǎn)。一、轉(zhuǎn)化與化歸：將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化核心思想：轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一。它要求我們?cè)诿鎸?duì)一個(gè)復(fù)雜或陌生的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)某種手段，將其變形為我們熟悉的、或較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決。例題解析：一群小朋友分一堆糖果，如果每人分5顆，還剩下12顆；如果每人分7顆，則有2個(gè)小朋友分不到糖果。問(wèn)有多少個(gè)小朋友？這堆糖果共有多少顆？思維引導(dǎo)：這是一道典型的盈虧問(wèn)題，但“有2個(gè)小朋友分不到糖果”這個(gè)條件，對(duì)于初次接觸的孩子來(lái)說(shuō)，可能不如“還少幾顆”那么直觀。我們可以引導(dǎo)孩子將這個(gè)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。“2個(gè)小朋友分不到糖果”，意味著如果想讓每個(gè)小朋友都分到7顆，糖果的數(shù)量就會(huì)少掉這2個(gè)小朋友應(yīng)得的數(shù)量。那么，少了多少呢？每個(gè)小朋友7顆，2個(gè)小朋友就是7×2=14顆。這樣一來(lái)，題目就轉(zhuǎn)化為了我們熟悉的基本盈虧問(wèn)題：每人分5顆，多12顆；每人分7顆，少14顆。接下來(lái)，我們就可以利用盈虧問(wèn)題的基本公式來(lái)解決了。兩次分配的差額是7-5=2顆/人。總差額是“盈”與“虧”的和，即12+14=26顆。小朋友的人數(shù)=總差額÷每人兩次分配差額=26÷2=13人。糖果總數(shù)=13×5+12=77顆，或者13×7-14=77顆。點(diǎn)睛之筆：轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意，將“不熟悉”、“不直觀”的表述，通過(guò)等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)掌握的模型或方法。這需要一定的聯(lián)想能力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握。二、數(shù)形結(jié)合：讓抽象問(wèn)題直觀化核心思想：數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本方面，它們相互依存，相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)圖形的直觀性來(lái)幫助理解數(shù)量關(guān)系，或通過(guò)數(shù)量的精確性來(lái)刻畫(huà)圖形特征，從而解決問(wèn)題。例題解析：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加3厘米，它的面積就增加39平方厘米。求原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)。思維引導(dǎo)：這道題如果直接用代數(shù)方法設(shè)未知數(shù)解方程，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)可能略顯抽象。我們可以嘗試畫(huà)圖來(lái)幫助理解。畫(huà)出一個(gè)正方形代表原來(lái)的正方形，邊長(zhǎng)設(shè)為a。當(dāng)邊長(zhǎng)增加3厘米后，新的正方形邊長(zhǎng)為a+3。我們可以將增加的面積39平方厘米在圖上標(biāo)示出來(lái)。增加的部分實(shí)際上是一個(gè)“L”形區(qū)域。這個(gè)“L”形區(qū)域可以分割成三個(gè)部分：兩個(gè)以原來(lái)邊長(zhǎng)a和3厘米為邊的長(zhǎng)方形，以及一個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形。那么，這三個(gè)部分的面積之和就是39平方厘米。即：a×3+a×3+3×3=39。化簡(jiǎn)可得：6a+9=39，6a=30，a=5厘米。或者，我們也可以將“L”形區(qū)域看作是一個(gè)長(zhǎng)為(a+3)、寬為3的長(zhǎng)方形和一個(gè)長(zhǎng)為a、寬為3的長(zhǎng)方形，但這樣會(huì)有重疊，不如分割成上述三部分清晰。點(diǎn)睛之筆：圖形是數(shù)學(xué)思維的“眼睛”。很多時(shí)候，一個(gè)簡(jiǎn)單的示意圖就能讓看似復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰明了。鼓勵(lì)孩子養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，是培養(yǎng)高階思維的重要途徑。三、邏輯推理與排除法：在迷霧中尋找真相核心思想：邏輯推理是奧數(shù)中非常重要的一種能力，它要求我們根據(jù)已知條件，通過(guò)分析、判斷、歸納，得出正確的結(jié)論。當(dāng)直接推理遇到困難時(shí)，排除法也是一種有效的輔助手段，即通過(guò)排除不可能的情況，縮小范圍，最終確定正確答案。例題解析：甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后他們四人預(yù)測(cè)名次如下：甲說(shuō)：“丙是第一名，我是第三名?！币艺f(shuō)：“我是第一名，丁是第四名。”丙說(shuō)：“丁是第二名，我是第三名?！倍](méi)有說(shuō)話。成績(jī)揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們每人都只說(shuō)對(duì)了一半。請(qǐng)你說(shuō)出他們各自的名次。思維引導(dǎo)：這類問(wèn)題的特點(diǎn)是每人說(shuō)的話都有一半對(duì)一半錯(cuò)，我們可以采用假設(shè)法結(jié)合排除法來(lái)解決。首先，假設(shè)甲說(shuō)的第一句話“丙是第一名”是對(duì)的，那么第二句話“我是第三名”就是錯(cuò)的。因?yàn)楸堑谝幻ㄓ杉椎牡谝痪鋵?duì)推出），所以乙說(shuō)的第一句話“我是第一名”就是錯(cuò)的，那么乙的第二句話“丁是第四名”就必須是對(duì)的。丁是第四名（由乙的第二句對(duì)推出），那么丙說(shuō)的第一句話“丁是第二名”就是錯(cuò)的，所以丙的第二句話“我是第三名”就必須是對(duì)的。但此時(shí)，我們已經(jīng)假設(shè)丙是第一名（由甲推出），現(xiàn)在又得出丙是第三名（由丙自己推出），這就產(chǎn)生了矛盾。因此，我們最初的假設(shè)“甲說(shuō)的第一句話對(duì)”是錯(cuò)誤的。那么，甲說(shuō)的第二句話“我是第三名”就必須是對(duì)的。即甲是第三名。甲是第三名，那么丙說(shuō)的第二句話“我是第三名”就是錯(cuò)的，所以丙說(shuō)的第一句話“丁是第二名”就是對(duì)的。即丁是第二名。丁是第二名，那么乙說(shuō)的第二句話“丁是第四名”就是錯(cuò)的，所以乙說(shuō)的第一句話“我是第一名”就是對(duì)的。即乙是第一名?，F(xiàn)在，乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，那么剩下的第四名自然就是丙了。我們可以驗(yàn)證一下：甲：“丙是第一名（錯(cuò)），我是第三名（對(duì)）”——符合一半對(duì)一半錯(cuò)。乙：“我是第一名（對(duì)），丁是第四名（錯(cuò)）”——符合。丙：“丁是第二名（對(duì)），我是第三名（錯(cuò)）”——符合。完美！點(diǎn)睛之筆：邏輯推理需要清晰的思路和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟襟E。假設(shè)法是常用的武器，但要注意及時(shí)驗(yàn)證假設(shè)是否會(huì)導(dǎo)致矛盾，一旦矛盾，則假設(shè)不成立，需另行假設(shè)。排除法能幫助我們逐步縮小范圍，逼近真相。四、逆向思維：從結(jié)果出發(fā)看問(wèn)題核心思想：逆向思維，也叫求異思維，它是對(duì)司空見(jiàn)慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式。有時(shí)候，從問(wèn)題的結(jié)果出發(fā)，倒著推回去，會(huì)比從條件出發(fā)正向推導(dǎo)更容易找到解決問(wèn)題的路徑。例題解析：一根繩子，第一次剪去它的一半多1米，第二次剪去余下的一半少1米，這時(shí)還剩下3米。這根繩子原來(lái)長(zhǎng)多少米？思維引導(dǎo)：這道題如果順著想，“第一次剪去它的一半多1米”，剩下的部分就不太好表示。我們不妨從最后剩下的3米入手，倒著往前推。“第二次剪去余下的一半少1米，這時(shí)還剩下3米?！边@里的“余下的”指的是第一次剪完之后剩下的長(zhǎng)度，我們?cè)O(shè)為x米。第二次剪去的是“余下的一半少1米”，那么剩下的就是“余下的一半多1米”（因?yàn)榧羧サ纳?，剩下的就多）。已知剩?米，所以：余下的一半+1米=3米→余下的一半=3-1=2米→余下的（即x）=2×2=4米。所以第一次剪完之后剩下4米?，F(xiàn)在看第一次剪的情況：“第一次剪去它的一半多1米，剩下4米?！痹O(shè)繩子原來(lái)長(zhǎng)y米。剪去“一半多1米”，那么剩下的就是“一半少1米”。所以：原來(lái)的一半-1米=4米→原來(lái)的一半=4+1=5米→原來(lái)的長(zhǎng)度y=5×2=10米。我們可以驗(yàn)證一下：原來(lái)10米，第一次剪去一半多1米，即5+1=6米，剩下10-6=4米。第二次剪去余下的一半少1米，余下的一半是2米，少1米就是1米，所以剪去1米，剩下4-1=3米。符合題意。點(diǎn)睛之筆：逆向思維往往在解決“還原問(wèn)題”時(shí)特別有效。它要求我們能夠清晰地分辨每一步操作的逆運(yùn)算是什么。比如，“一半多1米”的逆運(yùn)算就是“先加1米再乘2”。結(jié)語(yǔ)：培養(yǎng)高階思維，不止于“會(huì)做題”小學(xué)奧數(shù)的高階思維訓(xùn)練，其意義遠(yuǎn)不止于讓孩子會(huì)做幾道難題，更重要的是在這個(gè)過(guò)程中，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及堅(jiān)韌不拔的探索精神。作為家長(zhǎng)和老師，我們應(yīng)避免過(guò)度強(qiáng)調(diào)