固體物理核心考點復(fù)習資料引言固體物理是研究固體物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)、運動狀態(tài)、物理性質(zhì)及其相互關(guān)系的學科，是凝聚態(tài)物理的核心組成部分，也是材料科學、電子工程等領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)。本復(fù)習資料旨在梳理固體物理的核心考點，幫助學習者系統(tǒng)性地回顧關(guān)鍵概念、基本原理與重要模型，把握學科內(nèi)在邏輯，提升分析與解決問題的能力。一、晶體結(jié)構(gòu)1.1晶體的基本特征晶體是原子（或分子、離子）在三維空間中按周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體。其基本特征包括：平移對稱性（周期性）、長程有序性，并具有固定的熔點和各向異性。非晶體則不具備長程周期性。1.2布拉維格子與原胞布拉維格子是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學抽象，代表了晶體中原子排列的周期性重復(fù)單元的幾何位置。它由三個不共面的基矢a?,a?,a?定義，格子的所有格點可表示為R?=n?a?+n?a?+n?a?，其中n?,n?,n?為整數(shù)。原胞是能夠完全反映布拉維格子周期性的最小重復(fù)單元。通常選取以基矢為棱邊構(gòu)成的平行六面體作為原胞，其體積Ω=|a?·(a?×a?)|。對于布拉維格子，原胞只包含一個格點。晶胞（單胞）是為了更直觀地反映晶體的對稱性而選取的、通常具有較高對稱性的重復(fù)單元，其體積可以是原胞體積的整數(shù)倍。1.3倒格子倒格子是與正格子（布拉維格子）相對應(yīng)的傅里葉空間中的周期性格子，是處理晶格周期性問題（如X射線衍射、電子能帶）的重要數(shù)學工具。倒格子基矢定義為：b?=2π(a?×a?)/Ωb?=2π(a?×a?)/Ωb?=2π(a?×a?)/Ω倒格子的格點G?=m?b?+m?b?+m?b?，其中m?,m?,m?為整數(shù)。倒格子與正格子的關(guān)系：正格子的一族晶面（hkl）對應(yīng)倒格子的一個格矢G???=hb?+kb?+lb?，其模與晶面間距d???滿足|G???|=2π/d???。1.4布里淵區(qū)布里淵區(qū)是倒格子空間中以某一格點為中心，由其最近鄰及次近鄰倒格矢的垂直平分面所圍成的最小封閉區(qū)域。第一布里淵區(qū)（簡約布里淵區(qū)）是最重要的，它是倒格子中的WS原胞，包含了描述晶體中電子、聲子等元激發(fā)狀態(tài)所需的全部波矢信息。1.5晶體的宏觀對稱性與點群、空間群晶體的宏觀對稱性是指晶體外形和物理性質(zhì)所表現(xiàn)出的對稱性，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋轉(zhuǎn)反演等對稱操作描述。點群是晶體宏觀對稱操作的集合，共32種。晶體的微觀對稱性包括平移對稱性和宏觀對稱性?？臻g群是晶體全部微觀對稱操作（包括平移操作）的集合，共230種。1.6典型晶體結(jié)構(gòu)掌握幾種典型的晶體結(jié)構(gòu)及其配位數(shù)、致密度、原胞與晶胞特點，如：面心立方（FCC）、體心立方（BCC）、密排六方（HCP）、金剛石結(jié)構(gòu)、閃鋅礦結(jié)構(gòu)等。理解其原子堆積方式和鍵合特點。二、晶格振動與熱學性質(zhì)2.1簡諧近似與格波晶體中原子在平衡位置附近作微小振動。簡諧近似假設(shè)原子間的相互作用力與位移成正比（胡克定律），是處理晶格振動的基本出發(fā)點。在簡諧近似下，晶體中原子的集體振動可以分解為一系列獨立的簡諧振動模，稱為格波。格波的傳播方向和頻率具有特定的關(guān)系，即色散關(guān)系ω=ω(q)，其中q為波矢。2.2一維晶格的振動單原子鏈：只有聲學波，色散關(guān)系為ω(q)=2√(β/m)|sin(aq/2)|，其中β為恢復(fù)力常數(shù)，m為原子質(zhì)量，a為晶格常數(shù)。其振動模具有周期性ω(q+2π/a)=ω(q)，因此波矢q可限制在第一布里淵區(qū)(-π/a,π/a]內(nèi)。雙原子鏈：存在聲學波和光學波兩支格波。聲學波反映原胞質(zhì)心的運動，光學波反映原胞內(nèi)不同原子間的相對運動。2.3聲子晶格振動的能量是量子化的，其能量量子稱為聲子。聲子是玻色子，遵循玻色-愛因斯坦統(tǒng)計。一個波矢為q、頻率為ω?(q)的格波（s表示不同分支）具有能量(n?(q)+1/2)?ω?(q)，其中n?(q)=1/[exp(?ω?(q)/(k_BT))-1]為聲子占據(jù)數(shù)。2.4晶格熱容晶格熱容是晶體熱學性質(zhì)的重要參量。愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有原子的振動頻率相同（愛因斯坦頻率ω_E），成功解釋了高溫下的杜隆-珀蒂定律，但在低溫下與實驗存在偏差。德拜模型將晶體視為各向同性的連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波，引入截止頻率ω_D（德拜頻率）。德拜模型在低溫下給出C_V∝T3的規(guī)律（德拜T3定律），與實驗結(jié)果符合較好。理解兩種模型的物理圖像、近似條件及其局限性。2.5熱膨脹與熱傳導(dǎo)熱膨脹源于晶格振動的非簡諧效應(yīng)。當原子間相互作用勢非嚴格對稱時，溫度升高導(dǎo)致原子平均間距增大。晶格熱傳導(dǎo)主要通過聲子的碰撞（散射）實現(xiàn)。聲子的散射機制包括：聲子-聲子散射（三聲子過程為主）、聲子-缺陷散射、聲子-晶界散射等。熱導(dǎo)率κ∝vlC_V，其中v為聲子平均速度，l為聲子平均自由程。三、電子能帶理論3.1單電子近似與能帶概念在固體中，電子受到原子核的庫侖勢和其他電子的平均勢場作用。單電子近似（哈特ree-?？私苹蛎芏确汉碚摰膯坞娮友Χㄖ@方程）將多電子問題簡化為單電子在周期性勢場中的運動問題。能帶：在周期性勢場中，電子的能量本征值E與波矢k的關(guān)系E=E(k)不再是自由電子的拋物線關(guān)系，而是形成一系列允帶（導(dǎo)帶、價帶）和禁帶。允帶中的能級是準連續(xù)的。3.2布洛赫定理布洛赫定理指出，在周期性勢場V(r+R?)=V(r)中，單電子薛定諤方程的解（波函數(shù)）具有如下形式：ψ?(r)=e^(ik·r)u?(r)其中u?(r+R?)=u?(r)，稱為布洛赫函數(shù)。k為波矢，描述電子的共有化運動；u?(r)具有晶格周期性，描述電子在原胞內(nèi)的運動。布洛赫定理是能帶理論的基石，它揭示了周期場中電子波函數(shù)的基本特征，并導(dǎo)致了E(k)=E(k+G???)的周期性，因此k可限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)討論。3.3近自由電子近似與緊束縛近似近自由電子近似：適用于價電子受周期勢場擾動較小的情況（如金屬中的傳導(dǎo)電子）。將周期勢場V(r)視為對自由電子平面波的微擾，計算能量修正和波函數(shù)修正。能隙出現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界k=±π/a等處，其大小與周期勢場傅里葉分量的平方成正比。緊束縛近似：適用于電子被原子核束縛較緊的情況（如絕緣體和半導(dǎo)體的內(nèi)層電子，或過渡金屬的3d電子）。將晶體中電子的波函數(shù)近似為原子軌道波函數(shù)的線性組合（LCAO）。能帶的寬度與原子軌道的交疊程度有關(guān)，交疊越大，能帶越寬。由此可得到簡單立方晶格s態(tài)原子能級形成的能帶色散關(guān)系。3.4費米面與態(tài)密度費米面：在絕對零度時，晶體中電子占據(jù)的最高能級對應(yīng)的等能面，其能量為費米能E_F。費米面的形狀對金屬的電學、熱學性質(zhì)至關(guān)重要。自由電子氣的費米面是球面，而實際晶體中由于周期勢場的影響，費米面會發(fā)生畸變。態(tài)密度（DOS）：單位能量間隔內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)g(E)=∑?δ(E-E(k))。態(tài)密度是理解電子占據(jù)情況、光電性質(zhì)、比熱等的重要物理量。3.5導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的能帶解釋導(dǎo)體：存在部分填充的能帶（導(dǎo)帶），或價帶與導(dǎo)帶重疊。在外電場作用下，電子可以在能帶中改變狀態(tài)，產(chǎn)生電流。絕緣體：價帶完全填滿，導(dǎo)帶完全空著，且價帶頂與導(dǎo)帶底之間的禁帶寬度E_g較大（通常E_g>3eV），常溫下電子難以激發(fā)到導(dǎo)帶。半導(dǎo)體：與絕緣體類似，但禁帶寬度較?。ㄍǔ_g<3eV）。常溫下，少量電子可從價帶激發(fā)到導(dǎo)帶，同時在價帶留下空穴，導(dǎo)帶電子和價帶空穴均可參與導(dǎo)電。本征半導(dǎo)體的電導(dǎo)率隨溫度升高而顯著增加。3.6電子輸運：電導(dǎo)率的理解在近自由電子近似下，結(jié)合玻爾茲曼方程和弛豫時間近似，可以得到金屬電導(dǎo)率的表達式σ=ne2τ/m^*，其中n為載流子濃度，τ為弛豫時間，m^*為電子有效質(zhì)量。理解有效質(zhì)量的物理意義，它概括了晶格周期場對電子運動的影響。四、其他重要概念與拓展4.1晶體缺陷實際晶體中存在各種缺陷，如點缺陷（空位、間隙原子、雜質(zhì)原子）、線缺陷（位錯）、面缺陷（晶界、表面）等。缺陷對晶體的力學、電學、光學等性質(zhì)有顯著影響。4.2表面與界面物理初步晶體表面原子所處的環(huán)境與體內(nèi)不同，導(dǎo)致表面原子弛豫或重構(gòu)，并形成表面電子態(tài)（表面能級）。界面處的原子排列和電子結(jié)構(gòu)也具有特殊性，對薄膜、異質(zhì)結(jié)等器件的性能起關(guān)鍵作用?？偨Y(jié)固體物理的核心在于理