2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)6題型分類一、等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.二、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性c的符號(hào)5同向可加性同向6同向同正可乘性同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立嗎？a－c>b－d呢？a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立嗎？不一定，但當(dāng)a>b>0，c>d>0時(shí)，一定成立.（一）用不等式（組）表示不等關(guān)系(1)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的能力之一就是抽象概括能力，即能用數(shù)學(xué)語言表示出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí):①要先讀懂題，設(shè)出未知量;②抓關(guān)鍵詞，找到不等關(guān)系;③用不等式表示不等關(guān)系。思維要嚴(yán)密、規(guī)范.(2)常見的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于,超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號(hào)語言><≥≤(3)用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟①審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語:至多、至少、大于等.②適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.③用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式，此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的隱性不等關(guān)系，如由變量的實(shí)際意義限制的范圍.題型1：用不等式（組）表示不等關(guān)系1．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車貨總重量T不超過40噸，用不等式表示為（

）【答案】C【解析】略3．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過正常溫度的時(shí)認(rèn)定為高燒，則高燒溫度℃應(yīng)滿足的不等關(guān)系式是.【分析】根據(jù)題目所給已知條件列出不等關(guān)系式.4．（2025高一·四川眉山·階段練習(xí)）將一根長(zhǎng)為的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為m，若兩段繩子長(zhǎng)度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）【答案】D【分析】直接表示出另一段，列不等式組即可得到答案.故選：D【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系列不等式，“不超過”不等號(hào)為“小于等于”.故選：C.（二）利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假(1)對(duì)于關(guān)于不等式的命題判斷，需要通過不等式的性質(zhì)及等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷，除了通過正面證明也可以通過舉反例的方法.(2)感悟提升利用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧①首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．②解決有關(guān)不等式的選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．題型2：利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【答案】C【分析】根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，分別舉出反例，即可得到結(jié)果.故選：C【答案】ABD【分析】對(duì)于ABC項(xiàng)：根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.對(duì)于D項(xiàng)，使用作差法比大小.故選：ABD8．（2025高一·四川廣安·期中）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）【答案】C【分析】利用不等式的性質(zhì)或者特值排除法可得答案.故選：C9．（2025高一·江蘇常州·期末）下列說法不正確的是（

）【答案】A【分析】對(duì)于A，舉例判斷，對(duì)于B，利用不等式的性質(zhì)判斷，對(duì)于CD，作差判斷故選：A【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤即可.故選：C【答案】B【分析】應(yīng)用不等式性質(zhì)及特殊值法、作差法判斷各項(xiàng)的正誤.故選：B【答案】BC【分析】利用作差法可判斷AD選項(xiàng)；利用不等式性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng).故選：BC【答案】D【分析】根據(jù)已知及不等式的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤即可.故選：D【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及特殊值法判斷各項(xiàng)的正誤.故選：A（三）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小作差法作商法平方法依據(jù)a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<ba>0，b>0，則eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<ba<0，b<0，則eq\f(a,b)>1?a<b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a>ba2>b2，且a>0，b>0?a>b題型3：數(shù)（式）比較大小【解析】解法一

（作差法）解法二

（作商法）解法三

（平方后作差）【點(diǎn)睛】本題主要考查作差法比較兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系，分解因式法的運(yùn)用，以及平方差公式，屬于基礎(chǔ)題．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)比較即可.18．（2025高一·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）比較下列各組中與的大小，并給出證明.(3)答案見解析，證明見解析【分析】（1）（2）（3）利用作差法可得出、的大小關(guān)系.【答案】答案見解析（四）利用不等式的性質(zhì)證明不等式利用不等式的性質(zhì)證明不等式應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．題型4：利用不等式的性質(zhì)證明不等式【答案】證明見解析【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【答案】見解析【分析】利用分析法，結(jié)合不等式性質(zhì)即可.24．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）用比較法證明以下各題：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析25．（2025高一·湖南·課后作業(yè)）證明不等式：【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論；【答案】證明見解析.（五）利用不等式的性質(zhì)求參數(shù)范圍(1)利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略①建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．②同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡(jiǎn)單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．(2)利用不等式性質(zhì)求范圍的方法:①借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答;②所給條件盡量整體使用，切不可隨意拆分所給條件;③結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解.(3)求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)的應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容.解題時(shí)應(yīng)將條件式視為一個(gè)整體，并用其表示所求范圍的量，同時(shí)注意取等號(hào)的條件是否具備.切不可利用不等式的性質(zhì)分別求出變量自身的范圍，再去求由此構(gòu)成的代數(shù)式的取值范圍，這往往會(huì)擴(kuò)大代數(shù)式的范圍.題型5：利用不等式的性質(zhì)求參數(shù)范圍27．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知1<a<4，2<b<8.試求2a＋3b與a－b的取值范圍．【答案】8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.【分析】由1<a<4，2<b<8，求出2a、3b、－b的范圍，然后利用不等式的性質(zhì)得結(jié)果【解析】∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24∴8<2a＋3b<32.∵2<b<8，∴－8<－b<－2.又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2.故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用不等式的基本性質(zhì)求范圍，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【分析】利用不等式的基本性質(zhì)求解.【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合不等式性質(zhì)求范圍即可.（六）不等式的實(shí)際應(yīng)用解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題時(shí)，首先要確定制約決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè),然后再比較它們的大小即可．題型6：不等式的實(shí)際應(yīng)用【答案】甲先到達(dá)B地．然后利用作差法或作商法比較大小，作商法中要注意結(jié)合基本不等式的使用得到結(jié)論.【點(diǎn)睛】本題考查利用做差法或作商法比較大小在實(shí)際問題中的應(yīng)用，涉及基本不等式，屬基礎(chǔ)題.【答案】D故選：D.34．（2025高一·山東菏澤·期中）“雙節(jié)”遇上亞運(yùn)會(huì)，民宿成為潮流趨勢(shì)．民宿的改造中，窗戶面積與地板面積之比越大，采光效果越好．現(xiàn)有一所地板面積為180平方米的民宿需要同時(shí)增加窗戶和地板的面積，已知地板增加的面積是窗戶增加的面積的2倍，且民宿改造后的采光效果不遜于改造前，則改造前的窗戶面積最大為平方米．【答案】【分析】根據(jù)已知條件列不等式，從而求得正確答案.所以改造前的窗戶面積最大為平方米.故答案為：(1)據(jù)此安排，兩種貨廂的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？(2)若每節(jié)型貨廂的運(yùn)費(fèi)是萬元，每節(jié)型貨廂的運(yùn)費(fèi)是萬元，哪種方案的運(yùn)費(fèi)較少？【答案】(1)答案見詳解(2)安排型貨廂30節(jié)，型貨廂20節(jié)時(shí)運(yùn)費(fèi)最少【分析】（1）根據(jù)不等關(guān)系列出相應(yīng)不等式以及方程，解出型貨廂的節(jié)數(shù)，可分為三種方案；（2）根據(jù)相應(yīng)貨廂的運(yùn)費(fèi)，得出方案三運(yùn)費(fèi)較少.【解析】（1）設(shè)安排兩種貨廂分別為節(jié)，節(jié)，共有三種方案：方案一，安排型貨廂28節(jié)，型貨廂22節(jié)；方案二，安排型貨廂29節(jié)，型貨廂21節(jié)；方案三，安排型貨廂30節(jié)，型貨廂20節(jié).（2）共有三種方案，運(yùn)費(fèi)分別為：易知安排型貨廂30節(jié)，型貨廂20節(jié)時(shí)，運(yùn)費(fèi)最少，為31萬元.36．【多選】（2025高一·河北石家莊·階段練習(xí)）火車站有某公司待運(yùn)的甲種貨物噸，乙種貨物噸．現(xiàn)計(jì)劃用、兩種型號(hào)的貨箱共節(jié)運(yùn)送這批貨物．已知噸甲種貨物和噸乙種貨物可裝滿一節(jié)型貨箱，噸甲種貨物和噸乙種貨物可裝滿一節(jié)型貨箱，據(jù)此安排、兩種貨箱的節(jié)數(shù)，下列哪些方案滿足（

）A．貨箱節(jié)，貨箱節(jié) B．貨箱節(jié)，貨箱節(jié)C．貨箱節(jié)，貨箱節(jié) D．貨箱節(jié)，貨箱節(jié)【答案】ABD【分析】設(shè)安排種型號(hào)的車廂節(jié)，種型號(hào)的車廂節(jié)，根據(jù)題意列出、滿足的約束條件，求出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解析】解：設(shè)安排種型號(hào)的車廂節(jié)，種型號(hào)的車廂節(jié)，故選：ABD．一、單選題A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】A【分析】利用作差法借助于題設(shè)條件即可判斷.故選：A.【答案】C故排除A、B、D、故選：C.【答案】C【分析】借助作差法及配方法比大小即可得.故選：C.4．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.5cm/s，人跑開的速度為4m/s，為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火線的人能夠在爆破時(shí)跑到100m以外的安全區(qū)，導(dǎo)火線的長(zhǎng)度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×≥100 B．4×≤100C．4×＞100 D．4×＜100【答案】C【分析】人跑開的路程應(yīng)大于100米，可得結(jié)論.【解析】導(dǎo)火線燃燒的時(shí)間為s，人在這段時(shí)間跑的路程為4×m．由題意可得4×＞100.故選：C.【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，取特殊值可判斷C選項(xiàng).故選：D.【答案】B故選：B.【答案】A【分析】利用作差比較大小可得答案.故選：A.8．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列不等式，正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用作差法以及因式分解對(duì)各式逐一判斷即可得出結(jié)論.故選：C.【答案】A【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A；舉反列可判斷BCD.故選：A.A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1【答案】A【解析】設(shè)酒杯的內(nèi)空高度為，杯口半徑為，杯口面積為，故選：A.二、多選題11．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)a>b>1，c<0，則下列結(jié)論正確的是（

）【答案】ABC【分析】對(duì)于A，作差比較可知A正確；對(duì)于B，在a>b的兩邊同時(shí)乘以－c可知B正確；對(duì)于C，作差比較可知C正確；對(duì)于D，在a>b的兩邊同時(shí)乘以可知D錯(cuò)誤．對(duì)于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正確；對(duì)于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正確；故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.12．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下面列出的幾種不等關(guān)系中，正確的為（

）【答案】CD【分析】由不等關(guān)系求解.C.，D正確．故選：CD．A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|【答案】ABC【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.故選：ABC.【答案】ACD故選：ACD.三、填空題【分析】用作差法比較大小.【解析】利用作差法比較即可.【點(diǎn)睛】比較不等式的大小時(shí)，一般可采用以下幾個(gè)方法：17．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛，y輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組.【分析】根據(jù)題意列式即可.【答案】3【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式性質(zhì)分別判斷①、②、③作為結(jié)論的命題的真假性即可.故答案為：3.【答案】【分析】作差配方即可比較出大小.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用作差法，配方法，完全平方公式來比較數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題.22．（2025高一·