2025—2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期單元測(cè)試卷第二十二章二次函數(shù)單元測(cè)試·培優(yōu)卷（全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________參考答案題號(hào)12345678910答案AADDCDCCCB1．A本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴，∴，故選：A．2．A本題考查一元二次函數(shù)的定義，形如的函數(shù)是二次函數(shù)，據(jù)此即可解答．解：A：y是x的二次函數(shù)；B：，y是x的一次函數(shù)；C：，x的次數(shù)是，y不是x的二次函數(shù)；D：若，則，y不是x的二次函數(shù)；故選：A．3．D本題考查二次函數(shù)的定義及圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的定義和開口方向的條件，即可確定k的值．解：∵是二次函數(shù)，且函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，∴二次函數(shù)圖象開口向下，∴，且，解得：，且或，∴，則的值為．故選：D．4．D本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可解答．解：①由拋物線的開口方向由系數(shù)a決定．若，開口向上；若，開口向下．因a的正負(fù)未知，故①錯(cuò)誤．②頂點(diǎn)式為，對(duì)稱軸為．此處，對(duì)稱軸為，故②正確．③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值2；當(dāng)時(shí)，有最大值2．因未明確a的正負(fù)，無(wú)法確定是否有最小值，故③錯(cuò)誤．④由題意可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，無(wú)論a為何值，拋物線必過(guò)頂點(diǎn)，故④正確．⑤當(dāng)時(shí)，時(shí)y隨x增大而減小；當(dāng)時(shí)，時(shí)y隨x增大而增大．因a的正負(fù)未知，無(wú)法確定增減性，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的說(shuō)法為②和④，共2個(gè)．故選：D．5．C本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，依據(jù)題意，本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．解：A．觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；B、觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；C、觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，有可能，故本選項(xiàng)符合題意；D、觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．D本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)解析式，逐一進(jìn)行判斷即可．解：由圖象可知：拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴；故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴，把代入，得：，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，，故B，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．7．C本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向，頂點(diǎn)的位置、與軸交點(diǎn)的位置可對(duì)的符號(hào)進(jìn)行判斷，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及與x軸的交點(diǎn)可對(duì)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的位置進(jìn)行判定，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可對(duì)結(jié)論，結(jié)論進(jìn)行判斷，據(jù)此可得出此題的答案．解：二次函數(shù)圖象的開口向上，，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第三象限，，，，二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，，故結(jié)論正確，符合題意；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸下方的拋物線上，，故結(jié)論正確，符合題意；二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，消去得：，故結(jié)論正確，符合題意；二次函數(shù)圖象的開口向上，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象的在軸的下方，，即：，故結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述：結(jié)論正確，故選：．8．C由題意，，，可判斷錯(cuò)誤；觀察對(duì)稱軸即可判斷正確；根據(jù)對(duì)稱性求出拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是可判斷④錯(cuò)誤；拋物線圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故⑤正確．∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線交軸于負(fù)半軸，∴，∵對(duì)稱軸在軸右邊，∴，∴，∴，故錯(cuò)誤，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，故②正確；∵，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是，故錯(cuò)誤，由題意：圖象與直線交于，兩點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，即不等式的解集為，故④正確，∵拋物線圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故⑤正確，故選C．此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．9．C本題考查的是求二次函數(shù)的自變量，一元二次方程．把代入，化為一元二次方程，求解即可．解：將代入，得，即，解得（不符合題意，舍去），或．故選C．10．B本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，勾股定理，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，，且為直角三角形，運(yùn)用勾股定理得出y與x的關(guān)系，再判斷出函數(shù)圖象即可．解：如圖，連接．∵在矩形中，，，∴，，∵，，則，，∴，，，又∵為直角三角形，∴，即，整理得，該函數(shù)圖象是開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)是的拋物線，∵點(diǎn)在邊上移動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），∴該函數(shù)圖象不包含原點(diǎn)和x軸的交點(diǎn)，故選：B．11．本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．直接將點(diǎn)代入求出函數(shù)值，比較即可．解：∵點(diǎn)是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，∴，，∵，∴，故答案為：．12．5本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．根據(jù)題意，可以得到，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，得到h的值，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到k的值，本題得以解決．解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴．∵拋物線(h，k為常數(shù))與線段交于C，D兩點(diǎn)，且，，∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，∴拋物線為，把點(diǎn)代入，得，解得：．故答案為：5．13．①②④⑤本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并能結(jié)合圖象進(jìn)行分析判斷．通過(guò)分析二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷．解：①由圖象可知，拋物線開口向下，所以；對(duì)稱軸為直線，根據(jù)對(duì)稱軸公式，得，即，因?yàn)?，所以；拋物線與軸的交點(diǎn)在軸正半軸，所以．那么，故①正確；②由①得，即，故②正確；③因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且對(duì)稱軸為直線，所以當(dāng)時(shí)，，故③不正確；④因?yàn)閷?duì)稱軸為直線，且拋物線開口向下，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，兩邊同時(shí)減去，得，故④正確；⑤點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．因?yàn)閽佄锞€開口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)隨的增大而減小，又，所以，故⑤正確．故答案為：①②④⑤．14．②③⑤本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用圖中信息解決問(wèn)題．利用拋物線的開口方向得到，根據(jù)對(duì)稱軸方程得到，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，把代入得到，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)④進(jìn)行判斷；利用拋物線在軸上方對(duì)應(yīng)的自變量范圍可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．解：由圖象可知，，，，，故①錯(cuò)誤．拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，故②正確．拋物線對(duì)稱軸為，與x軸交于，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，，，，，，故③正確．，為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，，即點(diǎn)C離對(duì)稱軸近，，故④錯(cuò)誤，拋物線對(duì)稱軸為，與軸交于，拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)是由圖象可知，時(shí)，，故⑤正確．綜上，正確的有②③⑤，故答案是：②③⑤．15．本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)代入二次函數(shù)中求解，即可解題．解：如圖，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題知，二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，解得，二次函數(shù)解析式為，，故答案為：．16．/本題考查了根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，分別表示出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得取得最小值，最小值為，進(jìn)而即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為設(shè)，∵已知為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，∴，∴∵，則∴，∴∴∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為∴的最小值為故答案為：．17．(1)(2)(3)本題考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用增減性判斷函數(shù)值的大?。?）由點(diǎn)坐標(biāo)求出，進(jìn)一步得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解；（2）將代入，即可求出值；（3）根據(jù)對(duì)稱軸和開口方向判斷增減性，再結(jié)合，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)判斷即可．（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為A，∴，則，∵，∴，代入中，得：，解得：，∴；（2）將代入中，得：，解得：；（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且開口向下，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∵，∴．18．(1)(2)見解析(3)本題考查了配方法確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，畫出二次函數(shù)的圖象以及最值的問(wèn)題．（1）用配方法配方成頂點(diǎn)式即可；（2）寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算其與軸的交點(diǎn)和與軸的交點(diǎn)，列表、描點(diǎn)，畫出圖象；（3）由圖象判斷時(shí)拋物線的增減性，進(jìn)而可求的取值范圍．（1）解：，即；（2）解：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，令，解得，，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，，圖象如圖所示：（3）解：由圖象可得，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，故答案為：．19．(1)，(2)或本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與二次函數(shù)解析式的關(guān)系.拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，滿足解析式方程.拋物線上縱坐標(biāo)相等的不同的點(diǎn)是對(duì)稱的；（1）可直接將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式建立方程組求解，也可以根據(jù)兩點(diǎn)的對(duì)稱性先求出對(duì)稱軸，進(jìn)而求出a的值，再求出m；（2）由題意得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，代入解析式中求出橫坐標(biāo)即可.（1）解：∵點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，∴兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴拋物線解析式為，將代入，得：.故答案為：，.（2）解：∵點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上的點(diǎn)且到x軸的距離為2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為代入解析式得：，解得：，，∴或.20．(1)(2)，(3)本題考查了求二次函數(shù)解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象求不等式的解集，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)拋物線解析式為，代入，求得的值，即可求解；（2）令，解方程即可求得、點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)函數(shù)圖象以及、點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解．（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為代入，得解得：∴（2）解：當(dāng)時(shí)，解得：∴，（3）解：∵，根據(jù)函數(shù)圖象可得，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍為．21．(1)(2)(3)本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)代入二次函數(shù)求解即可；（2）由（1）知，二次函數(shù)為，點(diǎn)和點(diǎn)代入二次函數(shù)，對(duì)作差比較即可；（3）由可得二次函數(shù)為，且，當(dāng)，最小值為，即可得到的取值范圍．（1）解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得：；（2）解：由（1）知，二次函數(shù)為，，，，，，，即；（3）解：，二次函數(shù)為，點(diǎn)在該拋物線上，若點(diǎn)到軸的距離小于2，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，最小值，的取值范圍．22．(1)(2)(3)本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確求得函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．（1）選擇表格中兩組數(shù)據(jù)，代入中求解即可；（2）根據(jù)該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及開口方向即可求解；（3）先求得，再根據(jù)已知得到，進(jìn)而可得．（1）解：由表格數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為（2）解：由得，，∴該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵該二次函數(shù)圖象開口向下，∴若，則的取值范圍為；（3）解：∵、兩點(diǎn)均在該函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∵，∴，則，∴．23．(1)(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，掌握菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．（1）把、代入，轉(zhuǎn)化為解方程組即可；（2）當(dāng)以為對(duì)角線，利用和四邊形為平行四邊形得到四邊形為菱形，則點(diǎn)也在對(duì)稱軸上，即點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)；當(dāng)以為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則可確定M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（1）解：把、代入，則有，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)以為對(duì)角線，∵四邊形為平行四邊形，而，∴四邊形為菱形，∴與互相垂直平分，∴點(diǎn)也在對(duì)稱軸上，即點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)以為邊時(shí)，∵四邊形為平行四邊形，∴，即，∴的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或．24．(1)①；②P點(diǎn)橫坐標(biāo)為6或；(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）①用待定系數(shù)法求解即可；②用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，根據(jù)點(diǎn)B、點(diǎn)C到直線距離相等，則或經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，分別用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后聯(lián)立求點(diǎn)P坐標(biāo)．（2）根據(jù)拋物線的平移求得拋物線的解析式為，聯(lián)立，，則，所以，，設(shè)直線的解析式為，則，所以，所以；設(shè)直線的解析式為，則，所以，所以；所以，則，所以；設(shè)直線的解析式為，則，所以，，所以，則，當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn)．（1）解：①∵拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為；②設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)B、點(diǎn)C到直線距離相等，∴或經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，I．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，，解得：，，∴．∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為6；II．當(dāng)經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)時(shí)，∵，，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)直線的解