2025—2026學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期單元測試卷第二十一章一元二次方程單元測試·基礎(chǔ)卷（全卷滿分120分，考試時間120分鐘）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________參考答案題號12345678910答案DDBACADDAC1．D根據(jù)一元二次方程的一般形式為，其中叫做常數(shù)項，解答即可．本題考查了一元二次方程的一般形式及其相關(guān)概念，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．解：由，∴一元二次方程的常數(shù)項是，故選：D．2．D本題考查一元二次方程的定義，一般地，形如（a，b，c為常數(shù)，且）的方程是一元二次方程，據(jù)此求解即可．解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴，∴．故選：D．3．B本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解題的關(guān)鍵．由于當(dāng)時，，則可判斷該方程一定有一個根為3．解：當(dāng)時，，所以若，則該方程一定有一個根為3．故選B．4．A本題考查了一元二次方程的一般式，利用去括號和移項把方程整理成（為常數(shù)，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．解：，，，∴將一元二次方程化成一般形式為，故選：．5．C本題主要考查了列一元二次方程解決實際問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系．假設(shè)全班有名學(xué)生，根據(jù)留言的數(shù)量，列出方程即可．解：假設(shè)全班有名學(xué)生，根據(jù)題意得，故選：C．6．A本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，由題意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分別代入進(jìn)行檢驗即可得到答案．解：∵，是關(guān)于x的方程的兩個根，∴，，∵，∴，∴，解得或，當(dāng)時，，滿足題意，當(dāng)時，，不滿足題意，∴，故選：A．7．D本題考查代數(shù)式求值，涉及換元法、因式分解法解一元二次方程等知識，采用換元法轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解是解決問題的關(guān)鍵．令，將條件中的等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案．解：令，則可化為，即，，解得或，，，即的值是，故選：D．8．D本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系，對選項逐個判斷即可．解：A、的判別式，無實數(shù)根，不符合題意；B、的判別式，有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；C、的判別式，無實數(shù)根，不符合題意；D、的判別式，有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；故選：D．9．A本題考查了配方法，靈活運用完全平方公式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．先將配方，再根據(jù)完全平方公式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．解：，∵，∴當(dāng)時，多項式有最大值為，故選A．10．C本題考查了定義新運算、絕對值的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用，理解“差絕對值運算”的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“差絕對值運算”的定義及絕對值的性質(zhì)，對題目中的說法逐項計算即可判斷求解．解：，故說法①錯誤；，當(dāng)時，的值最小，最小值為，對，，1，3作“差絕對值運算”的結(jié)果的最小值為，故說法②正確；，，，，由題意得，，當(dāng)，即時，，整理得：，解得：，（舍去）；當(dāng)，即時，，整理得：，解得：，（舍去）；對，，作“差絕對值運算”的結(jié)果為28，則的值為或，故③錯誤；綜上所述，其中正確的是②，個數(shù)是1．故選：C．11．或本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)第秒時，的長為，則，在中利用勾股定理，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)第秒時，的長為．由題意，得．在中，由勾股定理，得，即，解得．故答案為：或．12．1本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解法，掌握根與系數(shù)關(guān)系公式是解題關(guān)鍵．先根據(jù)判別式得出的取值范圍，通過一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求出和的表達(dá)式，再根據(jù)題意列方程求解即可．解：整理得，方程有兩個實數(shù)根,，，解得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，，，解得，（舍）．故答案為：1．13．或1本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)因式分解法可進(jìn)行求解方程；（2）由題意可分為當(dāng)時，當(dāng)時和當(dāng)時，然后進(jìn)行分類求解即可．解：（1）由題意得：，，，解得：；（2）當(dāng)時，即，∴，解得：（均不符合題意，舍去）；當(dāng)時，即，此時可有，方程成立，所以是方程的解；當(dāng)時，即，∴，解得：（不符合題意，舍去）；綜上所述：方程的解為或1．14．5本題考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程進(jìn)行化簡整理，從而可得，然后根據(jù)題意可得，從而可得：，再把a的值代入中，進(jìn)行計算即可解答．解：，，，，由題意得：，解得：，∴該方程中的一次項系數(shù)，故答案為：5．15．本題考查了數(shù)字的變化知識，根據(jù)數(shù)軸上兩點距離列出一元二次方程是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得出之間共有個或個整數(shù)，進(jìn)而可得，設(shè)之間的數(shù)分別為，，，，，，，根據(jù)題意列出一元二次方程，再計算即可．解：，之間共有個或個整數(shù)，個連續(xù)的整數(shù)滿足，．當(dāng)時，間有個整數(shù)，則，之間的個整數(shù)設(shè)為，，，，之間的個整數(shù)為，，，，，或．當(dāng)上有個整數(shù)，，無整數(shù)解．當(dāng)時，間有個整數(shù)，則，之間的個整數(shù)設(shè)為，，，，，之間的個整數(shù)為，，，，或，當(dāng)，間有個整數(shù)時，則，之間的個整數(shù)設(shè)為，，，，，之間的個整數(shù)為，，，無整數(shù)解；當(dāng)時，則，之間的個整數(shù)設(shè)為，，，，，，之間的個整數(shù)為，，，無整數(shù)解或，無整數(shù)解當(dāng)時，則，之間的個整數(shù)設(shè)為，，，，，，，之間的個整數(shù)為，，無解．綜上所述，或或，則或或．，或是正整數(shù)．，故答案為：．16．21或本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理及其逆定理等知識點，本題解題的關(guān)鍵是分類對，的值進(jìn)行討論，并通過計算得出三角形的形狀．第一空：先求出方程的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)寫出的可能的情況，求出的值．第二空：由第一空得出的的值，然后代入將進(jìn)行化簡，進(jìn)而得出、的值．然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的的值，用三角形的面積公式得出三角形的面積．解：關(guān)于x的方程有兩個正整數(shù)根，且m是正整數(shù)，，解得，解方程得：，即．，，．將代入兩等式，化簡得：．當(dāng)時，．當(dāng)時，a，b是方程的兩根，顯然此方程．由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得：，．下面分三種情況討論：①當(dāng)時，，是直角三角形，且，∴．②當(dāng)時，，∴不能構(gòu)成三角形，不合題意，故舍去．③當(dāng)時，，∴能構(gòu)成三角形，符合題意．從而．綜上，的面積為1或．故答案為：2；1或．17．(1)(2)本題考查了一元二次方程的根、分式的化簡與求值，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）代入到方程得到關(guān)于的方程，即可求解；（2）利用分式的運算法則化簡式子，再代值計算即可．（1）解：代入到方程得，，解得：；（2）解：，代入，原式．18．(1)(2)此題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的知識，熟記根的判別式是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根得到，即可求出k的取值范圍；（2）由根與系數(shù)關(guān)系得到，再根據(jù)題目給出的條件進(jìn)行解方程即可得解．（1）解：∵方程是一元二次方程且有兩個實數(shù)根，∴判別式，在方程中，，則，∴解得；（2）解：在一元二次方程中，∴兩根之和，∴在方程中，，∵，∴，∵，∴符合條件．19．(1)每箱應(yīng)降價5元(2)不能使每天銷售該飲料獲利達(dá)到1500元，理由見解析本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每箱應(yīng)降價x元，則每天銷售量為箱，每箱利潤為元，根據(jù)使每天銷售該飲料獲利1400元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設(shè)每箱應(yīng)降價y元，則每天銷售量為箱，每箱利潤為元，根據(jù)使每天銷售該飲料獲利1500元，列出一元二次方程，再由根的判別式即可得出結(jié)論．（1）設(shè)每箱應(yīng)降價x元，則每天銷售量為箱，每箱利潤為元，由題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：每箱應(yīng)降價5元；（2）不能使每天銷售該飲料獲利達(dá)到1500元，理由如下：設(shè)每箱應(yīng)降價y元，則每天銷售量為箱，每箱利潤為元，由題意得：，整理得：，∵，∴該方程無實數(shù)根，∴不能使每天銷售該飲料獲利達(dá)到1500元．20．(1)見解析；(2)．本題主要考查了一元二次方程根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系．熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）要證明無論為何值方程總有實數(shù)根，需要考慮方程的判別式．對于一元二次方程，當(dāng)判別式非負(fù)時，方程有實數(shù)根，所以通過計算判別式并判斷其取值范圍來證明．（2）已知等腰三角形的邊長，、為方程的兩個根，需要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分情況討論哪兩邊相等，再結(jié)合方程根與系數(shù)的關(guān)系求解的值．（1）證明：∵，∴其判別式∵任何數(shù)的平方都大于等于，即，∴無論為何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵，∴，分三種情況討論：情況一：若為腰，，．∵，不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，這種情況舍去；情況二：若為底，，則．此時三邊為，，，滿足三角形三邊關(guān)系；綜上，．21．(1)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為(2)這種玩具應(yīng)降價2元本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）理解題意，設(shè)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，根據(jù)設(shè)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，進(jìn)行列方程，再解方程，即可作答．（2）設(shè)這種玩具每個降價y元時，商場四月份銷售這種玩具獲利4800元，結(jié)合在35元至40元范圍內(nèi)，這種玩具的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個，進(jìn)行列方程，再解方程，即可作答．（1）解：設(shè)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，依題意，得：，解得：，(不符合題意，舍去)，答：2，3兩個月的銷售量月平均增長率為．（2）解：∵這種玩具的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個∴每降價1元，其銷售量增加12個設(shè)這種玩具每個降價y元時，商場四月份銷售這種玩具獲利4800元，依題意，得：，整理，得：，解得，(不符合題意，舍去)，答：這種玩具應(yīng)降價2元．22．原計劃每天生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服100套本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，理解題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)原計劃每天生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服套，根據(jù)題意列出方程求解，再檢驗方程的解即可得出答案．解：設(shè)原計劃每天生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服套，由題意得，，整理得：，解得：，（舍去），經(jīng)檢驗：是所列方程的解且符合題意．答：原計劃每天生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服100套．23．(1)當(dāng)或2時，的長度等于(2)存在，t的值為1（1）由題意得，，則，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解；（2）的面積等于，列出方程，解方程即可．（1）解：由題意知，，，則，∵四邊形是矩形，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．即當(dāng)或2時，的長度等于．（2）解：存在t的值，使得的面積等于，理由：由題意知，，解得：，（舍）．即存在t的值，使得的面積等于，t的值為1．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24．(1)普通票每張為元，票的每張為元(2)本題考查分式