《全品高考復(fù)習(xí)方案》第8講函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性【課標(biāo)要求】1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.

2.了解周期性的概念和幾何意義.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,都有

,那么函數(shù)f(x)就叫作偶函數(shù)

,那么函數(shù)f(x)就叫作奇函數(shù)

圖象特征關(guān)于對(duì)稱

關(guān)于對(duì)稱

2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且,那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù),非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就叫作f(x)的最小正周期.

常用結(jié)論1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式:(1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù);(2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù).2.設(shè)f(x)的周期為T,對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量x,有如下結(jié)論:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x),則(3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|.3.對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|.4.關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b(3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)a+b(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)a+b題組一易錯(cuò)辨析判斷下列說法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn). ()(2)若存在x使f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù). ()(3)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則2T也是函數(shù)f(x)的周期. ()(4)若函數(shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)f(x),g(x)都是偶函數(shù). ()(5)若f(2x+1)是奇函數(shù),則f(2x+1)=-f(-2x-1). ()題組二教材改編1.下列函數(shù)是奇函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=-1x B.y=xC.y=x D.y=x22.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+1,則f(-1)= ()A.0 B.-1 C.-2 D.23.已知函數(shù)f(x)是定義在[3-2a,a]上的偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=.

4.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],若當(dāng)x∈[0,5]時(shí),f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)<0的解集為.

函數(shù)的奇偶性題型1函數(shù)奇偶性的判斷例1(1)(多選題)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 ()A.f(x)=2xB.f(x)=cos2xC.f(x)=x2D.f(x)=ln(2-x)+ln(2+x)(2)[2024·黑龍江齊齊哈爾期末]設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則f(x) ()A.是偶函數(shù),且在(1,+∞)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在(-1,1)上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在(-∞,-1)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在(-∞,-1)上單調(diào)遞減題型2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)[2025·上海金山中學(xué)模擬]已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x2-ex+1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)= ()A.x2-ex+1 B.x2+e-x+1C.x2-e-x+1 D.-x2+e-x-1(2)已知函數(shù)f(x)=x2-1x+a是奇函數(shù)A.0 B.1 C.-1 D.2總結(jié)反思1.判斷函數(shù)的奇偶性可以通過定義、圖象對(duì)稱、排除法判斷,也可以通過常用結(jié)論判斷.常用結(jié)論:在相同的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域內(nèi),兩個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù),之積為偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)之和與之積都為偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)之積為奇函數(shù);奇函數(shù)取絕對(duì)值后為偶函數(shù),偶函數(shù)取絕對(duì)值后仍為偶函數(shù).2.求函數(shù)的值:利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.3.求函數(shù)解析式:先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.4.求解析式中的參數(shù)值:在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下,利用f(x)為奇函數(shù)?f(-x)=-f(x),f(x)為偶函數(shù)?f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.對(duì)于在x=0處有定義的奇函數(shù)f(x),可考慮列等式f(0)=0求解.【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1為偶函數(shù)A.-1 B.0 C.12 D.(2)[2024·河北滄州模擬]已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-3x+1,則f(-3)= ()A.19 B.-19 C.1 D.-1(3)已知函數(shù)f(x)=x3-4xx2+4+1,且f(a)=-3,則fA.4 B.5 C.-4 D.-3函數(shù)的周期性例3(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x)=f(2-x),則f(2024)=()A.0 B.1 C.2 D.3(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且f(x+1)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-1,則f(2023)+f(2024)=()A.-1 B.0 C.1 D.2總結(jié)反思將已知條件轉(zhuǎn)化為f(x+T)=f(x),再利用周期函數(shù)的定義確定周期.【對(duì)點(diǎn)演練2】(1)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x-1)+f(-x)=0.若f-15=12,則f115A.-115 B.-12 C.12 (2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(-x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=3x-1,則f(3)= ()A.-1 B.-2 C.1 D.2函數(shù)的對(duì)稱性例4(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+1)是偶函數(shù),f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程為 ()A.x=2025 B.x=2027C.x=2029 D.x=2030(2)定義在R上的函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且函數(shù)y=g(2x-1)+1為奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為 ()A.(-1,-1) B.(-1,1)C.(3,1) D.(3,-1)總結(jié)反思注意一個(gè)函數(shù)圖象自身的對(duì)稱性和兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱性的區(qū)別,同時(shí)也要注意不要混淆對(duì)稱性和周期性的常用結(jié)論:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則有f(a+x)=f(a-x);函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(a,b)中心對(duì)稱,則有f(2a-x)+f(x)=2b;函數(shù)f(x)的周期為2a,則有f(x-a)=f(x+a).【對(duì)點(diǎn)演練3】(1)(多選題)[2025·遼寧大連模擬]已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)