《全品高考復習方案》第23講三角函數的圖象與性質【課標要求】1.能畫出三角函數的圖象,了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值.

2.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上的性質及正切函數在-π21.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象上,五個關鍵點是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).

(2)在余弦函數y=cosx,x∈[0,2π]的圖象上,五個關鍵點是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).

2.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質(下表中k∈Z)函數y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RRx值域

周期2π2ππ奇偶性

奇函數在2kπ-π2,上單調遞減

在[2kπ,2kπ+π]上單調遞減;在

上單調遞增

在kπ零點kππ2+kkπ對稱軸x=kπ+π

無對稱中心

kk常用結論1.對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是12個最小正周期,相鄰對稱中心與對稱軸之間的距離是14個最小正(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是12個最小正周期2.奇偶性設f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ=π2+kπ(k∈(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ=kπ(k∈Z).題組一易錯辨析判斷下列說法是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)正切函數y=tanx在定義域內是增函數. ()(2)y=sin|x|是偶函數也是周期函數. ()(3)正弦函數在0,π2內單調遞增.題組二教材改編1.函數f(x)=3sin4x-π3的2.若直線x=1是函數f(x)=sinωx+π3(ω>0)圖象的一條對稱軸,則ω3.函數f(x)=sinπ6-x三角函數的定義域與值域題型1三角函數的定義域例1[2024·山東日照期末]函數y=2sinx-1(0≤x≤2π)的定義域為A.π3,5πC.π6,5π題型2三角函數的值域例2(1)[2024·江西南昌模擬]函數f(x)=3tan2x+π6,x∈0A.33,33 C.[3,33] D.3(2)[2024·江蘇常州期末]函數f(x)=cos2x-4sinx-1的值域是 ()A.(-∞,2] B.[-2,2]C.[0,2] D.[-6,2](3)[2024·廣東廣州期末]函數f(x)=sinx-cosx+sin2x在區(qū)間0,π2總結反思1.求三角函數的定義域,實際上是解簡單的三角函數不等式(組),常借助三角函數線或三角函數的圖象來求解.2.求解三角函數的值域(最值)的幾種方法:(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數,化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);(2)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的三角函數,可設t=sinx,化為關于t的二次函數,再求值域(最值);(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c(a≠0)的三角函數,可設t=sinx±cosx,化為關于t的二次函數,再求值域(最值).【對點演練1】(1)[2024·陜西寶雞期末]函數f(x)=-3tanx2+π4A.xB.xC.xD.x(2)[2024·上海長寧區(qū)期末]已知關于x的方程sinx+3cosx=m+1在[0,π]上有實數解,則實數m的取值范圍是.

(3)[2024·湖南長沙模擬]已知A為鈍角,則tan2A+1tan三角函數的周期性與對稱性例3(1)[2024·北京延慶區(qū)期末]函數y=sin2x-π3圖象A.x=π6 B.x=5C.x=π3 D.x=(2)[2024·云南昆明模擬]若函數f(x)=2sin(x+2θ)·cosx0<θ<π2的圖象過點(0,2),A.點π4,0是y=f(xB.直線x=π4是y=f(x)圖象C.y=f(x)的最小正周期是2πD.函數y=f(x)的值域為[0,2](3)已知直線x=5π12和x=17π12都是函數y=f(x)圖象的對稱軸,則f(x)的解析式可能為 (A.f(x)=sin2B.f(x)=sin2C.f(x)=sin4D.f(x)=sinx總結反思已知ω>0,A≠0,則函數y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2πω,函數y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=π對于函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0),其圖象的對稱軸一定經過函數圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數的零點,因此在判斷直線x=x0或點(x0,0)是否是函數圖象的對稱軸或對稱中心時,可通過計算f(x0)的值進行判斷.【對點演練2】(1)已知函數f(x)=3sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期為π,將f(x)的圖象向右平移φ個單位后得到函數g(x)的圖象,若g(x)的圖象關于y軸對稱,則正實數φ的最小值為 ()A.π12 B.π6 C.π3 D(2)設函數f(x)=2tanωx-π4(ω>0)的圖象的一個對稱中心為π3,0,則f(x)A.8π9 B.4π9 C.4π7三角函數的單調性題型1求三角函數的單調區(qū)間例4(1)[2024·山東濰坊模擬]下列四個函數中,以π為最小正周期,且在區(qū)間π2,π上單調遞減的是A.y=|cosx| B.y=tanxC.y=cosx2 D.y=|sin(2)已知函數f(x)的最小正周期為π,且在區(qū)間π6,π3上單調遞增,則f(x)A.f(x)=sinx-π3 B.f(x)C.f(x)=sin2x-π3 D.f(x題型2根據單調性求參數例5(1)[2024·廣東佛山期末]已知函數y=sin(3x+φ)(0<φ<π)在區(qū)間-2π9,π12上單調,則A.0,π6 C.π4,π2 (2)[2024·河南南陽模擬]已知函數f(x)=cosωx(ω>0)在區(qū)間0,2π3上單調遞減,則ω的取值范圍是A.(0,3) B.(0,3]C.0,32 題型3比較函數值大小例6[2024·上海寶山區(qū)期末]下列不等式中成立的是(填編號).

①sin-π8>sin②sin3>sin2;③sin7π5>sin-④sin2>cos1.總結反思1.求三角函數單調區(qū)間的兩種方法(1)代換法:將比較復雜的三角函數解析式中含自變量的代數式(如ωx+φ)整體當作一個角,利用基本三角函數(y=sinx,y=cosx,y=tanx)的單調性列不等式求解.(2)圖象法:畫出三角函數的圖象,利用圖象求函數的單調區(qū)間.提醒:要注意求函數y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的單調區(qū)間時ω的符號,若ω<0,那么一定要先借助誘導公式將ω化為正數.同時切莫忘記考慮函數自身的定義域.2.已知函數y=Asin(ωx+φ)的單調性求參數,可先求出t=ωx+φ的取值范圍(a,b),再根據(a,b)是函數y=Asint的單調區(qū)間的子區(qū)間列不等式(組)求解.3.比較三角函數值大小的方法先統(tǒng)一為同名的三角函數,然后利用誘導公式把角化為同一單調區(qū)間內的角,再利用函數的單調性比較.【對點演練3】(1)若函數f(x)=3sinxcosx+cos2x,則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為 ()A.2kπ-πB.2kπ+π6C.kπ-π3D.kπ+π6,(2)[2024·福建漳州模擬]已知函數f(x)=2cos3x+π6在0,a6上單調遞減A.2π3 B.4π3 C.5π3