第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025-2026學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)育英中學(xué)九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一．選擇題1．（3分）下列各組的四條線段是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a(chǎn)＝2，b＝，c＝2，d＝2．（3分）若ac＝bd（ac≠0），則下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．3．（3分）在比例尺為1：500000的交通地圖上，阜寧到鹽城的長(zhǎng)度約為11.7cm，則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為（）A．0.585km B．5.85km C．58.5km D．585km4．（3分）如圖所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，取一張長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長(zhǎng)方形紙片，則原長(zhǎng)方形紙片的邊a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）A． B．a(chǎn)＝2b C． D．7．（3分）如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的頂點(diǎn)G在菱形ABCD的BC邊上運(yùn)動(dòng)，∠E＝60°，若CG＝6，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．18 B．16 C．18 D．169．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊AB上；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能滿(mǎn)足△APC與△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BE⊥AC于點(diǎn)E．若CE＝3AE＝6，則邊AD的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．611．（3分）已知＝＝（b﹣2d≠0），則＝．12．（3分）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，α＝．13．（3分）如圖，AB∥GH∥CD，點(diǎn)H在BC上，AB＝2，CD＝3．14．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)AD，CE交AB于點(diǎn)F．若AF＝2cmcm．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊AB上，則△ABC的面積為．16．（3分）如圖把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是△ABC面積的一半，三角形移動(dòng)的距離AA′是．17．（3分）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上的一點(diǎn)，先以CE為對(duì)稱(chēng)軸將△CDE折疊，使點(diǎn)D落在CF上的點(diǎn)D′處，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′與點(diǎn)D′重合，以FG為對(duì)稱(chēng)軸折疊△BFG，F(xiàn)G＝2，則CE的值為．三．解答題18．（8分）如圖，BD＝7，AD＝3，AC＝6，DE＝419．（8分）如圖，△ABC與△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm20．（8分）如圖，△ABC中，DE∥BC，AD：BD＝3：2，F(xiàn)C＝2，求DE和CE的長(zhǎng)．21．（8分）?ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F．（1）求證：△AEF∽△CDF；（2）AF＝6，求AC．22．（8分）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求x的值．（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能23．（8分）在△ABC中，，∠B＝45°，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ADE，點(diǎn)E在AC上，若CE＝424．（8分）（1）如圖1，E，F(xiàn)分別為正方形CD邊和BC邊上的點(diǎn)，連接AE、DF，則＝．（2）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)E，連接BD、EF，且BD⊥EF，BD＝5．求．25．（13分）【問(wèn)題背景】如圖，等腰△ABC中，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，交BC于E，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，AD，如圖①．【基本感受】（1）當(dāng)k＝1時(shí)，判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深入研究】（2）當(dāng)時(shí)，如圖②，AD與BE滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明；（3）在（2）的條件下，若AB＝6，當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，求△ABE的面積．

2025-2026學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)育英中學(xué)九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DCCCABACDC一．選擇題1．（3分）下列各組的四條線段是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a(chǎn)＝2，b＝，c＝2，d＝【解答】解：A.4×10≠5×7，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.1×4≠2×3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.×2≠2×；D.3×＝，故本選項(xiàng)正確；故選：D．2．（3分）若ac＝bd（ac≠0），則下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由＝得ad＝bc；B、由＝得c＝b；C、由＝得ac＝bd；D、由＝得a7c＝b2d，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．3．（3分）在比例尺為1：500000的交通地圖上，阜寧到鹽城的長(zhǎng)度約為11.7cm，則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為（）A．0.585km B．5.85km C．58.5km D．585km【解答】解：設(shè)這兩城市的實(shí)際距離是x厘米，由題意，得1：500000＝11.7：x，解得：x＝5950000，5850000cm＝58.7km．故選：C．4．（3分）如圖所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DEFB是平行四邊形，∴DE＝BF，BD＝EF；∵DE∥BC，∴＝＝，＝＝，∵EF∥AB，∴＝，＝，∴，故選：C．5．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則（）A． B． C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．6．（3分）如圖，取一張長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長(zhǎng)方形紙片，則原長(zhǎng)方形紙片的邊a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）A． B．a(chǎn)＝2b C． D．【解答】解：由題意得：對(duì)折兩次后得到的小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為b，寬為a，∵小長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似，∴＝，∴b2＝a2，∴a7＝4b2，∴a＝5b，故選：B．7．（3分）如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意得：AB＝＝，AC＝2＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三邊之比為1：：；B、三邊之比：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；C、三邊之比為1：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；D、三邊之比為2：：．故選：A．8．（3分）如圖，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的頂點(diǎn)G在菱形ABCD的BC邊上運(yùn)動(dòng)，∠E＝60°，若CG＝6，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．18 B．16 C．18 D．16【解答】解：連接AC．∵菱形ABCD∽菱形AEFG，∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，設(shè)AB＝BC＝AC＝a，則BH＝a﹣14，BG＝a﹣6，∴∠ACB＝60°，∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∵∠AGH＝∠ACG＝60°，∴∠BGH＝∠CAG，∵∠B＝∠ACG，∴△BGH∽△CAG，∴，∴，∴a2﹣20a+36＝0，∴a＝18或4（舍棄），∴AB＝18，故選：C．9．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊AB上；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能滿(mǎn)足△APC與△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【解答】解：①、當(dāng)∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴①符合題意；②、當(dāng)∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴②符合題意；③、當(dāng)AC2＝AP?AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A∴△APC∽△ACB，∴③符合題意；④、∵當(dāng)AB?CP＝AP?CB，而∠PAC＝∠CAB，∴不能判斷△APC和△ACB相似，∴④不符合題意；故選：D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BE⊥AC于點(diǎn)E．若CE＝3AE＝6，則邊AD的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．6【解答】解：∵矩形ABCD，BE⊥AC，∴∠ABC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠BAE＝∠CBE，∴△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC?AE，∵CE＝3AE＝7，∴AC＝BD＝AE+EC＝2+6＝4，∴AB2＝16，∴AB＝4或者AB＝﹣6（舍），∴AB＝4，∴AD＝＝＝4．故選：C．11．（3分）已知＝＝（b﹣2d≠0），則＝．【解答】解：∵＝＝，∴＝＝，∴＝，故答案為：．12．（3分）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，α＝83°．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，∵∠D′＝140°，∴α＝360°﹣140°﹣62°﹣75°＝83°．故答案為：83°．13．（3分）如圖，AB∥GH∥CD，點(diǎn)H在BC上，AB＝2，CD＝3．【解答】解：∵AB∥GH，∴＝，即＝①，∵GH∥CD，∴＝，即＝②，①+②，得+＝+＝＝1，∴+＝1，解得GH＝．故答案為．14．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)AD，CE交AB于點(diǎn)F．若AF＝2cm10cm．【解答】解：如圖所示，過(guò)A作AG∥BC，∵AE＝AD，∴△AEG∽△DEC，∴＝＝，又∵AD是△ABC的中線，∴BC＝2CD，∴＝，∵AG∥BC，∴△AFG∽△BFC，∴＝＝，∴BF＝4AF＝8cm，∴AB＝AF+BF＝10cm，故答案為：10．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊AB上，則△ABC的面積為．【解答】解：如圖，由題意得四邊形CEFH為矩形，HG∥BC，DF＝1，F(xiàn)G＝3，CE＝2，∴tan∠DGF＝tan∠B，∴，∴BE＝7DE＝9，BC＝3AC，∴BC＝10，∴，∴△ABC的面積為；故答案為：．16．（3分）如圖把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是△ABC面積的一半，三角形移動(dòng)的距離AA′是．【解答】解：設(shè)BC與A′C′交于點(diǎn)E，由條件可知AC平行于A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴，∵AB＝10，∴，∴，故答案為：．17．（3分）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上的一點(diǎn)，先以CE為對(duì)稱(chēng)軸將△CDE折疊，使點(diǎn)D落在CF上的點(diǎn)D′處，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′與點(diǎn)D′重合，以FG為對(duì)稱(chēng)軸折疊△BFG，F(xiàn)G＝2，則CE的值為．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥CB，∴∠CBH＝∠A＝60°，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，∴BH＝x，∴CH＝x，設(shè)AF＝A′F＝a，則BF＝AB﹣AF＝7x﹣a，CF＝CD′+A′F＝CD+AF＝2x+a，F(xiàn)H＝BF+BH＝2x﹣a+x＝2x﹣a，在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理得：FH2+CH2＝CF5，∴（3x﹣a）2+（x）2＝（2x+a）3，解得a＝0.8x，∴CD′＝3x，B′F＝2x﹣a＝1.7x，∵CE∥FG，∴∠ECD′＝∠GFB′，∵∠D＝∠ED′C＝∠B＝∠FB′G，∴△ECD′∽△FGB′，∴＝＝＝．∵FG＝2，∴CE＝，故答案為：．三．解答題18．（8分）如圖，BD＝7，AD＝3，AC＝6，DE＝4【解答】解：∵BD＝7，AD＝3，∴AB＝3+3＝10，∵AE＝5，AC＝5，∴，∵，∴△ADE∽△ACB，則，∵DE＝6，∴CB＝2×4＝6．19．（8分）如圖，△ABC與△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm【解答】解：∵△ABC與△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AC＝5cm，AB＝4cm，∴AD＝＝＝（cm）．20．（8分）如圖，△ABC中，DE∥BC，AD：BD＝3：2，F(xiàn)C＝2，求DE和CE的長(zhǎng)．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝6，∴AE＝AC﹣CE＝6﹣CE，∴＝，解得CE＝2.8，∵EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE＝BF，∴BC＝DE+CF＝DE+2，∵AD：BD＝3：4，∴AD：AB＝3：5，∴＝＝，即＝，解得DE＝3．21．（8分）?ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F．（1）求證：△AEF∽△CDF；（2）AF＝6，求AC．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC平行于AB，∴∠EAF＝∠DCF，∠FEA＝∠FDC，∴△AEF∽△CDF；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，∵△AEF∽△CDF，∴，∵AF＝6，∴CF＝15，∴AC＝AF+CF＝21．22．（8分）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求x的值．（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能【解答】解：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，AP：AB＝AQ：AC，∵AP＝4x，AQ＝30﹣3x，∴，解得：x＝；即當(dāng)x＝，PQ∥BC；（2）能，①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，有，即：，解得：x＝，∴AP＝4x＝（cm），②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，有，即：，解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），綜上所述，當(dāng)AP＝，△APQ與△CQB相似．23．（8分）在△ABC中，，∠B＝45°，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ADE，點(diǎn)E在AC上，若CE＝4【解答】解：在CD上取一點(diǎn)F，使∠EFD＝45°，如圖所示：由條件可知∠ADE＝∠AED＝45°，AD＝AE，∴，∵∠B＝45°，∴∠BAC+∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°，∴∠BAD+∠DAE+∠C＝∠BAD+90°+∠C＝135°，∴∠BAD+∠C＝45°，∵∠AED＝∠EDF+∠C＝45°，∴∠BAD＝∠EDF，∵∠EFD＝45°＝∠B，∴△BAD∽△FDE，∴，∴，由條件可知180°﹣∠AED＝180°﹣∠EFD，∴∠CED＝∠EFC，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CFE，∴，∵CE＝4，∴，∴，∴CF＝5（舍去負(fù)值），∴CD＝CF+DF＝2+6＝7．24．（8分）（1）如圖1，E，F(xiàn)分別為正方形CD邊和BC邊上的點(diǎn)，連接AE、DF，則＝1．（2）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)E，連接BD、EF，且BD⊥EF，BD＝5．求．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠EDA＝∠FCD＝90°，∵AE⊥DF，∴∠AGD＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，在△DAE和△CDF中，，∴△DAE≌△CDF（ASA），∴AE＝DF，∴，故答案為：1；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，且AB＝2，∴，AD∥BC，∴四邊形ABHE是矩形，∠ADB＝∠DBC，∴AB＝