并查集的路徑壓縮與按秩合并技巧一、并查集的基本概念

并查集是一種用于處理一些不交集的合并及查詢問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它支持兩種主要操作：

1.查找（Find）：確定某個(gè)元素屬于哪個(gè)子集。

2.合并（Union）：將兩個(gè)子集合并成一個(gè)集合。

并查集的核心思想是通過(guò)路徑壓縮和按秩合并兩種優(yōu)化技術(shù)，提高操作的效率。

二、路徑壓縮技術(shù)

路徑壓縮是一種在查找操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是將樹(shù)的高度盡可能降低，從而加速后續(xù)的查找操作。

（一）基本原理

1.在查找元素時(shí)，沿著查找路徑，將沿途的節(jié)點(diǎn)直接指向根節(jié)點(diǎn)。

2.通過(guò)這種方式，每次查找后，該路徑上的節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)直接相連，減少了未來(lái)查找的深度。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`parent`，用于記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸或迭代函數(shù)`find`，用于查找元素所屬的根節(jié)點(diǎn)。

3.在查找過(guò)程中，如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，則將其父節(jié)點(diǎn)直接設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)。

（三）示例代碼

functionfind(u):

ifparent[u]!=u:

parent[u]=find(parent[u])//路徑壓縮

returnparent[u]

三、按秩合并技術(shù)

按秩合并是一種在合并操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是盡量保持樹(shù)的平衡，減少樹(shù)的高度。

（一）基本原理

1.為每個(gè)集合維護(hù)一個(gè)“秩”或“高度”屬性。

2.合并時(shí)，總是將秩較小的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)連接到秩較大的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`rank`，用于記錄每個(gè)集合的秩。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)合并函數(shù)`union`，根據(jù)秩進(jìn)行合并。

3.如果兩個(gè)集合的秩相同，選擇一個(gè)作為新根，秩加一。

（三）示例代碼

functionunion(u,v):

root_u=find(u)

root_v=find(v)

ifroot_u!=root_v:

ifrank[root_u]<rank[root_v]:

parent[root_u]=root_v

elseifrank[root_u]>rank[root_v]:

parent[root_v]=root_u

else:

parent[root_v]=root_u

rank[root_u]+=1

四、并查集的應(yīng)用場(chǎng)景

并查集適用于解決以下問(wèn)題：

1.圖中的連通性問(wèn)題，如判斷兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否連通。

2.離散數(shù)學(xué)中的集合運(yùn)算。

3.網(wǎng)絡(luò)流中的最小生成樹(shù)算法。

五、總結(jié)

一、并查集的基本概念

并查集是一種用于處理一些不交集的合并及查詢問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它支持兩種主要操作：

1.查找（Find）：確定某個(gè)元素屬于哪個(gè)子集。

2.合并（Union）：將兩個(gè)子集合并成一個(gè)集合。

并查集的核心思想是通過(guò)路徑壓縮和按秩合并兩種優(yōu)化技術(shù)，提高操作的效率。并查集通常用一個(gè)數(shù)組`parent`來(lái)表示，其中`parent[i]`表示元素`i`所在集合的根節(jié)點(diǎn)。如果沒(méi)有根節(jié)點(diǎn)關(guān)系，則`parent[i]=i`。此外，按秩合并還需要一個(gè)輔助數(shù)組`rank`，用于記錄每個(gè)集合的秩（即樹(shù)的高度）。

二、路徑壓縮技術(shù)

路徑壓縮是一種在查找操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是將樹(shù)的高度盡可能降低，從而加速后續(xù)的查找操作。

（一）基本原理

1.在查找元素時(shí)，沿著查找路徑，將沿途的節(jié)點(diǎn)直接指向根節(jié)點(diǎn)。

2.通過(guò)這種方式，每次查找后，該路徑上的節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)直接相連，減少了未來(lái)查找的深度。這種操作類似于“路徑halving”或“路徑折疊”，顯著減少了樹(shù)的高度。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`parent`，用于記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。初始時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)指向自己。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸或迭代函數(shù)`find`，用于查找元素所屬的根節(jié)點(diǎn)。

3.在查找過(guò)程中，如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，則將其父節(jié)點(diǎn)直接設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)。這一步是路徑壓縮的核心。

4.返回根節(jié)點(diǎn)。

（三）示例代碼

functionfind(u):

ifparent[u]!=u:

parent[u]=find(parent[u])//路徑壓縮

returnparent[u]

（四）效果分析

1.在最壞情況下，每次查找都會(huì)進(jìn)行路徑壓縮，將樹(shù)的高度減半。

2.經(jīng)過(guò)多次查找操作后，樹(shù)的高度可以接近常數(shù)級(jí)別，從而顯著提高查找效率。

三、按秩合并技術(shù)

按秩合并是一種在合并操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是盡量保持樹(shù)的平衡，減少樹(shù)的高度。

（一）基本原理

1.為每個(gè)集合維護(hù)一個(gè)“秩”或“高度”屬性。

2.合并時(shí)，總是將秩較小的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)連接到秩較大的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

3.如果兩個(gè)集合的秩相同，選擇一個(gè)作為新根，秩加一。通過(guò)這種方式，可以避免樹(shù)的高度無(wú)限制增長(zhǎng)。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`rank`，用于記錄每個(gè)集合的秩。初始時(shí)，每個(gè)集合的秩為0。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)合并函數(shù)`union`，根據(jù)秩進(jìn)行合并。

3.查找兩個(gè)集合的根節(jié)點(diǎn)`root_u`和`root_v`。

4.如果`root_u`和`root_v`相同，說(shuō)明它們已經(jīng)在同一個(gè)集合中，無(wú)需合并。

5.如果`rank[root_u]<rank[root_v]`，則將`root_u`的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為`root_v`。

6.如果`rank[root_u]>rank[root_v]`，則將`root_v`的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為`root_u`。

7.如果`rank[root_u]==rank[root_v]`，則將`root_v`的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為`root_u`，并將`rank[root_u]`加一。

（三）示例代碼

functionunion(u,v):

root_u=find(u)

root_v=find(v)

ifroot_u!=root_v:

ifrank[root_u]<rank[root_v]:

parent[root_u]=root_v

elseifrank[root_u]>rank[root_v]:

parent[root_v]=root_u

else:

parent[root_v]=root_u

rank[root_u]+=1

（四）效果分析

1.通過(guò)按秩合并，可以確保樹(shù)的高度始終保持在對(duì)數(shù)級(jí)別。

2.這種方法顯著減少了合并操作的時(shí)間復(fù)雜度，尤其是在大規(guī)模數(shù)據(jù)集中。

四、并查集的應(yīng)用場(chǎng)景

并查集適用于解決以下問(wèn)題：

1.圖中的連通性問(wèn)題：

-判斷兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否連通。

-計(jì)算圖中的連通分量數(shù)量。

-應(yīng)用場(chǎng)景包括網(wǎng)絡(luò)連接管理、社交網(wǎng)絡(luò)中的好友關(guān)系分析等。

2.離散數(shù)學(xué)中的集合運(yùn)算：

-并集、交集等操作的高效實(shí)現(xiàn)。

-應(yīng)用場(chǎng)景包括數(shù)據(jù)去重、集合合并等。

3.網(wǎng)絡(luò)流中的最小生成樹(shù)算法：

-Kruskal算法中用于判斷邊的兩個(gè)端點(diǎn)是否屬于同一集合。

-應(yīng)用場(chǎng)景包括網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、資源分配等。

五、并查集的優(yōu)化與擴(kuò)展

（一）優(yōu)化策略

1.路徑壓縮與按秩合并的結(jié)合：

-在查找操作中應(yīng)用路徑壓縮，在合并操作中應(yīng)用按秩合并，可以顯著提高并查集的性能。

2.迭代查找：

-對(duì)于大規(guī)模數(shù)據(jù)集，遞歸查找可能導(dǎo)致棧溢出，可以使用迭代方式實(shí)現(xiàn)查找操作。

（二）擴(kuò)展應(yīng)用

1.動(dòng)態(tài)連通性測(cè)試：

-在動(dòng)態(tài)圖中實(shí)時(shí)判斷邊的連通性。

2.集合分組管理：

-在多人協(xié)作系統(tǒng)中，用于管理用戶的分組關(guān)系。

六、總結(jié)

并查集是一種高效處理不交集合并及查詢問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)路徑壓縮和按秩合并技術(shù)，可以顯著提高操作的效率。并查集在圖論、離散數(shù)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)流等多個(gè)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)具體需求選擇合適的優(yōu)化策略，進(jìn)一步提升性能。

一、并查集的基本概念

并查集是一種用于處理一些不交集的合并及查詢問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它支持兩種主要操作：

1.查找（Find）：確定某個(gè)元素屬于哪個(gè)子集。

2.合并（Union）：將兩個(gè)子集合并成一個(gè)集合。

并查集的核心思想是通過(guò)路徑壓縮和按秩合并兩種優(yōu)化技術(shù)，提高操作的效率。

二、路徑壓縮技術(shù)

路徑壓縮是一種在查找操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是將樹(shù)的高度盡可能降低，從而加速后續(xù)的查找操作。

（一）基本原理

1.在查找元素時(shí)，沿著查找路徑，將沿途的節(jié)點(diǎn)直接指向根節(jié)點(diǎn)。

2.通過(guò)這種方式，每次查找后，該路徑上的節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)直接相連，減少了未來(lái)查找的深度。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`parent`，用于記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸或迭代函數(shù)`find`，用于查找元素所屬的根節(jié)點(diǎn)。

3.在查找過(guò)程中，如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，則將其父節(jié)點(diǎn)直接設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)。

（三）示例代碼

functionfind(u):

ifparent[u]!=u:

parent[u]=find(parent[u])//路徑壓縮

returnparent[u]

三、按秩合并技術(shù)

按秩合并是一種在合并操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是盡量保持樹(shù)的平衡，減少樹(shù)的高度。

（一）基本原理

1.為每個(gè)集合維護(hù)一個(gè)“秩”或“高度”屬性。

2.合并時(shí)，總是將秩較小的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)連接到秩較大的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`rank`，用于記錄每個(gè)集合的秩。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)合并函數(shù)`union`，根據(jù)秩進(jìn)行合并。

3.如果兩個(gè)集合的秩相同，選擇一個(gè)作為新根，秩加一。

（三）示例代碼

functionunion(u,v):

root_u=find(u)

root_v=find(v)

ifroot_u!=root_v:

ifrank[root_u]<rank[root_v]:

parent[root_u]=root_v

elseifrank[root_u]>rank[root_v]:

parent[root_v]=root_u

else:

parent[root_v]=root_u

rank[root_u]+=1

四、并查集的應(yīng)用場(chǎng)景

并查集適用于解決以下問(wèn)題：

1.圖中的連通性問(wèn)題，如判斷兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否連通。

2.離散數(shù)學(xué)中的集合運(yùn)算。

3.網(wǎng)絡(luò)流中的最小生成樹(shù)算法。

五、總結(jié)

一、并查集的基本概念

并查集是一種用于處理一些不交集的合并及查詢問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它支持兩種主要操作：

1.查找（Find）：確定某個(gè)元素屬于哪個(gè)子集。

2.合并（Union）：將兩個(gè)子集合并成一個(gè)集合。

并查集的核心思想是通過(guò)路徑壓縮和按秩合并兩種優(yōu)化技術(shù)，提高操作的效率。并查集通常用一個(gè)數(shù)組`parent`來(lái)表示，其中`parent[i]`表示元素`i`所在集合的根節(jié)點(diǎn)。如果沒(méi)有根節(jié)點(diǎn)關(guān)系，則`parent[i]=i`。此外，按秩合并還需要一個(gè)輔助數(shù)組`rank`，用于記錄每個(gè)集合的秩（即樹(shù)的高度）。

二、路徑壓縮技術(shù)

路徑壓縮是一種在查找操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是將樹(shù)的高度盡可能降低，從而加速后續(xù)的查找操作。

（一）基本原理

1.在查找元素時(shí)，沿著查找路徑，將沿途的節(jié)點(diǎn)直接指向根節(jié)點(diǎn)。

2.通過(guò)這種方式，每次查找后，該路徑上的節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)直接相連，減少了未來(lái)查找的深度。這種操作類似于“路徑halving”或“路徑折疊”，顯著減少了樹(shù)的高度。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`parent`，用于記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。初始時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)指向自己。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸或迭代函數(shù)`find`，用于查找元素所屬的根節(jié)點(diǎn)。

3.在查找過(guò)程中，如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，則將其父節(jié)點(diǎn)直接設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)。這一步是路徑壓縮的核心。

4.返回根節(jié)點(diǎn)。

（三）示例代碼

functionfind(u):

ifparent[u]!=u:

parent[u]=find(parent[u])//路徑壓縮

returnparent[u]

（四）效果分析

1.在最壞情況下，每次查找都會(huì)進(jìn)行路徑壓縮，將樹(shù)的高度減半。

2.經(jīng)過(guò)多次查找操作后，樹(shù)的高度可以接近常數(shù)級(jí)別，從而顯著提高查找效率。

三、按秩合并技術(shù)

按秩合并是一種在合并操作中優(yōu)化樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的技巧，目的是盡量保持樹(shù)的平衡，減少樹(shù)的高度。

（一）基本原理

1.為每個(gè)集合維護(hù)一個(gè)“秩”或“高度”屬性。

2.合并時(shí)，總是將秩較小的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)連接到秩較大的樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

3.如果兩個(gè)集合的秩相同，選擇一個(gè)作為新根，秩加一。通過(guò)這種方式，可以避免樹(shù)的高度無(wú)限制增長(zhǎng)。

（二）實(shí)現(xiàn)步驟

1.定義一個(gè)數(shù)組`rank`，用于記錄每個(gè)集合的秩。初始時(shí)，每個(gè)集合的秩為0。

2.實(shí)現(xiàn)一個(gè)合并函數(shù)`union`，根據(jù)秩進(jìn)行合并。

3.查找兩個(gè)集合的根節(jié)點(diǎn)`root_u`和`root_v`。

4.如果`root_u`和`root_v`相同，說(shuō)明它們已經(jīng)在同一個(gè)集合中，無(wú)需合并。

5.如果`rank[root_u]<rank[root_v]`，則將`root_u`的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為`root_v`。

6.如果`rank[root_u]>rank[root_v]`，則將`root_v`的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為`root_u`。

7.如果`rank[root_u]==rank[root_v]`，則將`root_v`的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為`root_u`，并將`rank[root_u]`加一。

（三）示例代碼

functionunion(u,v):

root_u=find(u)

root_v=find(v)

ifroot_u!=root_v:

ifrank[root_u]<rank[root_v]:

parent[root_u]=root_v

elseifrank[root_u]>rank[root_v]:

parent[root_v]=root_u

else:

pare