高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市肥東縣2026屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)z=2i，則1+zA．1 B．3 C．2 D．5【答案】D【解析】z=2i=-2i，則故選：D．2．已知集合A=x1x<1，B=-1,0,1,2,3A．2,3 B．0,2,3 C．-1,2,3 D．1,2,3【答案】C【解析】法1：由1x<1，得x<0或x>1，所以A=-法2：將x=-1,0,1,2,3代入1x<1，只有-1,2,3符合，所以故選：C．3．若雙曲線C:y2a2-x2A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．3【答案】B【解析】由雙曲線C:y2a2-x2因為a>0,b>0，所以ba而雙曲線C的漸近線方程為y=±abx，所以C的漸近線方程為y=±故選：B.4．已知兩個單位向量a,b滿足a+b=A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由a+b=a-所以4a故選：C．5．已知q是等比數(shù)列an的公比，則“數(shù)列an是遞增數(shù)列”是“q>1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】充分性：若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則a1<0，0<q<1或者a必要性：等比數(shù)列an中，q>1，若a1綜上，“數(shù)列an是遞增數(shù)列”是“q>1”故選：D.6．已知實數(shù)x,y滿足x-22+y2=4A．-4,16 B．-8,12 C．-10,10 D．-16,4【答案】A【解析】設3x-4y=t，依題意，直線3x-4y-t=0與圓x-22而圓x-22+y2=4的圓心為(2,0)，半徑為2所以3x-4y的取值范圍為[-4,16].故選：A.7．在△ABC中，AB=3，∠ACB=2π3，以AB為直徑的半圓弧和△ABC

A．2π+338 B．π+63【答案】B【解析】由已知可得圖中半圓半徑為32，所以半圓面積為1如圖，設△ABC外接圓的圓心為O，半徑為r，連接OA，OB，由正弦定理，2r=3sin2π3由余弦定理，cos∠AOB=又∠AOB∈0,π，所以∠AOB=2則弓形ACB的面積為12所以月牙形區(qū)域的面積為9π故選：B．8．已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，且fx-1為奇函數(shù)，若f0=1，則2026∑A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】令gx由gx得g-x又fx為偶函數(shù)，∴f∴fx+1用x+1替換x，則fx+2∴fx+4=fx+2+2=-f根據(jù)f-x-1令x=0，得f-1令x=1，得f-2又fx為偶函數(shù)，且f0=1，∴f又fx的周期為4，∴f3=f∴f1∵2026÷4=506余2，∴2026∑故選：A．二、多選題9．一組樣本數(shù)據(jù)3,4,4,2,5,3,3,5,7，則該組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)為3 B．極差為4 C．平均數(shù)為4 D．標準差為2【答案】AC【解析】這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，故A正確；極差為7-2=5平均數(shù)為3+4+4+2+5+3+3+5+79=36由方差公式s2所以s2所以其標準差為2，故D錯誤．故選：AC．10．設m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，且α∩β=n，則下列命題正確的有（

）A．若m與α不垂直，則m,n也不垂直B．若m//α，且m//βC．若m//n，則mD．若m⊥α，α⊥β，則m【答案】BC【解析】對于A，在正方體ABCD-A1B1C平面BCC1B1，ABCD分別為α,β，因直線m與平面α不垂直，α∩β=n,但對于B，根據(jù)線面平行的性質定理，一條直線平行于兩個相交平面，則該直線平行于這兩個平面的交線，即由m//α，m//β，且α∩β=n，可得m//n，故B正確；對于C，因為α∩β=n，所以n?α，n?β，若m?α，又m//n，則同理可得若m?β，又m//n，則m//β．若m?α，m?β都不成立，則所以α∩β=m．又α∩β=n，所以m與n是同一條直線，這與題設矛盾．故m?α，m?β中至少有一個成立，故m//α，m//對于D，由m⊥α，α⊥β，可得m//β或m?β，故D錯誤．故選：BC．11．已知F1,0為拋物線E:y2=2pxp>0的焦點，A,BA．若點D的坐標為3,0，則AD的最小值為3B．若AB=6，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的最小距離為C．若線段AB的中點的橫坐標為3，則AB的最大值為8D．若直線AB過點F，則OA，OB（O為坐標原點）的斜率之積為定值【答案】BCD【解析】已知F1,0，即p2=1，所以p=2，故E設Am,n，則n2=4m所以當m=1時，ADmin=22如下圖，過A,B分別作準線的垂線，垂足分別為A1則AB的中點到y(tǒng)軸的距離d=1當且僅當AB過點F時等號成立，故B正確；如上圖，AB中點橫坐標為3，且拋物線準線為x=-1，則AB≤當且僅當AB過點F時等號成立，故C正確；若AB過點F，設其方程為x=ty+1，代入E的方程并整理，得y2設Ax1,y1，B所以kOA?k故選：BCD．三、填空題12．x-13x【答案】28【解析】展開式的通項為Tr+1令8-43r=0故展開式的常數(shù)項為-16故答案為：28.13．已知函數(shù)f(x)=sinxcosx在區(qū)間π3,a【答案】3【解析】fx=sinxcos結合y=12sin當t∈3π2,故當2π3<2a≤3π當3π2<2a≤7π當7π3<2a≤5當2a>5π2時，該函數(shù)有最小值f綜上，當3π4<a≤7故實數(shù)a的取值范圍為3π故答案為：3π14．已知a>0且a≠1，若aa9=9，則【答案】2【解析】由題設，令a9=t，則若0<a<1，則at<a所以a>1，由a9=t，得t>1，且由at=9，得tlna=ln令fx=xlnxx>1，則f所以t=9，即a9=9，所以故答案為：29四、解答題15．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2S（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和解：（1）由2Sn得2Sn-1=3an-1①－②，得2an=3a又2S1=3a1-1=2∴{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）由（1）得，bn=n3∴Tn=1313Tn=1兩式相減，得23Tn=1∴Tn=9416．隨著科技的發(fā)展，AI技術已經深度介入普通人的生活，正在改變著人們的生活和工作．為了調查AI技術在普通人中的使用情況，一調查機構對此進行了調查，并從參與調查的市民中分別抽取男，女各100人進行統(tǒng)計分析，整理得到如下列聯(lián)表：性別經常借助AI技術不經常借助AI技術合計男女50合計120（1）完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析是否經常借助AI技術與性別有關聯(lián)；（2）采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從表中不經常借助AI技術的人中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記3人中男性人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：χ2=nα0.0500.0100.005x3.8416.6357.879解：（1）2×2列聯(lián)表為：性別經常借助AI技術不經常借助AI技術合計男7030100女5050100合計12080200零假設為H0：是否經常借助AI根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得χ2根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，可以推斷H0即是否經常借助AI技術與性別有關聯(lián)，這種推斷犯錯誤的概率不超過0.005．（2）解：采用按比例分配的分層隨機抽樣，男性抽取人數(shù)為8×3080=3所以隨機變量X的可能取值為0,1,2,3，PX=0=CPX=2=C所以X的分布列為：X0123P515151所以EX17．已知橢圓E:x2a2+y2b2（1）求E的方程；（2）過F的直線l交E于A,B兩點，求△OAB（O為坐標原點）的面積的最大值．解：（1）因為P(0,-3)是E上一點，代入橢圓方程解得又e=a2-3所以橢圓E的方程為x2（2）由（1）得半焦距c=1，點F(1,0)，顯然l的斜率不為零，設直線l的方程為x=my+1，A(x由x=my+13x2+4y2=12則y1+y所以|y則△OAB的面積S△OAB令1+m2=t≥1，函數(shù)y=3t+1t在[1,+∞)則當m=0時，3m2+1+1所以△OAB的面積的最大值為3218．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，D為棱A（1）求證：AC⊥BC；（2）若三棱錐D-ABC的四個頂點均在球O的表面上．（i）求平面ACD截球O的表面所得圓的周長；（ii）求直線CO與平面ACD所成角的正弦值．（1）證明：由題意知BB1⊥平面ABC，又AC?平面ABC又AC⊥BF，BB1∩BF=B,BB1,BF?平面又BC?平面BCC1B（2）解：由（1）得CA,CB,CC1兩兩垂直，以C為原點，直線CA,CB,CC1分別為x軸，則A2,0,0，B0,2,0，C1所以CA=設平面ACD的一個法向量n=x,y,z，則令z=1，得x=0，y=-2，所以n=法1：因為△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以△ABC的外心為線段AB的中點M，其坐標為1,1,0，故DM//BB1，故DM⊥平面ABC，所以O在由OA2=OD2，得c所以OD=0,0,32，球法2：設Oa,b,c，由OA=OB=OC=OD得a-22+b2+c2=所以OD=0,0,32，球（i）設點O到平面ACD的距離為d，則d=OD所以截面圓的半徑r=R故截面圓的周長為2π（ii）CO=1,1,1所以直線CO與平面ACD所成角的正弦值為5519．已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx在點π（2）求fx（3）若關于x的方程fx=aa∈R在0,π（1）解：f'x=3又fπ故所求切線方程為y-52=（2）解：法1：fx為以2π為周期的函數(shù)，所以fx在-π4由（1）知f'cos3x=f'①當x∈-π4,π4時，cosx>0②當x∈π4,π2時，cosx>0，③當x∈π2,3π4時，cosx<0所以fx在-π4,π又fπ4=f3π所以fx在-π4因為fπ+x=3當x∈3π4,7π4時，x-所以fx的值域為-2法2：fx為以2π為周期的函數(shù)，所以fx在-π,由（1）知f'因為cosx=cos3x=所以f'當x∈0,π4時，cos2x