高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市石景山區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由直線可知斜率為：，因為，則.故選：D2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線中，，所以漸近線方程為，故選C.3.已知兩條不同直線與兩個不同平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對于A：因為，所以存在直線，使得，又，所以，所以，故A正確；對于B：若，則或或或與相交（不垂直），故B錯誤；對于C：若，則或與相交或與異面，故C錯誤；對于D：若，則或，故D錯誤.故選：A4.過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，所以，解得或，所以切線方程為或，故選：C.5.已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為，，，因為，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓．又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，所以該圓內(nèi)含于橢圓，即，所以，則．，，即橢圓離心率的取值范圍是．故選：C．6.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M在上，且，N為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接，因為∥，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D.8.在平面內(nèi)，A，B是兩個定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線【答案】A【解析】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.9.正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）A.4 B.2 C. D.【答案】D【解析】連接，相交于點(diǎn)，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點(diǎn)，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：D.10.如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)在平面及其邊界上運(yùn)動，總有，則動點(diǎn)的軌跡為（）A.兩個點(diǎn) B.線段 C.圓的一部分 D.拋物線的一部分【答案】B【解析】如圖，先找到一個平面總是保持與垂直，取B1B的中點(diǎn)E，CB的中點(diǎn)F，連接AE，EF，AF,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，易證DM⊥AF，⊥AF，則有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，則MD1⊥平面AEF又點(diǎn)P側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動，根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：點(diǎn)P的軌跡為面AEF與面BCC1B1的交線段EF．故選：B.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段中點(diǎn)坐標(biāo)是________.【答案】【解析】因為，，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，化簡得中點(diǎn)坐標(biāo)為.12.點(diǎn)到直線的距離是__________．【答案】【解析】點(diǎn)到直線的距離是.13.若直線與直線平行，則的值為________.【答案】【解析】因為直線與直線平行，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則________.【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，因為點(diǎn)在上且到直線的距離為5，所以，解得，所以.15.如圖所示，在四面體中，，截面是矩形，給出下列四個結(jié)論：①平面平面；②平面；③平面平面；④平面．其中所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②③【解析】因為四邊形是矩形，所以，，因為面，面，所以面，而面，面面，故，同理，而，得到，因為，，面，所以面，因為面，所以面面，同理可得面面，故①，③正確，因為，面，面，所以平面，故②正確，不能得到或，故不能得到平面，故④錯誤.綜上，其中所有正確結(jié)論的序號是①②③.三、解答題共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，求的外接圓方程.解：設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．17.如圖，在三棱柱中，底面，底面為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．證明：（1）如圖：取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于分別為的中點(diǎn)．所以，而，所以有，又因為，所以四邊形是平行四邊形，故，又因為平面，平面，所以平面；（2）底面為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)．可得，又因為底面，底面，所以，又因為，平面，所以平面，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面．18.拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時，求；（2）若的面積為，求的值．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程為．設(shè)，由，得，則，所以，所以，當(dāng)時，．（2）因為，點(diǎn)到直線的距離，所以，化簡得，解得，即．19.如圖，在多面體中，四邊形為正方形，四邊形為梯形．，，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面．（結(jié)論不要求證明）（1）證明：因為，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥；（2）解：因為、，又，故，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，解得，令，則，則，又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則；（3）解：線段BD上存在點(diǎn)M，使得直線平面，設(shè)，即，當(dāng)時，與重合，此時與平面不平行，當(dāng)時，設(shè)，則，解得，故，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c則，令，則，故，則，解得，故線段BD上存在點(diǎn)M，使得直線平面，此時.20.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．設(shè)，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線與的斜率之積為定值；（3）判斷三點(diǎn)，，是否