高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)試題（北師大版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知甲部門有員工4人，乙部門有員工5人，丙部門有員工6人，現(xiàn)從這三個部門的員工中任選1人參加接待客戶的活動，不同的選法種數(shù)為（）A.120 B.15 C.25 D.90【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，不同的選法種數(shù)為.故選：B.2.已知直線與直線平行，則（）A.4 B. C.或5 D.【答案】D【解析】因為直線與直線平行，所以，解得或.當(dāng)時，兩直線方程都，重合；當(dāng)時，直線與直線符合題意.故選：D.3.被6除的余數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】因為，且984可以被6整除，所以余數(shù)為1.故選：A.4.已知雙曲線的焦距為，實軸長為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以.因為，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】令，得，故A不正確；令，得，所以，故B不正確；令，得，所以，故C正確；令，得，所以D不正確.故選：C.6.甲，乙，丙3名學(xué)生約定：利用假期觀看A，B，C，D，E這5部新上映的電影，待返校后互相分享精彩內(nèi)容.返校后，已知5部電影都有人觀看，且每部電影只有一個人觀看，則所有觀看電影的情況種數(shù)為（）A.150 B.243 C.183 D.393【答案】B【解析】分三類，第一類：1個人觀看5部電影有3種情況；第二類：2個人觀看5部電影有種情況；第三類：3個人觀看5部電影有種情況；所以共有：種情況.故選：B.7.在平行六面體中，點(diǎn)分別在棱上，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,又，所以，故，故選：A.8.已知是拋物線上的動點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，，則的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，當(dāng)時，的值最小，此時，由拋物線的定義，可得PM=則.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知，的中點(diǎn)，即在直線上，則可得，解得，則直線，斜率為，又直線與直線垂直，則可得，解得，故選：AC.10.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的面積為，則該橢圓的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)題意有：由“逼近法”原理可知，又因為，所以或或或或或，當(dāng)或時，橢圓離心率；當(dāng)或時，橢圓離心率；當(dāng)或時，橢圓離心率.故選：ABD.11.在正四棱錐中，，則（）A.B.異面直線所成角的余弦值為C.向量在向量上的投影向量為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】如圖，記，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.因為，所以，故A正確.因，所以，故B正確.向量在向量上的投影向量為，故C不正確.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，因為，所以令，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在四面體中，空間的一個點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則___________.【答案】【解析】因為四點(diǎn)共面，，所以，解得.13.的展開式中的系數(shù)為___________.【答案】【解析】可看作5個相同的因式相乘，個含有的括號中，1個括號取個括號取個括號取個括號取1，乘在一起構(gòu)成這一項，或者3個括號取個括號取，乘在一起構(gòu)成這一項，所以的系數(shù)為.14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，則該阿氏圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________；若該阿氏圓在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，則，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；該阿氏圓的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線的距離，依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且點(diǎn)，在上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相交于D，E兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，因為直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線所在的直線方程為，由得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以.16.已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，記動點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線與相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.解：（1）由題意知根據(jù)已知得到動點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，即動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線方程為，即經(jīng)檢驗滿足題意.17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．因為為等腰直角三角形，且，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因為平面，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因為，所以，又，所以四邊形平行四邊形，則．因為平面，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因為平面，所以平面．（2）解：由題可知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．所以，則平面與平面的夾角的余弦值為．18.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，△，△均為等邊三角形，．（1）證明：平面平面．（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求四棱錐的體積．（1）證明：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，所以，解得，即，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，所以點(diǎn)到平面距離為，又平行四邊形的面積為，所以四棱錐的體積為.19.已知橢圓C:x2a2+y2b（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知