高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以，因為，所以對恒成立，所以.故選：A.2.設，，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，；若，則，即.“”是“”的必要而不充分條件；故選：B.3.下圖是我國2018～2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計情況，下列說法錯誤的是（）A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬輛C.這六年增長率最大的為2019年至2020年D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值【答案】D【解析】A：由條形圖知，我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢，對；B：由，故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬輛，對；C：由圖知：2019年到2020年增長率超過了100%，其它都不超過100%，對；D：由，錯；故選：D.4.直線過拋物線：的焦點，且與交于兩點，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由拋物線方程知：拋物線焦點為，通徑長為，當垂直于軸時，兩點坐標為，此時，且，即拋物線的焦點弦中，通徑最短，所以.故選：A．5.已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，由題意可知直線的方程為，線段的中點是直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，所以，另一方面，聯(lián)立，得.易知，由韋達定理得，解得，所以，故離心率，故D正確.故選：D.6.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點的一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知為銳角，又因為，所以．設，即，，，．由，得，又，故．則，因此，即．在中，由正弦定理，以及，整理計算得．故選：B．7.在平面直角坐標系內(nèi)，方程對應的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易得該橢圓的對稱中心為，且關于直線對稱，將代入方程，解得兩交點的坐標為，，將代入方程，解得兩交點坐標為，，所以該橢圓的長半軸長，短半軸長，所以半焦距，所以其離心率為.故選：C．8.已知O為坐標原點，雙曲線C:的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點是C的右支上異于頂點的一點，過F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設半焦距為c，延長交于點N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點，所以MO是中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.9.在中，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由以及得，又由得，所以，且B，C均為銳角，即，，所以，因為，所以，設，因為，當且僅當時等號成立，所以，故由對勾函數(shù)性質(zhì)，則.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.10.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時，的漸近線方程為C.的焦點坐標為D.可以是等軸雙曲線【答案】ACD【解析】對于選項A，因為表示雙曲線，所以，解得，所以選項A正確；對于選項B，當時，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項B錯誤；對于選項C，由選項A得0，所以焦點在軸上，設的半焦距為，則，解得，故其焦點坐標為，所以選項C正確；對于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項D正確，故選：ACD.11.如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動點，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，以為坐標原點建立平面直角坐標系，如下圖所示：不妨設正方形邊長為，圓的半徑為，點坐標為；則可得，且；易知；所以對于A選項，，為定值，即A正確；對于B選項，，為定值，所以B正確；對于C選項，易知表達式中不能表示成只含有邊長和半徑的式子，即與有關，故其不是定值，所以C錯誤；對于D選項，，為定值，故D正確；故選：ABD.12.直四棱柱的所有棱長都為4，，點在四邊形及其內(nèi)部運動，且滿足，則下列選項正確的是（）A.點的軌跡的長度為.B.直線與平面所成角為定值．C.點到平面的距離的最小值為.D.的最小值為-2．【答案】BC【解析】直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設與相交于點，由，以為原點，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，點在四邊形及其內(nèi)部運動，設，，由，有，即，所以點的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點的軌跡的長度為，A選項錯誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項正確；，設平面的一個法向量為，則有，令，得，，所以點到平面的距離，，所以時，，所以點到平面的距離的最小值為，C選項正確；，，其幾何意義為點到點距離的平方減12，由，點到點距離最小值為，的最小值為，D選項錯誤.故選：BC.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.13.已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為__________.【答案】【解析】，，由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.14.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.15.法國數(shù)學家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個根不同冪的和時，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.【答案】123【解析】因為，，，，所以，所以，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.16.如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個三棱錐后的幾何體，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）判斷BF和CE是否垂直，并說明理由；（2）設（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）BF和CE不垂直，理由如下：以點C為坐標原點，直線CA，CB，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，，，因為，所以BF和CE不垂直.（2）假設存在使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為，由，得，顯然平面ABC的一個法向量為，，設平面PBF的法向量為，則，取，得，設平面ABC與平面PBF的夾角為，則，而，解得，所以存在實數(shù)，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為.17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點數(shù)分別記為，設表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機變量X.（1）求在的條件下，的概率；（2）求X的分布列及其數(shù)學期望.解：（1）記拋擲骰子的樣本點為，則樣本空間為，樣本空間容量為36，設事件A為：，事件B為：，則A為：{，，}，其包含的樣本點數(shù)為21，，其包含的樣本點數(shù)為14，根據(jù)條件概率得；（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，所以其分布列為：X0123456P所以數(shù)學期望18.如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.（1）求證：；（2）求異面直線與BE的距離；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：在圖1中，連接CE，易求.∴四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點O，則.∴在圖2中，，.又于O，∴平面.又平面，∴；（2）解：由勾股定理可得，∴.過作的垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，；（3）解：在圖2中延長BE，CD，設，連接AG.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線，∵平面平面BCDE，，平面平面，∴平面，又平面，∴，作，垂足為H，連接CH，又，∴平面OCH，又平面OCH，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴，∵，∴，解得.在中，，∴.∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.已知，，M是圓O：上任意一點，關于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.（1）解：連接OM，由題意可得，且M為的中點，又O為的中點，所以，且|.因為線段的中垂線與直線相交于點T，所以，所以，由雙曲線的定義知動點T的軌跡是以，為焦點的雙曲線.設其方程為（，），則，，，故曲線C的方程為.（2）證明：由（1）知依題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為，，，由，得，，由，得，所以，.則，整理得，即，解得或，當時，直線l的方程為，直線l過定點；當時，直線l的方程為，直線l過定點，不合題意，舍去.綜上所述，直線l過定點.20.在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長為，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義（