第1頁/共1頁株洲世紀(jì)星高級(jí)中學(xué)2025級(jí)高一年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試題卷（本試卷共4頁，19題，全卷滿分:150分，考試時(shí)間:120分鐘）注意事項(xiàng):1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，試題卷自行妥善保管，答題卡統(tǒng)一上交.第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“?x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是（）A.?x∈R，x2+2x+2＞0 B.?x∈R，x2+2x+2≥0C.?x0∈R，x02+2x0+2＜0 D.?x∈R，x02+2x0+2＞0【答案】A【解析】【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可．【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題“?x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：?x∈R，x2+2x+2＞0．故選A．2.集合，，則圖中陰影部分表示集合為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】圖中陰影部分表示為，因?yàn)椋?，故選.3.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)集合和化為統(tǒng)一的形式，再進(jìn)行比較.【詳解】解：對(duì)于集合：，對(duì)于集合：，是奇數(shù)，是整數(shù)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.下列說法中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，的最小值是2C.當(dāng)時(shí)，的最小值是5 D.若，則的最小值為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式適用的條件“一正二定三相等”依次討論各選項(xiàng)即可求得答案．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，沒有最小值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，可得，，即最大值為1，沒有最小值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，不是定值，D不正確.故選：A.5.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＞”和“＜”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).已知為非零實(shí)數(shù)，且；則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)不等式，利用作差法、特殊值，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷正誤即可.【詳解】A：，若有，故，A錯(cuò)誤；B：，若有，又，故，B錯(cuò)誤；C：若，則，C錯(cuò)誤；D：，故，D正確.故選：D6.下面關(guān)于集合的表示正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵集合中的元素具有無序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；

{（x，y）x+y=1}是點(diǎn)集，而{yx+y=1}不是點(diǎn)集，②不成立；

由集合的性質(zhì)知③④正確．

故選C．7.集合的真子集個(gè)數(shù)是A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】先求得集合中元素的個(gè)數(shù)，由此求得其真子集的個(gè)數(shù).【詳解】依題意共有個(gè)元素，故真子集個(gè)數(shù)為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合元素，考查集合真子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8.2014年6月22日，卡塔爾首都多哈召開的第38屆世界遺產(chǎn)大會(huì)上宣布:中國(guó)大運(yùn)河項(xiàng)目成功入選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國(guó)第46個(gè)世界遺產(chǎn)項(xiàng)目.隨著對(duì)大運(yùn)河的保護(hù)與開發(fā)，大運(yùn)河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的的.今有一旅游團(tuán)乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運(yùn)碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭.已知游船在順?biāo)械乃俣葹?，在逆水中的速度為（），則游船此次行程的平均速度與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算平均速度，再計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)兩碼頭距離為，則即故選C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先解方程組得，再根據(jù)集合的運(yùn)算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意解方程組得，所以.故選：CD.10.下面選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤的有（）A.成立的條件是B.若，則的最小值為C.函數(shù)的最小值等于；D.函數(shù)的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】由，可判定A不正確；由，可判定B不正確；根據(jù)基本不等式，可判定C不正確，D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以A不正確；對(duì)于B中，若，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以B不正確；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)不成立，所以的最小值不等于，所以C不正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.函數(shù)的最大值為，所以D正確.故選：ABC.11.已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為1 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)均值不等式分別建立不等式解不等式可判斷AB，先變形為關(guān)于的二次函數(shù)求最值判斷C，利用條件變形可得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子由均值不等式判斷D.【詳解】由正數(shù)滿足，可得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；由正數(shù)滿足，可得，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；，由A知，由二次函數(shù)的單調(diào)性知，即時(shí)，的最小值為8，故C錯(cuò)誤；由可得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，則________.【答案】【解析】【分析】由并集的性質(zhì)及，，可得的值.【詳解】解：由，，可得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查并集的概念，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.13.已知兩個(gè)正數(shù)，滿足，則使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將代入進(jìn)行整體代換和合理拆項(xiàng)得，再利用基本不等式求出它的最小值，最后根據(jù)不等式恒成立求出的取值范圍.【詳解】解：由題意知，兩個(gè)正數(shù)，滿足，則，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值和解決恒成立問題，首先利用條件進(jìn)行整體代換和合理拆項(xiàng)，再根據(jù)基本不等式求最值，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力.14.若，或，且A是B的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】依題意有AB，根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)锳是B的充分不必要條件，所以AB，又，或，因此或，解得或所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)題意列出不等式組，求解即可；（2）由得，分，兩種情況討論可求得的取值范圍．小問1詳解】由集合，所以，又，，所以，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】若，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，有，要使，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.已知集合、集合（）.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)命題：；命題：，若命題是命題的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分、討論，根據(jù)交集的運(yùn)算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；（2）根據(jù)充分不必要條件分、討論，即可求解.【小問1詳解】由題意可知，又，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，或，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍為；【小問2詳解】∵命題是命題的必要不充分條件，∴集合是集合的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，（等號(hào)不能同時(shí)成立），解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知集合，．請(qǐng)從①，②，③這三個(gè)條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）條件選擇見解析，.【解析】【分析】(1)取化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)A，再根據(jù)交集的定義求；(2)若選①，由可得，討論的正負(fù)，由條件列不等式求a的取值范圍；若選②，討論的正負(fù)，化簡(jiǎn)集合，結(jié)合條件列不等式求a的取值范圍；若選③，討論的正負(fù)，化簡(jiǎn)集合，結(jié)合條件列不等式求a的取值范圍.小問1詳解】由題意得，．當(dāng)時(shí)，，∴；【小問2詳解】選擇①．∵，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．選擇②∵，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．選擇③∵，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.已知實(shí)數(shù)、滿足：.（1）求和的最大值；（2）求的最小值和最大值.【答案】（1）；（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）使用基本不等式根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進(jìn)行合理的配湊計(jì)算求解；（2）使用基本不等式，注意根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進(jìn)行合理的配湊計(jì)算求解.【小問1詳解】∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為；【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為，又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為.19.發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，是推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略措施，某汽車工業(yè)園區(qū)正在不斷建設(shè)，計(jì)劃在園區(qū)建造一個(gè)高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長(zhǎng)方體形狀的儲(chǔ)物室，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報(bào)價(jià)方案：方案一：儲(chǔ)物室的墻面報(bào)價(jià)為每平方米200元，屋頂和地面報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，總計(jì)報(bào)價(jià)記為；方案二：其給出的整體報(bào)價(jià)為元，（1）當(dāng)寬度為8米時(shí)，方案二的報(bào)價(jià)為29700元，求的值；（2）求的函數(shù)解析式，并求報(bào)價(jià)的最小值；（3）若對(duì)任意的時(shí)，方案二都比方案一省錢，求的取值范圍.【答案】（1）18（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義