/2025年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意．每小題3分，共18分）1．（3分）如圖，點A表示的數(shù)是1．若將點A向左移動3個單位長度得到點A′，則點A′表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．42．（3分）一個正方體的展開圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對面上的字為（）A．我 B．中 C．國 D．夢3．（3分）計算（2a2）3的結(jié)果為（）A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a64．（3分）不等式x﹣3＞2的解集為（）A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣15．（3分）如圖，風(fēng)力發(fā)電機的葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為（）A．90° B．120° C．150° D．180°6．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N；（2）以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N′；再以點N′為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點M′；（3）過點M′畫射線CM′交邊AB于點D．下列結(jié)論錯誤的為（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC二、填空題（每小題3分，共15分）7．（3分）因式分解：a2﹣ab＝．8．（3分）計算：3+129．（3分）《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問車幾何？其譯文為：有若干人乘車，若每3人同乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無車可乘而步行．問有多少輛車？為解決此問題，設(shè)共有x輛車，可列方程為．10．（3分）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則∠F的大小為度．11．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為．（結(jié)果保留三、解答題（本題共11小題，共87分）12．（6分）先化簡，再求值：aa?1?13．（6分）在“健康中國2030”與“體重管理年”的行動引領(lǐng)下，某校田徑社團開展了“2025健康長跑”活動．由于參加的人數(shù)較多，場地空間有限，活動將分A，B，C三組進行，每人只能被隨機分配到其中一組，分組工作由計算機軟件完成．請用畫樹狀圖或列表的方法，求參與者小剛和小利被分配到同一組的概率．14．（6分）吉林省長白山盛產(chǎn)人參、為促進我省特色經(jīng)濟的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價分別為每盒25元和20元．某游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元．求該游客購買甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．15．（7分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求證：△ABE≌△DCF．（2）當AB＝12，DF＝13時，求BE的長．16．（7分）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．△ABC內(nèi)接于⊙O，且點A，B，C，O均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（1）在圖①中找一個格點D（點D不與點C重合）；畫出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在圖②中找一個格點E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．17．（7分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為（150±9）克時，其質(zhì)量等級為合格；粽子質(zhì)量為（150±3）克時，其質(zhì)量等級為優(yōu)秀．共有甲、乙兩個小組參加比賽，他們在相同時間內(nèi)分別包了220個和200個粽子，質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個參賽小組所包粽子中各隨機抽檢10個，分別對它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：被抽檢粽子的質(zhì)量（單位：克）分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個數(shù)據(jù)缺失，通過計算說明缺失數(shù)據(jù)對應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級是否為優(yōu)秀？（2）此次比賽規(guī)定：相同時間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級為優(yōu)秀的個數(shù)較多的小組獲得獎勵．估計甲、乙兩個參賽小組哪組能獲得獎勵，并說明理由．18．（8分）綜合與實踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹人中學(xué)的3D打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數(shù)據(jù)．項目報告表時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3D打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺灰?實施任務(wù)一測量數(shù)據(jù)以下是測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高CD＝1.4m．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角∠ACE＝61°．3．測出測角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB＝42m．任務(wù)二計算實際高度根據(jù)上述測得的數(shù)據(jù)，計算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結(jié)果精項到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打即模型的高度約為cm．（結(jié)果精確到1cm）項目結(jié)果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)請結(jié)合上表中的測量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團完成任務(wù)二和任務(wù)三．19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．動點P從點A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個單位長度的速度向終點C勻速運動．當點P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點D和點B始終在邊AC同側(cè)．設(shè)點P的運動時間為x（s）（x＞0），正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．（1）AC的長為．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出可變量x的取值范圍．（3）當正方形APDE的對稱中心與點B重合時，直接寫出x的值．20．（10分）【知識鏈接】實驗?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實驗過程：如圖①，在兩個完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測力計A、B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過觀察彈簧測力計示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計）實驗結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當小鋁塊位于液面上方時，F(xiàn)拉力＝G重力；當小鋁塊浸入液面后，F(xiàn)拉力＝G重力﹣F浮力．【建立模型】在實驗探究的過程中，實驗小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測力計A，B各自的示數(shù)F拉力（N）與小鋁塊各自下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問題】（1）當小鋁塊下降10cm時，直接寫出彈簧測力計A和彈簧測力計B的示數(shù)．（2）當6≤x≤10時，求彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式．（3）當彈簧測力計A懸掛的小鋁塊下降8cm時，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為m（N），若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為m（N），則乙液體中小鋁塊浸入的深度為n（cm），直接寫出m，n的值．21．（10分）【問題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個內(nèi)角為60°的平行四邊形的折疊問題．其探究過程如下：【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E為邊AD的中點，點F在邊DC上，且DF＝DE，連接EF，將△DEF沿EF翻折得到△GEF，點D的對稱點為點G．小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形DEGF是一個特殊的四邊形，請判斷該四邊形的形狀，不需要說明理由．【探究證明】取圖①中的邊BC的中點M，點N在邊AB上，且BN＝BM，連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△HMN，點B的對稱點為點H，連接FH，GN，如圖②，求證：四邊形GFHN是平行四邊形．【探究提升】在圖②中，四邊形GFHN能否成為軸對稱圖形．如果能，直接寫出ADAB22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝x2+bx﹣1經(jīng)過點（2，﹣1）．點P在此拋物線上．其橫坐標為m；連接PO并延長至點Q，使OQ＝2PO．當點P不在坐標軸上時，過點P作x軸的垂線，過點Q作y軸的垂線，這兩條垂線交于點M．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式．（2）△PQM被y軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變，如果不變，直接寫出這個面積比；如果變化，說明理由．（3）當△PQM的邊MQ經(jīng)過此拋物線的最低點時，求點Q的坐標．（4）當此拋物線在△PQM內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．

2025年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案BCDABD一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意．每小題3分，共18分）1．（3分）如圖，點A表示的數(shù)是1．若將點A向左移動3個單位長度得到點A′，則點A′表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．4【分析】根據(jù)左減右加列式進行計算即可求解．【解答】解：點A′表示的數(shù)為1﹣3＝﹣2．故選：B．【點評】此題考查了數(shù)軸，本題考查了數(shù)軸，熟記數(shù)軸上的數(shù)的移動，左減右加是解題的關(guān)鍵．2．（3分）一個正方體的展開圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對面上的字為（）A．我 B．中 C．國 D．夢【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【解答】解：根據(jù)正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“國”與“的”是對面，故選：C．【點評】本題考查正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的特征是正確解答的關(guān)鍵．3．（3分）計算（2a2）3的結(jié)果為（）A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方的計算方法進行計算即可．【解答】解：（2a2）3＝23?（a2）3＝8a6．故選：D．【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．4．（3分）不等式x﹣3＞2的解集為（）A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【分析】移項、合并同類項即可得出答案．【解答】解：∵x﹣3＞2，∴移項得：x＞2+3，合并同類項得：x＞5，故選：A．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．5．（3分）如圖，風(fēng)力發(fā)電機的葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為（）A．90° B．120° C．150° D．180°【分析】先求出正三角形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：360°÷3＝120°，圖中的三個葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為120°．故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，掌握正三角形的中心角是關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N；（2）以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N′；再以點N′為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點M′；（3）過點M′畫射線CM′交邊AB于點D．下列結(jié)論錯誤的為（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC【分析】判斷出選項A，B，C正確可得結(jié)論．【解答】解：由作圖可知∠B＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∠BDC＝90°，故選項A，B，C正確．故選：D．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．二、填空題（每小題3分，共15分）7．（3分）因式分解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【分析】直接提公因式a即可．【解答】解：原式＝a（a﹣b），故答案為：a（a﹣b）．【點評】本題考查提公因式法分解因式，掌握提公因式法是正確解答的關(guān)鍵．8．（3分）計算：3+12=【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【解答】解：3+故答案為：33【點評】本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．9．（3分）《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問車幾何？其譯文為：有若干人乘車，若每3人同乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無車可乘而步行．問有多少輛車？為解決此問題，設(shè)共有x輛車，可列方程為3（x﹣2）＝2x+9．【分析】根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：3（x﹣2）＝2x+9．故答案為：3（x﹣2）＝2x+9．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則∠F的大小為36度．【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC＝∠BCD=(5?2)×180°5=108°，然后再根據(jù)鄰補角性質(zhì)，可得：∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，即可求出∠FBC，∠BCF【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝∠BCD=(5?2)×180°∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣72°﹣72°＝108°﹣72°＝36°．故答案為：36．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，鄰補角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和公式，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為π3【分析】根據(jù)題意得到AC＝BD＝1，則A點的縱坐標為1，代入解析式求得A的坐標，進而求得∠OAC＝60°，利用扇形的面積公式即可求得兩個象限中扇形的面積，進一步求得陰影部分圖形的面積和．【解答】解：當⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，∴AC⊥x軸，BD⊥x軸，∵半徑為1，∴AC＝BD＝1，∴A點的縱坐標為1，把y＝1代入y=3x，求得x∴A（3，1），∴OC=3，AC∴tan∠OAC=OC∴∠OAC＝60°，∴第一象限中陰影的面積S1=60同理，第一象限中陰影的面積S2=π∴S陰影=π故答案為：π3【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的問題，考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解直角三角形，扇形的面積，求得∠OAC＝60°是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共11小題，共87分）12．（6分）先化簡，再求值：aa?1?【分析】先將分子因式分解，再約分即可化簡原式，繼而將a的值代入計算即可．【解答】解：原式=aa＝a+1，當a＝2025時，原式＝a+1＝2025+1＝2026．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．13．（6分）在“健康中國2030”與“體重管理年”的行動引領(lǐng)下，某校田徑社團開展了“2025健康長跑”活動．由于參加的人數(shù)較多，場地空間有限，活動將分A，B，C三組進行，每人只能被隨機分配到其中一組，分組工作由計算機軟件完成．請用畫樹狀圖或列表的方法，求參與者小剛和小利被分配到同一組的概率．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小剛和小利被分配到同一組的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小剛和小利被分配到同一組的結(jié)果有3種，∴小剛和小利被分配到同一組的概率是39【點評】此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（6分）吉林省長白山盛產(chǎn)人參、為促進我省特色經(jīng)濟的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價分別為每盒25元和20元．某游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元．求該游客購買甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．【分析】設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，根據(jù)游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元列方程組即可解得答案．【解答】解：設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，根據(jù)題意得：x+解得x=6答：游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品6盒．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組．15．（7分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求證：△ABE≌△DCF．（2）當AB＝12，DF＝13時，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，然后利用ASA即可證明△ABE≌△DCF；（2）由（1）△ABE≌△DCF，得AE＝DF＝13，根據(jù)勾股定理即可求出BE的長．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABE和△DCF中，∠BAE∴△ABE≌△DCF（ASA）；（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13，∵AB＝12，∴BE=A【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（7分）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．△ABC內(nèi)接于⊙O，且點A，B，C，O均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（1）在圖①中找一個格點D（點D不與點C重合）；畫出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在圖②中找一個格點E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．【分析】（1）利用圓周角定理作出圖形；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)作出圖形．【解答】解：（1）如圖①中，點D即為所求（答案不唯一）；（2）如圖②中，點E即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查作圖﹣一一與設(shè)計作圖，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．17．（7分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為（150±9）克時，其質(zhì)量等級為合格；粽子質(zhì)量為（150±3）克時，其質(zhì)量等級為優(yōu)秀．共有甲、乙兩個小組參加比賽，他們在相同時間內(nèi)分別包了220個和200個粽子，質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個參賽小組所包粽子中各隨機抽檢10個，分別對它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：被抽檢粽子的質(zhì)量（單位：克）分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個數(shù)據(jù)缺失，通過計算說明缺失數(shù)據(jù)對應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級是否為優(yōu)秀？（2）此次比賽規(guī)定：相同時間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級為優(yōu)秀的個數(shù)較多的小組獲得獎勵．估計甲、乙兩個參賽小組哪組能獲得獎勵，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可；（2）利用樣本估計總體求出甲、乙小組優(yōu)秀等級的個數(shù)即可．【解答】解：（1）因為乙組質(zhì)量的眾數(shù)為147，所以缺失的數(shù)據(jù)為147，且147＝150﹣3，質(zhì)量登記為優(yōu)秀；（2）乙參賽小組能獲得獎勵，理由如下：甲組優(yōu)秀個數(shù)約為220×6乙組優(yōu)秀個數(shù)約為200×7所以乙參賽小組能獲得獎勵．【點評】本題主要考查眾數(shù)、樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義，并利用樣本估計總體求出兩個小組優(yōu)秀等級個數(shù)．18．（8分）綜合與實踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹人中學(xué)的3D打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數(shù)據(jù)．項目報告表時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3D打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺灰?實施任務(wù)一測量數(shù)據(jù)以下是測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高CD＝1.4m．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角∠ACE＝61°．3．測出測角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB＝42m．任務(wù)二計算實際高度根據(jù)上述測得的數(shù)據(jù)，計算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結(jié)果精項到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打即模型的高度約為19cm．（結(jié)果精確到1cm）項目結(jié)果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)請結(jié)合上表中的測量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團完成任務(wù)二和任務(wù)三．【分析】任務(wù)一，在Rt△AEC中利用三角函數(shù)求出AE長，結(jié)合測角儀的高度，得到結(jié)果；任務(wù)二，利用所給的比例對計算出的結(jié)果進行換算即可．【解答】解：任務(wù)二，計算實際高度，∵依題意，四邊形EBDC為矩形，∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，∴AE＝CE?tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），答：該城市規(guī)劃展覽館AB的高度約為77m；任務(wù)三，換算模型高度，設(shè)3D打即模型的高度為xm，∵x：77＝1：400，解得x＝0.1925，∴3D打即模型的高度為0.1925m，∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，∴3D打即模型的高度約為19cm，故答案為：19．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．動點P從點A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個單位長度的速度向終點C勻速運動．當點P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點D和點B始終在邊AC同側(cè)．設(shè)點P的運動時間為x（s）（x＞0），正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．（1）AC的長為7．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出可變量x的取值范圍．（3）當正方形APDE的對稱中心與點B重合時，直接寫出x的值．【分析】（1）當B，D重合時，通過勾股定理分別求出AP，CP即可求解；（2）將正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積分割成一個三角形的面積和直角梯形的面積之和來求解即可；（3）根據(jù)正方形APDE的對稱中心與點B重合時，得出AD=2【解答】解：（1）當B，D重合時，如下圖：∵∠BAC＝45°，以AP為邊作正方形APDE，∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，AB2=A解得：AP＝3（負的舍去），∵BC＝5，∠DPC＝90°，∴PC=∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，故答案為：7；（2）當D在線段AB上運動時，y=12當D在線段AB的延長線上運動時，即點P在線段PC上運動，如下圖：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，∵FP′BP，∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，∴△CFP∽△CBP，∴CP′∴7?x解得：FP′=∴y＝S△APD+S梯形PP′FB=12x2+3+21?3x42×（x﹣3）∴y=（3）當正方形APDE的對稱中心與點B重合時，∴AD=2∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，即2AP2＝72，解得：AP＝6，∴x＝6．【點評】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形問題，正方形的性質(zhì)、三角形相似、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解．20．（10分）【知識鏈接】實驗?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實驗過程：如圖①，在兩個完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測力計A、B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過觀察彈簧測力計示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計）實驗結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當小鋁塊位于液面上方時，F(xiàn)拉力＝G重力；當小鋁塊浸入液面后，F(xiàn)拉力＝G重力﹣F浮力．【建立模型】在實驗探究的過程中，實驗小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測力計A，B各自的示數(shù)F拉力（N）與小鋁塊各自下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問題】（1）當小鋁塊下降10cm時，直接寫出彈簧測力計A和彈簧測力計B的示數(shù)．（2）當6≤x≤10時，求彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式．（3）當彈簧測力計A懸掛的小鋁塊下降8cm時，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為m（N），若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為m（N），則乙液體中小鋁塊浸入的深度為n（cm），直接寫出m，n的值．【分析】（1）觀察圖象即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可；（3）當x＝8時，求出彈簧測力計A的示數(shù)F拉力，根據(jù)F拉力＝G重力﹣F浮力求出m的值；利用待定系數(shù)法求出當6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出對應(yīng)x的值并再減去6cm，即n的值．【解答】解：（1）當小鋁塊下降10cm時，彈簧測力計A的示數(shù)為2.8N，彈簧測力計B的示數(shù)為2.5N．（2）當6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0），將坐標（6，4）和（10，2.8）分別代入F拉力＝kx+b，得6k解得k=?0.3∴當6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．（3）根據(jù)圖象，圓柱體小鋁塊所受重力為4N，當x＝8時，F(xiàn)拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，4﹣3.4＝0.6（N），∴m＝0.6，當6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝k1x+b1（k1、b1為常數(shù)，且k1≠0），將坐標（6，4）和（10，2.5）分別代入為F拉力＝k1x+b1，得6k解得k1∴當6≤x≤10時，設(shè)彈簧測力計B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），當﹣0.375x+6.25＝3.4時，解得x＝7.6，7.6﹣6＝1.6（cm），∴n＝1.6．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．21．（10分）【問題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個內(nèi)角為60°的平行四邊形的折疊問題．其探究過程如下：【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E為邊AD的中點，點F在邊DC上，且DF＝DE，連接EF，將△DEF沿EF翻折得到△GEF，點D的對稱點為點G．小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形DEGF是一個特殊的四邊形，請判斷該四邊形的形狀，不需要說明理由．【探究證明】取圖①中的邊BC的中點M，點N在邊AB上，且BN＝BM，連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△HMN，點B的對稱點為點H，連接FH，GN，如圖②，求證：四邊形GFHN是平行四邊形．【探究提升】在圖②中，四邊形GFHN能否成為軸對稱圖形．如果能，直接寫出ADAB【分析】【探究發(fā)現(xiàn)】由將△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE＝GE，DF＝GF，而DF＝DE，故GE＝DE＝DF＝GF，從而四邊形DEGF是菱形；【探究證明】同【探究發(fā)現(xiàn)】可知四邊形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E為邊AD的中點，M為邊BC的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，即可得DE＝BM，AD∥NH，又DE＝FG，F(xiàn)G∥AD，故FG＝DE＝BM＝HN，F(xiàn)G∥NH，從而四邊形GFHN是平行四邊形；【探究提升】若四邊形GFHN為軸對稱圖形，則四邊形GFHN是矩形或菱形，當四邊形GFHN是矩形時，過G作GK⊥AB于K，過E作ET⊥AB于T，設(shè)AT＝x，則AE＝2x，可得AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，求出AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，即可得ADAB=12；當四邊形GFHN是菱形時，延長FG交AB于W，設(shè)AD＝y(tǒng)，求出AB=【解答】【探究發(fā)現(xiàn)】解：四邊形DEGF是菱形，理由如下：∵將△DEF沿EF翻折得到△GEF，∴DE＝GE，DF＝GF，∵DF＝DE，∴GE＝DE＝DF＝GF，∴四邊形DEGF是菱形；【探究證明】證明：如圖：∵將△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN＝HN，BM＝HM，∵BN＝BM，∴HN＝BN＝BM＝HM，∴四邊形BMHN是菱形，∴NH∥BC，∵E為邊AD的中點，M為邊BC的中點，∴DE=12AD，BM=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BM，AD∥NH，∵四邊形DEGF是菱形，∴DE＝FG，F(xiàn)G∥AD，∴FG＝DE＝BM＝HN，F(xiàn)G∥NH，∴四邊形GFHN是平行四邊形；【探究提升】解：四邊形GFHN能成為軸對稱圖形，理由如下：由【探究證明】知，四邊形GFHN是平行四邊形，若四邊形GFHN為軸對稱圖形，則四邊形GFHN是矩形或菱形，當四邊形GFHN是矩形時，過G作GK⊥AB于K，過E作ET⊥AB于T，如圖：∵∠A＝60°，∴∠AET＝30°，∴AT=12設(shè)AT＝x，則AE＝2x，∴ET=AE2?∵E為AD中點，∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，∵四邊形DEGF是菱形，∴EG＝DE＝2x＝TK，∵四邊形GFHN是矩形，∴∠GNH＝90°，∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴KN=3GK=3×3∵BN＝BM=12BC=12∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，∴ADAB當四邊形GFHN是菱形時，延長FG交AB于W，如圖：設(shè)AD＝y(tǒng)，則DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NH=12∵四邊形GFHN是菱形，∴GF＝FH＝NH＝GN=12∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，∴四邊形AEGW是平行四邊形，∠GWN＝∠A＝60°，∴AW＝EG=12y，GW