第七章§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積分值：100分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.下面關(guān)于空間幾何體敘述不正確的是()A.正四棱柱都是長方體B.在圓柱的上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線C.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐D.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱2.已知某幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8π3C.10π33.已知一個直四棱柱的高為4，其底面ABCD水平放置的直觀圖(由斜二測畫法得到)是邊長為2的正方形，則這個直四棱柱的表面積為()A.40 B.32+162C.64+162 D.64+1634.(2025·新鄉(xiāng)模擬)已知某圓錐的軸截面是頂角為α的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為β的扇形，若β=3α，則β等于()A.π3 B.π2 C.5.魔方，又叫魯比克方塊，最早是由厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具.魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久不衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個三階魔方，由27個單位正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了45°，則該魔方的表面積是()A.54 B.108362C.162722 D.811826.多面體的歐拉定理：簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足V+FE=2的數(shù)學(xué)關(guān)系.請運用歐拉定理解決問題：碳60(C60)具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖所示.碳60(C60)的分子結(jié)構(gòu)是一個由正五邊形面和正六邊形面共32個面構(gòu)成的凸多面體，60個碳原子處于多面體的60個頂點位置，則32個面中正六邊形面的個數(shù)是()A.22 B.20C.18 D.16二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2023·新高考全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角PACO為45°，則()A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43πC.AC=22 D.△PAC的面積為38.(2025·喀什模擬)如圖是圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2，下列說法正確的是(A.線段AC=23B.該圓臺的表面積為11πC.該圓臺的體積為73πD.沿著該圓臺的表面從點C到AD中點的最短距離為5三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2023·新高考全國Ⅰ)在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，則該棱臺的體積為.10.如圖1中的機械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3，若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點之間的距離為20，則其側(cè)面積為.四、解答題(共27分)11.(13分)如圖，AB是圓柱的底面直徑，AP是圓柱的母線且AB=AP=4，點C是圓柱底面圓周上的點.(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；(5分)(2)若AC=2，D是PB的中點，點E在線段AP上，求CE+DE的最小值.(8分)12.(14分)如圖，矩形O'A'B'C'是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O'A'=3，O'C'=1.(1)求平面四邊形OABC的面積；(4分)(2)若四邊形OABC以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.(10分)13題6分，14~16題每小題5分，共21分13.(多選)中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇環(huán)所對的圓心角為π2，弧AD的長度是弧BC長度的3倍，CD=2，則下列說法正確的是(A.弧AD的長度為3πB.曲池的體積為10πC.曲池的表面積為20+14πD.三棱錐ACC1D的體積為514.如圖所示，在邊長為522+1的正方形鐵皮上剪下一個最大的扇形和一個圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為(A.13 B.15C.17 D.1915.(2024·重慶模擬)如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦型曲線.若該段正弦型曲線是函數(shù)y＝3sinωx(ω>0)圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為32，則ω的值為(A.32 B.1 C.3 D.16.如圖(1)所示，已知點B在拋物線y＝x2上，過B作BA⊥x軸于點A，且OA＝a.將曲邊三角形OAB如圖(2)所示放置，并將曲邊三角形OAB沿平面OAB的垂線方向平移一個單位長度(即AA1＝1)，得到相應(yīng)的幾何體OAB－O1A1B1.取一個底面面積為a2，高為a的正四棱錐S－MNPQ放在平面ABB1A1上，如圖(3)所示，這時，平面OO1S∥平面ABB1A1，現(xiàn)用平行于平面ABB1A1的任意一個平面去截這兩個幾何體，截面分別為矩形CDEF，四邊形M1N1P1Q1，截面與平面OO1S的距離為x0(0<x0<a)，試用祖暅原理求曲邊三角形OAB的面積為.

答案精析1.C2.B[由題圖可知，此幾何體為從底面半徑為1，高為4的圓柱的母線的中點處截去了圓柱的14后剩余的部分，所以所求幾何體的體積V=π×12×414×π×12×4=3π3.C[由于直觀圖是正方形，所以四邊形ABCD是兩鄰邊分別為2與6，高為42的平行四邊形，其周長是2+6+2+6=16，面積是2×42=82，所以直四棱柱的表面積是16×4+82×2=64+162.4.D[設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑r=lsinα2，因為側(cè)面展開圖的扇形弧長即圓錐底面的周長，所以lβ=2πl(wèi)sinα2，因為0<β<2π，β=3α，則0<α<2π故0<α2<所以β關(guān)于α單調(diào)遞增，驗證選項可知當(dāng)α=π3時，β=π=3α符合題意.5.C[如圖，中間一層轉(zhuǎn)動了45°后，此時的魔方相對原來正方體的魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)直角邊為x，則斜邊為2x，故(2+2)x=3，可得x=33由幾何關(guān)系得陰影部分的面積S=12×3-所以所求面積S'=6×3×3+16×274-9226.B[由題意可知V=60，F(xiàn)=32，由V+FE=2可得E=90，設(shè)正五邊形面的個數(shù)為x，正六邊形面的個數(shù)為y，則x+y=32，因為一條棱連著兩個面，所以足球烯表面的棱數(shù)E=12(5x+6y)=90聯(lián)立1解得x即32個面中正六邊形面的個數(shù)是20.]7.AC[依題意，∠APB=120°，PA=2，所以O(shè)P=1，OA=OB=3.A項，圓錐的體積為13×π×(3)2×1=π，故AB項，圓錐的側(cè)面積為π×3×2=23π，故B錯誤；C項，取AC的中點D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角PACO的平面角，則∠PDO=45°，所以O(shè)P=OD=1，故AD=CD=3-1=2則AC=22，故CD項，PD=12+所以S△PAC=12×22×2=2，故D8.ABD[顯然四邊形ABCD是等腰梯形，AB=AD=BC=2，CD=4，其高即為圓臺的高h=A=3.對于A，在等腰梯形ABCD中，AC=h2+CD-對于B，圓臺的表面積S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π，B正確；對于C，圓臺的體積V=13π(12+1×2+22)×3=733π對于D，將圓臺一半側(cè)面展開，如圖中扇環(huán)ABCD所示，且E為AD中點，而圓臺對應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形COD且易知OC=4，又∠COD=2π4=π2，在Rt△COE中，CE=42+32=5，斜邊CE上的高為OC·OECE=125>2，即CE與弧AB相離，所以點C9.7解析如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCDA1B1C1D1的高，因為AB=2，A1B1=1，AA1=2則A1O1=12A1C1=12×2A1AO=12AC=12×故AM=AOA1O1=2則A1M=A=2-12所以所求棱臺體積為V=13×(4+1+4×1)×62=10.200π解析由題意得底面是由三段以20為半徑，π3所以底面周長為3×π3×20=20π又曲側(cè)面三棱柱的高為10，所以曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為20π×10=200π.11.解(1)由題知，底面半徑為2，母線長為4，所以圓柱的側(cè)面積S=2π×2×4=16π，圓柱的體積V=π×22×4=16π.(2)記底面圓心為O，連接OC，因為底面半徑為2，AC=2，以AP所在直線為軸，將△APC旋轉(zhuǎn)到△APC'，使得△APC'和軸截面PAB共面，如圖，則OC'=2+2=4，OD=2，當(dāng)C'，E，D三點共線時，CE+DE取得最小值42+212.解(1)因為S原圖形=22S直觀圖，所以S平面四邊形OABC=22S直觀圖=62.(2)平面四邊形OABC如圖所示，在Rt△ODC中，有OC2=OD2+CD2=(22)2+12=9，所以O(shè)C=3，所以AB=3.如圖，分別過點B，C作AO及其延長線的垂線，垂足為E，F(xiàn).矩形FEBC繞AO及其延長線旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r=OD=22，母線l1=BC=3Rt△BEA繞AO旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r=OD=22，母線l2=AB=3，高h1=AE=1Rt△CFO繞AO及其延長線旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑r=OD=22，母線l3=OC=3，高h2=OF=CD=1的圓錐所以旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐，再加上一個同底的圓錐構(gòu)成的組合體.則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，再加上組合的圓錐的體積，所以旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積V=πr2l113πr2h2+13πr2h1=π×(22)2×313π×(22)2旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即圓柱的側(cè)面積加上兩個圓錐的側(cè)面積，所以S=2πrl1+πrl2+πrl3=2π×22×3+π×22×3+π×22×3=242π.13.ACD[設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，因為弧AD的長度是弧BC長度的3倍，所以π2R=3×π2r，即R=3所以CD=Rr=2r=2，所以r=1，R=3，所以弧AD的長度為3π2，故曲池的體積為V=14πR2-14πr2×曲池的表面積為14πR2-14πr2×2+12πR+12三棱錐ACC1D的體積為13×12×2×5×3=5，故14.B[如圖1，過☉F的圓心F作FE⊥AD于E，F(xiàn)G⊥CD于G，則四邊形EFGD為正方形，設(shè)☉F的半徑為r，扇形半徑為R，則FD=2r，☉F的周長為2πr，扇形弧長為π∵剪下一個最大的扇形和圓恰好圍成一個圓錐，∴πR2=2πr，解得R=4即BH=4r，∴BD=BH+HF+FD=4r+r+2r=(5+2)r，∵正方形鐵皮邊長為522∴BD=2×5∴(5+2)r=5+2∴r=1，在圖2中，EF=1，BE=4，由勾股定理得，圓錐的高BF=BE2-EF215.B[由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)y＝3sinωx(ω>0)圖象的一部分，可得AB＝23.設(shè)圓柱底面半徑為r，則T＝2πω＝2πr所以ω＝1r設(shè)橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，因為離心率為32，得e＝c則a2＝b2＋c2＝b2＋32即a2＝4b2，所以ba＝2rAC＝又由勾股定理得AC2－BC2＝16r2－4r2＝(23)2，解得r＝1，故ω＝16.Ba解析依題意，在圖(2)中，當(dāng)OC＝x0時，CD＝x02，而CF＝AA1＝則S矩形CDEF＝CD·CF＝x0在正四棱錐S－MNPQ中，截面四邊形M1N1P