第十二章分式和分式方程12.5分式方程的應用

分式方程的應用1.【新考向·數(shù)學文化】(2022湖北襄陽中考)《九章算術(shù)》中

有一道關(guān)于古代驛站送信的題目,其白話譯文為:一份文件,若

用慢馬送到900里遠的城市,所需時間比規(guī)定時間多1天;若改

為快馬派送,則所需時間比規(guī)定時間少3天,已知快馬的速度是

慢馬的2倍,求規(guī)定時間.設規(guī)定時間為x天,則可列出正確的方

程為()

B

A.

=2×

B.

=2×

C.

=2×

D.

=2×

解析根據(jù)快、慢馬送到所需時間與規(guī)定時間之間的關(guān)系,

可得出慢馬送到所需時間為(x+1)天,快馬送到所需時間為(x-

3)天,再利用速度=路程÷時間,結(jié)合快馬的速度是慢馬的2倍,

即可得出關(guān)于x的分式方程,為

=2×

.故選B.2.(2024黑龍江綏化中考)一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,

它以該航速沿江順流航行120km所用時間,與以該航速沿江

逆流航行80km所用時間相等,則江水的流速為

()A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

D

解析設江水的流速為xkm/h,則該貨輪沿江順流航行的速度

為(40+x)km/h,沿江逆流航行的速度為(40-x)km/h,根據(jù)題意得

=

,解得x=8,經(jīng)檢驗,x=8是原分式方程的根,且符合題意,∴江水的流速為8km/h.故選D.3.【新考向·數(shù)學文化】(2025北京懷柔期末)我國明代《永樂

大典》記載“綾羅尺價”問題:“今有綾、羅共三丈,各值錢

八百九十六文,只綾、羅各一尺共值錢一百二十文.問綾、羅

尺價各幾何?”其大意為“現(xiàn)在有綾布和羅布長共3丈(1丈=10尺),已知綾布和羅布分別出售均能收入896文,每尺綾布和每

尺羅布一共需要120文.問綾布有多少尺,羅布有多少尺?”設

綾布有x尺,則可列方程為_______________.+?=120解析綾布有x尺,則羅布有3×10-x=(30-x)尺,由題意得

+

=120,故答案為

+

=120.4.(2024山東威海中考)某公司為節(jié)能環(huán)保,安裝了一批A型節(jié)

能燈,一年用電16000千瓦時.后購進一批相同數(shù)量的B型節(jié)能

燈,一年用電9600千瓦時.一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一

盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦時.求一盞A型節(jié)能

燈每年的用電量.解析設一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦時,則一盞A

型節(jié)能燈每年的用電量為(2x-32)千瓦時,根據(jù)題意得

=

,解得x=96,經(jīng)檢驗,x=96是所列方程的解,且符合題意,∴2x-32=2×96-32=160(千瓦時).答:一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦時.5.(2024重慶中考B卷)某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務,選派甲、乙兩人分別用A,B兩種

外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據(jù)測算需要A,B兩種外墻漆

各300千克,購買外墻漆的總費用為15000元,已知A種外墻漆

每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元.(1)A,B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元?(2)已知乙每小時粉刷外墻的面積是甲每小時粉刷外墻面積

的

,乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時.那么甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米?解析

(1)設A種外墻漆每千克的價格為x元,則B種外墻漆每

千克的價格為(x-2)元,根據(jù)題意,得300x+300(x-2)=15000,解得x=26,∴x-2=24.答:A種外墻漆每千克的價格為26元,B種外墻漆每千克的價格

為24元.(2)設甲每小時粉刷外墻的面積為y平方米,則乙每小時粉刷外

墻的面積是

y平方米.由題意得

-5=

,解得y=25,經(jīng)檢驗,y=25是原方程的根,且符合題意.答:甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

6.【新課標·中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】(2024內(nèi)蒙古呼和浩特中考改編,★★☆)2024年春晚吉祥物“龍辰辰”以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名.某廠家生產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰”,大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元,且用2400元購進小號“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購進大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍,則大號“龍辰辰”的單價為______元.55解析設小號“龍辰辰”的單價為x元,則大號“龍辰辰”的

單價為(x+15)元,根據(jù)題意得,

=1.5×

,解得x=40,經(jīng)檢驗,x=40是原方程的解,且符合題意,所以x+15=55,即大號“龍辰辰”的單價為55元.7.(2024四川雅安中考,

)某市為治理污水,保護環(huán)境,需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道,為了減少施工對城市交通所造成的影響,實際施工時每天的工效比原計劃增加25%,結(jié)果提前15天完成鋪設任務.(1)求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米.(2)負責該工程的施工單位,按原計劃對工人的工資進行了初

步的預算,工人每天人均工資為300元,所有工人的工資總金額

不超過18萬元.該公司原計劃最多安排多少名工人施工?解析

(1)設原計劃每天鋪設管道x米,則實際每天鋪設管道(1

+25%)x=1.25x米,根據(jù)題意得

+15=

,解得x=40,經(jīng)檢驗,x=40是分式方程的解,且符合題意,∴1.25x=50,則原計劃與實際每天鋪設的管道為40米與50米.(2)設該公司原計劃安排y名工人施工,根據(jù)題意得300×(3000÷40)y≤180000,解得y≤8,則該公司原計劃最多安排8名工人施工.8.(2025山東濟南模擬,

)為了促進學生加強體育鍛煉,某中學從去年開始,每周除體育課外,又開展了“足球俱樂部1小

時”活動,去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌

足球共花費2880元,B品牌足球共花費2400元,且購買A品牌

足球數(shù)量是B品牌足球數(shù)量的1.5倍,每個A品牌足球的售價比

每個B品牌足球的售價便宜12元.(1)求去年A品牌足球和B品牌足球的單價.(2)今年由于參加俱樂部的人數(shù)增加,需要從該店再購買A、B

兩品牌足球共50個,已知今年該店對每個足球的售價進行了調(diào)整,A品牌比去年降低了5%,B品牌比去年提高了10%,如果

今年購買A,B兩品牌足球的總費用不超過去年總費用的一半,

那么學校至少要購買多少個A品牌足球?解析

(1)設去年A品牌足球的單價為x元,則B品牌足球的單

價為(x+12)元,由題意得

=

×1.5,解得x=48.經(jīng)檢驗,x=48是原分式方程的解,且符合題意,∴x+12=60.答:A品牌足球的單價為48元,B品牌足球的單價為60元.(2)設學校要購買y個A品牌足球,則學校要購買(50-y)個B品牌

足球,由題意得48×(1-5%)y+60×(1+10%)(50-y)≤

×(2880+2400),解得y≥32

,∵y為整數(shù),∴y的最小值為33.答:學校至少要購買33個A品牌足球.

9.【新課標·模型觀念】(2024河北石家莊正定期中)為加快公

共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設施建設,某停車場計劃購買A,B兩種型號的

充電樁.已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元,且用12萬元購買A型充電樁的數(shù)量與用18萬元購買B型充電樁的數(shù)

量相等.(1)A,B兩種型號充電樁的單價各是多少?(2)該停車場計劃共購買20個A,B兩種型號的充電樁,購買總費

用不超過15萬元,且A型充電樁購買數(shù)量不超過12個.問:共有

哪幾種購買方案?哪種方案所需費用最少?解析

(1)設A型充電樁的單價為x萬元,則B型充電樁的單價

為(x+0.3)萬元,根據(jù)題意得

=

,解得x=0.6,經(jīng)檢驗,x=0.6是所列方程的解,且符合題意,∴x+0.3=0.6+0.3=0.9.答:A型充電樁的單價為0.6萬元,B型充電樁的單價為0.9萬元.(2)設購買A型充電樁m個,則購買B型充電樁(20-m)個,根據(jù)題意,得0.6m+0.9(20-m)≤