第十一節(jié)立體幾何中的創(chuàng)新性問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀

面對新情境、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已

知的立體幾何知識相結(jié)合.明確解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，

如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計算公式.在解題過程

中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡化問題.對于復(fù)雜

問題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計算和證明.同時，

要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對象.目錄CONTENTS考點(diǎn)·分類突破01.課時·跟蹤檢測02.PART01考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

定義新概念（師生共研過關(guān)）

（1）等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對棱分別相等.已

知一個長方體的體積為12，則由長方體的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的等腰四面體的體

積為（

）A.3B.4C.6D.8√

解析：

如圖所示，等腰四面體A-BCD的體積等于長方體體積減去四個三棱錐的體積.設(shè)長方體長、寬、高分別為a，b，c，則等腰四面體A-BCD

（2）（2025·上海普陀區(qū)測評）對于一個三維空間，如果一個平面與一個

球只有一個交點(diǎn)，則稱這個平面是這個球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)

系O-xyz中，球O的半徑為1，記平面xOy、平面zOx、平面yOz分別為

α，β，γ.

解題技法

解決定義新概念型問題的關(guān)鍵是把新概念理解透徹（如等腰四面體、

球切面等），再逐步轉(zhuǎn)化為用熟知的符號知識、方法表示解決.

本例（2）破障關(guān)鍵為理解α與λ0兩平面的位置特征及交線的位置特

征.將幾何特征用向量表示，確定在平面α上的直線方程，再確定該直線

在空間中的一個方向向量.定義新運(yùn)算（師生共研過關(guān)）

A.

若向量a＝（－1，3，－7）θ，向量b＝（3，－2，4）θ，則a＋b＝

（2，1，3）θ√√

解析：

對于A，若向量a＝（－1，3，－7）θ＝－e1＋3e2－

7e3，向量b＝（3，－2，4）θ＝3e1－2e2＋4e3，則a＋b＝2e1＋e2－3e3

1）＝0，故B正確；對于C，若向量a＝（x，y，0）θ＝xe1＋ye2，向量b

＝（1，2，0）θ＝e1＋2e2，當(dāng)x∶y＝1∶2時，y＝2x，則a＝（x，y，

0）θ＝xe1＋2xe2＝x（e1＋2e2）＝xb，此時a∥b，無法判斷θ的大小，

故C錯誤；

AB中點(diǎn)H，連接OH，HC，在等邊△OAB，△ABC中，易知OH⊥AB，

（2）設(shè)全體空間向量組成的集合為V，a＝（a1，a2，a3）為V中的一個

單位向量，建立一個“自變量”為向量，“因變量”也是向量的“向量函

數(shù)”f（x）：f（x）＝－x＋2（x·a）a（x∈V）.①設(shè)u＝（1，0，0），v＝（0，0，1），若f（u）＝v，求向量a；②對于V中的任意兩個向量x，y，證明：f（x）·f（y）＝x·y；③對于V中的任意單位向量x，求｜f（x）－x｜的最大值.

②證明：設(shè)x＝（a，b，c），y＝（m，n，t），a＝（a1，a2，

a3），則f（x）·f（y）＝[－x＋2（x·a）a]·[－y＋2（y·a）a]＝x·y－4

（y·a）（x·a）＋4（y·a）·（x·a）a2＝x·y－4（y·a）（x·a）＋4

（y·a）·（x·a）＝x·y，從而得證.

解題技法

定義新運(yùn)算問題一般先考查對運(yùn)算法則的理解，這時只需一一驗(yàn)證新

運(yùn)算滿足的條件.再考查滿足該新運(yùn)算后要解決什么問題.如本例（2），

滿足新運(yùn)算的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新背景下研究“舊”性質(zhì)，

此時需結(jié)合新運(yùn)算下新的數(shù)學(xué)表達(dá)式，依據(jù)熟知的運(yùn)算法則和定理進(jìn)行邏

輯推理與運(yùn)算，創(chuàng)造性地證明更新的結(jié)論成立.定義新性質(zhì)（師生共研過關(guān)）

（1）求cos∠A1AB的值；

解題技法用類比方法求解定義新性質(zhì)創(chuàng)新問題的三個切入角度（1）從兩個性質(zhì)的相似性和差異性上理解新性質(zhì)的準(zhǔn)確性；（2）從兩個性質(zhì)的內(nèi)涵、應(yīng)用環(huán)境上的差異刻畫新性質(zhì)的“全貌”（本

質(zhì)）；（3）從類比方法獲得啟示，從而應(yīng)用新性質(zhì)解決問題.定義新情境（師生共研過關(guān)）

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4√

≈692.5.故選C.

解題技法新情境創(chuàng)設(shè)的幾種常見類型（1）從情境的復(fù)雜程度出發(fā)，高考一般從學(xué)生的“熟悉情境、關(guān)聯(lián)情

境、綜合情境”三個層次命題；（2）從情境與學(xué)科知識的融合度上可分為“情境分離型”（去掉情境素

材，仍能完成學(xué)科任務(wù)）；“情境嵌入型”（此類題目中的情境與題目中

的學(xué)科任務(wù)相互融合，一些關(guān)鍵信息可直接從情境中獲取，但取消情境內(nèi)

容題目無法解決）；“情境結(jié)合型”（此類問題的考查內(nèi)容及知識點(diǎn)都需

要從情境中提取，如果對材料的理解不夠深入，沒有提取到其中蘊(yùn)含的信

息，沒有完成新信息與舊知識的轉(zhuǎn)化，問題就無從求解）.PART02課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

12345678910111213141516171819202022232425

√解析：

∵AB為定線段，∠BAP＝γ為定值，∴P在以AB為軸的圓錐

上運(yùn)動，其中圓錐的軸截面半頂角為γ，β與圓錐軸AB的夾角為φ，對于

A，φ＜γ，∴平面β截圓錐得雙曲線，故A錯誤；對于B，φ＞γ，∴平面

β截圓錐得橢圓，故B錯誤；對于C，φ＝γ，∴平面β截圓錐得拋物線，

故C錯誤；對于D，φ＞γ，∴平面β截圓錐得橢圓，故D正確；故選D.

2.

由空間一點(diǎn)O出發(fā)不共面的三條射線OA，OB，OC及相鄰兩射線所在

平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為O-ABC.

其中O叫做三面角的頂點(diǎn)，

面AOB，BOC，COA叫做三面角的面，∠AOB，∠BOC，∠AOC叫做

三面角的三個面角，分別記為α，β，γ，二面角A-OB-C、B-OA-C、

A-OC-B叫做三面角的二面角，設(shè)二面角A-OC-B的平面角大小為x，則

一定成立的是（

）√

A.

四棱柱ABCD-A1B1C1D1在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等√√

6.

設(shè)S是空間中n個不同的點(diǎn)構(gòu)成的集合，n≥4且n∈N*，其中任意四點(diǎn)

不在同一個平面上，dAB表示點(diǎn)A，B間的距離，記集合τ（S）＝{dAB｜

?A，B∈S，A≠B}.已知四面體ABCD滿足：AB⊥平面BCD，

BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1.（1）求二面角C-AD-B的余弦值；

（2）若S＝{A，B，C，D}，求τ（S）.

A.

三棱錐的直度的最大值為1C.

四棱錐的直度的最大值為1√√

8.

〔多選〕球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如

圖，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長記為a，

設(shè)Oa表示以O(shè)為圓心，且過B，C的圓，同理，圓Ob，Oc的劣弧AC，

AB的弧長分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，若a

＝b＝c，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面△ABC

圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面O-ABC.

設(shè)∠BOC＝α，

∠AOC＝β，∠AOB＝γ，則下列結(jié)論正確的是（

）B.

若a2＋b2＝c2，則α2＋β2＝γ2√√

①②

10.

（2025·1月八省聯(lián)考）在平面四邊形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1