BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

理想數(shù)字濾波器

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析若描述離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程為利用序列DTFT的位移特性，可得描述該系統(tǒng)的頻域描述離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejW)定義為離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(ejW)與脈沖響應(yīng)h[k]

的關(guān)系離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)虛指數(shù)信號(hào)ejWk通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(ejW)

的物理意義

頻率為W的虛指數(shù)信號(hào)ejWk

通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)仍為同頻率的虛指數(shù)信號(hào)，信號(hào)的改變由H(ejW)

確定。H(ejW)反映了離散LTI系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的傳輸特性離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)幅度響應(yīng)相位響應(yīng)若h[k]是實(shí)信號(hào)時(shí)，則

幅度響應(yīng)|H(ejW)|是W的偶函數(shù)，

相位響應(yīng)j(W)

是W的奇函數(shù)。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)余弦信號(hào)cos(W0k+q)通過系統(tǒng)的響應(yīng)

利用虛指數(shù)信號(hào)ejW0k響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的線性特性，可得離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)正弦類信號(hào)通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)，仍為同頻率的正弦類信號(hào)。輸出信號(hào)的幅度改變由|H(ejW0)|確定，相位改變由j(W0)確定。正弦類信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)【例】已知某穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejW)如圖所示，試求信號(hào)x[k]=1+3cos(0.5pk)+2cos(0.75pk)+cos(pk)通過該系統(tǒng)的響應(yīng)y[k]。解：=1=1=0=0.5解：【例】已知某穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejW)如圖所示，試求信號(hào)x[k]=1+3cos(0.5pk)+2cos(0.75pk)+cos(pk)通過該系統(tǒng)的響應(yīng)y[k]。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念系統(tǒng)頻率響應(yīng)的表示離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想數(shù)字濾波器

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析非周期序列通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系兩者實(shí)質(zhì)相同，只是表達(dá)信號(hào)的基本信號(hào)不同序列DTFT的時(shí)域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁非周期序列通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)例:

已知描述某穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

y[k]–0.75y[k-1]+0.125y[k-2]

=4x

[k]+3x[k-1]，輸入x[k]

=(0.75)ku[k]，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]。解：對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行DTFT可得根據(jù)離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義解：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]的頻譜函數(shù)Yzs

(ejW)為通過對(duì)Yzs

(ejW)進(jìn)行IDTFT，可得例:

已知描述某穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

y[k]–0.75y[k-1]+0.125y[k-2]

=4x

[k]+3x[k-1]，輸入x[k]

=(0.75)ku[k]，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]。解：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為【例】已知某穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為h[k]=(0.75)ku[k],當(dāng)輸入x[k]=cos(0.5pk)，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]。周期序列通過離散LTI系統(tǒng)的響應(yīng)【例】已知某離散LTI系統(tǒng)在[-p,p]上的頻率響應(yīng)H(ejW)如圖所示

解：當(dāng)系統(tǒng)輸入為，求系統(tǒng)的輸出y[k]。離散系統(tǒng)為低通濾波器，其截止頻率是3p/16，因此，只有直流和基波可以通過該低通濾波器。該離散周期序列的周期為16W0=2p/N=2p/16信號(hào)的基頻解：低通濾波器的截止頻率是3p/16，只有x[k]中直流和基波可通過系統(tǒng)?！纠恳阎畴x散LTI系統(tǒng)在[-p,p]上的頻率響應(yīng)H(ejW)如圖所示

當(dāng)系統(tǒng)輸入為，求系統(tǒng)的輸出y[k]。W0=2p/16

周期信號(hào)

非周期信號(hào)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析，可直觀地體現(xiàn)信號(hào)通過系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，其在分析信號(hào)的濾波和傳輸?shù)确矫娓忧逦?。離散系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法優(yōu)點(diǎn)：

可以清晰地分析信號(hào)通過系統(tǒng)后頻譜的改變，物理概念清楚。不足：

（1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，無法直接求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。（2）系統(tǒng)需為穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)，且激勵(lì)信號(hào)的Fourier變換存在。解決方法：采用z變換離散系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想數(shù)字濾波器

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

若輸入信號(hào)為x[k]，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號(hào)y[k]為K為正常數(shù)，n是輸入信號(hào)通過離散LTI系統(tǒng)后的延遲。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的基本概念無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的時(shí)域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的脈沖響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

若系統(tǒng)僅滿足幅度響應(yīng)|H(ejW

)|=K，稱為全通系統(tǒng)。若系統(tǒng)僅滿足相位響應(yīng)

(W)

=-W

n，稱為線性相位系統(tǒng)。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特性離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

理想數(shù)字濾波器

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析理想數(shù)字濾波器理想數(shù)字低通濾波器理想數(shù)字高通濾波器理想數(shù)字帶通濾波器理想數(shù)字帶阻濾波器理想數(shù)字濾波器理想低通濾波器的頻率響應(yīng)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)

理想數(shù)字低通濾波器是非因果系統(tǒng)。理想數(shù)字濾波器理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)低通濾波器的脈沖響應(yīng)(Wc=0.3p)理想高通濾波器的頻率響應(yīng)理想數(shù)字濾波器理想高通濾波器的頻率響應(yīng)理想數(shù)字濾波器理想高通濾波器的脈沖響應(yīng)高通濾波器的脈沖響應(yīng)(Wc=0.7p)理想帶通濾波器的頻率響應(yīng)理想數(shù)字濾波器理想帶通濾波器的頻率響應(yīng)理想數(shù)字濾波器理想帶通濾波器的脈沖響應(yīng)帶通濾波器的脈沖響應(yīng)(W2=0.7p，W1=0.3p)理想帶阻濾波器的頻率響應(yīng)理想數(shù)字濾波器理想帶阻濾波器的頻率響應(yīng)理想數(shù)字濾波器理想帶阻濾波器的脈沖響應(yīng)帶阻濾波器的脈沖響應(yīng)(W2=0.7p，W1=0.3p)理想數(shù)字濾波器實(shí)際低通數(shù)字濾波器

理想低通數(shù)字濾波器【例】若離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為