貴州省甕安中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)2+ia?i(其中a∈R，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則a+i的模為(

)A.52 B.55 C.2.若{a,b,A.2a?b，a+b?c，7a+5b+3c

B.2a+b，a+3.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A(?1,0,0)、B(0,0,1)、C(1,1,1)，則下列向量可以作為平面ABC的一個(gè)法向量的是(

)A.(?1,1,?1) B.(?1,1,1) C.(1,1,?1) D.(?1,?1,1)4.PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E為PB的中點(diǎn)，cos<DP，AE>=33A.(1,1,2) B.(2,2,1) C.(1,1,1) D.(1?,?1?,?5.已知a=(1,?32,52)，b=(?3,λ,?A.23 B.92 C.?96.如圖，在△ABC中，AN=NC，P是BN上的一點(diǎn)，BP=3PN，若AP=mAB+A.14

B.38

C.347.已知函數(shù)f(x)=(4?a)x?1(x<1)x2+2(a?1)x+1(x≥1)，對?x1，x2A.[1,3) B.[1,3] C.[1,+∞) D.[0,3)8.[2013·東城模擬]如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為(

)

A.AC⊥BD B.AC/?/截面PQMN

C.AC=BD D.異面直線PM與BD所成的角為45°二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是(

)A.已知a=(1,n)，b=(?1,n)，若2a?b與b垂直，則|a|=3

B.a=(2,k)，b=(k,2)，若a與b共線，則k=±2

C.若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA+GB+GC=0

D.平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2,1)，10.已知O，A，B，C為空間的四個(gè)點(diǎn)，則(

)A.若OA,OB,OC構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面

B.若{OA,OB,OC}是空間的一個(gè)基底，則{OA+OB,OA?OB,OC}也是空間的一個(gè)基底

C.若OA11.下列說法，正確的是(

)A.|a|?|b|=|a+b|是a，b共線的充要條件

B.若{a,b,c}為空間的一個(gè)基底，則{a+b,b+c,c+a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為雙曲線C:x29?y2613.若曲線f(x)=xex有且僅有兩條過點(diǎn)(0,a)的切線，則實(shí)數(shù)a14.對于任意實(shí)數(shù)k，直線(3k+2)x?ky?2=0與圓x2+y四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A為銳角，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量m=(cosA,sinA)，n=(cosA,?sinA)，且m?n=12．

(1)求角A的大??；

(2)若a=716.(本小題15分)

如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，|AB|=|AC|=2，|AA1|=4，D為BC中點(diǎn)，E為CC1上的點(diǎn)，且|CE|=14|C17.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?DEF中，AC=BC=2，AB=22，AB=22，AD=4，M、N分別為AD、CF的中點(diǎn)．

(1)求證：AN⊥平面BCM；

(2)設(shè)G為BE上一點(diǎn)，且BG=34BE18.(本小題17分)

某手機(jī)App公司對一小區(qū)居民開展5個(gè)月的調(diào)查活動，使用這款A(yù)pp人數(shù)的滿意度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：月份x12345不滿意的人數(shù)y1201051009580(1)求不滿意人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程y?=b?x+a?，并預(yù)測該小區(qū)10月份對這款A(yù)pp不滿意人數(shù)；

(2)工作人員從這使用APP不使用APP女性4812男性2218根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否使用這款A(yù)pp與性別有關(guān)？

附：回歸方程y?=b?x+a?中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

bα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828參考數(shù)據(jù)：i=15xiyi=141019.(本小題17分)

已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1?3i(i是虛數(shù)單位)．

(1)若復(fù)數(shù)(1+ai)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z?，求復(fù)數(shù)z?z+1的模．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)2+ia?i=(2+i)(a+i)(a?i)(a+i)=2a?1a2+1+a+2a2+1i是純虛數(shù)，∴2a?1a22.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?a?b+a+b?c=3a?c≠k(7a+5b+3c)，當(dāng)k不為零是，k無解，所以2a?b，a+b?c，7a+5b+3c不共面，A錯(cuò)誤．

因?yàn)?(2a+b)+3(a+b+c)=7a+5b+3c，所以23.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，A(?1,0,0)，B(0,0,1)，C(1,1,1)，

則AB=(1,0,1)，AC=(2,1,1)，

設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z)，

則AB?m=x+z=0AC?m=2x+y+z=0，令x=1，則y=?1，z=?1，

故m=(1,?1,?1)，

依次分析選項(xiàng)：

對于A，對于向量(?1,1,?1)，因?yàn)?11=1?1≠?1?1，所以此向量與m不共線，不能作為平面ABC的法向量，所以A錯(cuò)誤，

對于B，對于向量(?1,1,1)，因?yàn)?11=1?1=1?1，所以此向量與m共線，可以作為平面ABC的法向量，所以B正確，

對于C，對于向量(1,1,?1)，因?yàn)?1≠1?1≠?1?1，所以此向量與m不共線，不能作為平面4.【答案】C

【解析】解：設(shè)P(0,0,t)，(t>0)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(1,1,t2)，

∴DP=(0,0,t)，AE=(?1,1,t2)．

∴DP?AE=t22，|DP|=t，|AE|=2+5.【答案】B

【解析】解：a=(1,?32,52)，b=(?3,λ,?152)滿足a/?/b，

6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查平面向量基本定理及線性運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意得到AP=14AB+【解答】

解：∵在△ABC中，AN=NC，P是BN上的一點(diǎn)，BP=3PN，

∴AP=AB+BP=AB+34BN

7.【答案】A

【解析】解：依題意，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，

即4?a>11?a≤13?a≤2+2(a?1)，解得1≤a<3．

故選：A．

由條件推理判斷函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，利用分段函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，求解即得參數(shù)范圍．8.【答案】C

【解析】注意P、Q、M、N不一定為中點(diǎn)，選C項(xiàng)．9.【答案】ABC

【解析】解：對于A，∵a=(1,n)，b=(?1,n)，

∴2a?b=(3,n)，

∵2a?b與b垂直，

∴?3+n2=0，解得n2=3，

∴|a|=1+n2=2，故A正確，

對于B，a=(2,k)，b=(k,2)，a與b共線，

則4=k2，解得k=±2，故B正確，

對于C，∵點(diǎn)G為△ABC的重心，

∴GA=13(BA+CA)，GB=13(AB+CB)，GC=13(BC+AC)，

∴GA+GB+GC=0，故C正確，

對于D，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)，

當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，

∵AB=(1,2)，DC=(3?x,4?y)，

∴1=3?x2=4?y，解得x=2y=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)，

當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形時(shí)，

∵AB=(1,2)，CD=(x?3,y?4)，且AB=CD10.【答案】BD

【解析】解：對于選項(xiàng)A，由OA,OB,OC構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得O，A，B，C四點(diǎn)不共面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B，假設(shè){OA+OB,OA?OB,OC}不是空間的一個(gè)基底，則存在m，n，使得OC=m(OA+OB)+n(OA?OB)，

∴OC=(m+n)OA+(m?n)OB，與{OA,OB,OC}是空間的一個(gè)基底矛盾，故B選項(xiàng)正確；

對于選項(xiàng)C，∵OA與BC共線，對于任意非零向量a，都滿足OA,BC,a共面，

故不存在一個(gè)向量與OA,BC構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D，由已知可得(x+y+z)OM=xOA+yOB+zOC，

∴xMA+yMB+zMC=0，

∵x+y+z=1，∴x，y，z至少有一個(gè)數(shù)不為0，

不妨設(shè)11.【答案】BC

12.【答案】3【解析】【分析】本題考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，利用余弦定理解三角形，向量的數(shù)量積的概念及其運(yùn)算，屬于中檔題．

利用雙曲線的定義以及余弦定理求出|PF【解答】解：由題可得||PF1|?|P則由余弦定理得，即|PF1|2+|PF因?yàn)镻O=12(P即|PO|=12|故答案為：313.【答案】4e【解析】解：設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0)

由f(x)=xex上一點(diǎn)，得f(x0)=x0ex0，

又f′(x)=ex?xex(ex)2=1?xex，則f′(x0)=1?x0ex0，

則曲線f(x)=xex在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y?x0ex0=1?x0ex0(x?x0)，

把點(diǎn)(0,a)代入，可得則a?x0ex0=1?x0ex0(?x0)，即a=x02ex14.【答案】相切或相交

【解析】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得：(x?1)2+(y?1)2=22，可知圓的半徑等于2，求出圓心到直線的距離d=|2k|(3k+2)215.【答案】解：(1)∵m=(cosA,sinA)，n=(cosA,?sinA)，且m?n=12，

∴cos2A?sin2A=cos2A=12．

∵0<A<π2，∴0<2A<π，

∴2A=π3，

則A=π6；

(2)∵a=7，【解析】本題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．

(1)由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知等式，求出cos2A的值，即可確定出A的度數(shù)；

(2)利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，c，cosA的值代入求出b的值，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積S．16.【答案】解：(1)證明：依題意，|CE|=14|CC1|=14×4=1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0)，E(0,2,1)，A(0,0,0)，D(1,1,0)，B1(2,0,4)，

∴BE=(?2,2,1)，AD=(1,1,0)，AB1=(2,0,4)，

∴BE?AD=0,BE?AB1=0，

∴BE⊥AD，BE⊥AB1，

∴AD∩AB1=A，

∴BE⊥【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明BE?AD=0,BE?AB1=0，即可得到結(jié)論；

(2)17.【答案】解：(1)證明：在直三棱柱ABC?DEF中，AC=BC=2，AB=22，AD=4，M、N分別為AD、CF的中點(diǎn)，

∵AC=BC=2，AB=22，

∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，

又ABC?DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，則BC⊥AN，

∵M(jìn)、N分別為AD、CF的中點(diǎn)，且AD=4，AC=2，

∴四邊形ACNM為正方形，則CM⊥AN，

又BC∩CM=C，∴AN⊥平面BCM；

(2)由(1)知，即AC⊥BC，

又ABC?DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA//FC，

則點(diǎn)M到平面GBC的距離即為AC=2，∴VG?BCM=VM?BCG=13S△BCG?AC=13×12?BC?BG?AC=16×2×3×2=2，

由(1)【解析】(1)根據(jù)AC2+BC2=AB2得AC⊥BC，并且得出四邊形ACMN為正方形，進(jìn)而即可求證；

(2)先算出點(diǎn)M到平面GBC的距離即為AC=2，由VG?BCM=VM?BCG=13SABCG18.【答案】解：(1)由表可知，x?=15×(1+2+3+4+5)=3，y?=15×(120+105+100+95+80)=100，

所以b=i=15xiyi?5x??y?i=15xi2?5x?2=1410?5×3×10055?5×32=?9，

a【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)和參考公式計(jì)算回歸系數(shù)b?和a?，即可得回歸方程，再代入x