/2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等比數(shù)列{an}的公比，則等于（

）A． B． C． D．92．如圖，平行六面體的各棱長均為，，，則（

）

A． B．C． D．3．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．若點是函數(shù)圖象上任意一點，直線為點處的切線，則直線傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知數(shù)列的前項和為，則（

）A．127 B．135 C．255 D．2637．已知圓與圓相交于兩點，則的面積為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為為坐標(biāo)原點，為雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，，且的面積為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．如圖，在棱長為3的正方體中，為線段上的動點，下列說法正確的是（

）A．對任意點平面B．三棱錐的體積為C．線段長度的最小值為D．存在點，使得與平面所成角的大小為11．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．記數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C． D．12．法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點的距離的最小值為D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則三、填空題（本大題共4小題）13．曲線過原點的切線方程為.14．向量，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是.15．有下列命題：①若，則四點共線；②若，則三點共線；③若為不共線的非零向量，，則；④若向量是三個不共面的向量，且滿足等式，則．其中是真命題的序號是（把所有真命題的序號都填上）．16．已知直線過拋物線的焦點，且與交于點，過線段的中點作直線的垂線，垂足為，記直線的斜率分別為，則的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題）17．等比數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）記為的前項和．若，求．18．已知等差數(shù)列的前項和滿足.(1)求的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和.19．設(shè)函數(shù)．(1)若，求的導(dǎo)數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．20．如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．21．已知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長為為雙曲線上任意一點．(1)求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；(2)若雙曲線的左頂點為，右焦點為，求的最小值．22．已知橢圓的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當(dāng)時，求k的值．

答案1．【正確答案】D【詳解】等比數(shù)列{an}的公比，則．故選：D．2．【正確答案】B【詳解】平行六面體的各棱長均為，，，，，，而，，.故選：B.3．【正確答案】C【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，,則，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．故選：C．4．【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:

由題意可得，曲線的圖象為以為圓心，2為半徑的半圓，直線恒過，由圖當(dāng)直線與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，解得；當(dāng)直線過點時，直線的斜率，則直線與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)的取值范圍為.故選:C.5．【正確答案】C【詳解】函數(shù)中，，即，設(shè)點，求導(dǎo)得，由，得，即，因此函數(shù)的圖象在點處的切線斜率，顯然直線的傾斜角為鈍角，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C6．【正確答案】D【詳解】由題意知當(dāng)時，，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，故選：D.7．【正確答案】A【詳解】聯(lián)立,相減可得直線：，所以到直線的距離為，利用圓與直線相交可得：，所以.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】由題意知，，如圖所示，因為，所以點在線段的垂直平分線上，又點在雙曲線的第一象限上，所以，解得，又因為，所以，整理得，即，解得（舍負(fù)），又，所以.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】A.因為，所以，故正確；B.因為，所以，故錯誤；C.因為，所以，故正確；D.因為，所以，故正確.故選：ACD10．【正確答案】ABC【詳解】在棱長為3的正方體中，如圖所示：對于A：連接，，，，，由于，平面，平面，所以平面同理由得平面，又,平面,故平面平面，由于平面，所以對任意點，平面，故A正確；對于B：由于平面,平面,所以平面,故三棱錐的體積為，故B正確；對于C：由于,所以過點作，即點為的中點，，故C正確，對于D：由于平面,,所以點在平面上的投影在線段上，設(shè)點的投影為點，則為與平面所成的角，，而，所以與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，所以不存在點，使得與平面所成角的大小為，故D錯誤；故選：ABC11．【正確答案】BC【詳解】由題意得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故B正確；由以上可知，所以，從而，故A錯誤；而，所以，故C對D錯.故選：BC.12．【正確答案】ABD【詳解】依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因為點，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；設(shè)，的左焦點為，連接，因為，所以，又，所以，則到的左焦點的距離的最小值為，故C不正確；由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點，關(guān)于原點對稱，設(shè)，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：ABD．13．【正確答案】或.【詳解】由題意可得，設(shè)切點為，則，所以函數(shù)過原點的切線方程為，解之得，則，此時切線方程為，若切點為原點，則，此時切線方程為.故或.14．【正確答案】【詳解】向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為：.故答案為.15．【正確答案】②③④【詳解】對于①，當(dāng)時，不一定在一條直線上，故①錯誤.對于②，當(dāng)時，因共起點，故三點共線，故②正確.對于③，因為，故，故，故③正確.對于④，若至少有一個不為零，不妨設(shè)，則，故為共面向量，與題設(shè)矛盾，故全為零，故④正確.故②③④.16．【正確答案】【詳解】如圖，因為直線過的焦點，令，解得：，即，故由可得，即．把代入的方程整理得：，設(shè)，則，，于是，，故得：，則，，所以，由，得．故答案為:.17．【正確答案】（1）或.（2）.【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m．詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公差為，則，所以解得，所以，（2），所以，所以..19．【正確答案】(1)，其中.(2)見解析【詳解】（1）若，則，故，其中.（2），當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當(dāng)時，若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，恒成立（不恒為零），故的增區(qū)間為，無減區(qū)間.綜上：當(dāng)時，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當(dāng)時，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，的增區(qū)間為，無減區(qū)間.20．【正確答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因為AB=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】定義法作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點C到平面POM的距離為．［方法二］：等積法設(shè)C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，則，即，則．即點C到平面POM的距離為．［方法三］：向量法如圖，以O(shè)為原點，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，所以，點C到平面的距離為．【整體點評】（2）方法一：根據(jù)定義法求點到面的距離，是解決點面距問題的首選方法，特別是題目中含有面面垂直的條件，計算簡單，是該題的最優(yōu)解；方法二：根據(jù)等積法求點到面的距離，也是解決點面距問題的常用方法；方法三：當(dāng)題目中有較好的建系條件，利用向量法解決點面距，思想簡單，過程稍繁．21．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由題意可得，解得，因此