§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積課標(biāo)要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，并能解決簡單的實(shí)際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相且多邊形互相

且側(cè)棱相交于

但不一定相等延長線交于

側(cè)面形狀(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，于底面

相交于

延長線交于

軸截面?zhèn)让嬲归_圖2.直觀圖(1)畫法：常用.(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為45°或135°.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=

S圓錐側(cè)=

S圓臺(tái)側(cè)=

4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表=S側(cè)+2S底V=

錐體S表=S側(cè)+S底V=

臺(tái)體S表=S側(cè)+S上+S下V=

球S表=

V=

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形.()(2)圓臺(tái)的母線長都相等.()(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.()(4)錐體的體積等于底面積與高之積.()2.已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，則該三棱柱的體積為()A.43 B.33 C.23 D.33.用斜二測畫法作一個(gè)水平放置的邊長為6的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為()A.36 B.182 C.92 D.94.已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于23π，則該圓錐的體積為.1.掌握三個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)(祖暅原理)等高處的截面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.(3)直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖=24S原圖形，S原圖形=22S直觀圖2.關(guān)于幾何體的表面積和側(cè)面積的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.題型一基本立體圖形命題點(diǎn)1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中正確的是()A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長方體是直四棱柱C.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)D.球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面命題點(diǎn)2直觀圖例2用斜二測畫法得到一個(gè)水平放置的平面圖形OABC的直觀圖為如圖所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=13O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面圖形OABC的面積為32，則O'A'的長為(A.2 B.2 C.3 D.3命題點(diǎn)3展開圖例3(2025·大同模擬)已知圓臺(tái)的上、下底面的圓心分別為O1，O2，母線AB=1(點(diǎn)A位于上底面)，且BO2=2AO1，圓O2的周長為2π3，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓臺(tái)側(cè)面爬行一周到點(diǎn)B，則其爬行的最短路程為(A.1 B.3 C.2 D.5思維升華(1)辨別空間幾何體的兩種方法①定義法：緊扣定義進(jìn)行判定；②反例法：要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可.(2)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.(3)在解決空間曲線(段)最短問題時(shí)一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列說法正確的是()A.棱柱中相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做側(cè)棱B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C.有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D.直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體不一定是圓錐(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為2的菱形A'B'C'D'，且O'D'=2，則原平面圖形的周長為()A.42+4 B.46+4C.82 D.8(3)如圖在一根高為11cm，外圓周長為6cm的圓柱體外表面纏繞一根細(xì)鐵絲，組成10個(gè)螺旋，如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線的兩端，則鐵絲長度的最小值為()A.61cm B.157cmC.2021cm D.1037cm題型二表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4(1)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A.8π B.4π C.8 D.4(2)(2025·棗莊模擬)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3，側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.6π B.16π C.26π D.32π命題點(diǎn)2體積例5(1)(2024·武漢模擬)“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇(如圖1)是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的，它曾多次成功完成大氣科學(xué)觀測，彰顯了中國的實(shí)力.“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積約為(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈，π≈3.14)()A.9064m3 B.9004m3C.8944m3 D.8884m3(2)木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足.如圖為一個(gè)木楔子，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF=2，則該木楔子的體積為()A.423 B.2 C.22思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為()A.23π B.33πC.63π D.93π(2)(多選)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，BC=3，CC1=4，且AB⊥BC，P為BC1的中點(diǎn)，則()A.三棱錐ABCC1的體積為4B.三棱錐CAPC1的體積為5C.四棱錐C1ABB1A1的體積為8D.三棱錐C1ABC的表面積為14+213答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)平行全等平行相似平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形(2)垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)2.(1)斜二測畫法(2)②分別平行于坐標(biāo)軸不變一半3.2πrlπrlπ(r1+r2)l4.Sh13Sh13(S上+S下+S4πR243πR自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.C3.C4.π探究核心題型例1BD[對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知長方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確.]例2D[方法一如圖所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，得到原幾何圖形OABC，設(shè)O'A'=x，可得O'B'=2x，則OB=2O'B'=22x，BC=B'C'=x3，OA=O'A'=且OB為原平面圖形中梯形的高，所以原平面圖形OABC的面積為S=12x+x3×解得x=32方法二由S直觀圖=24S原圖形可得S直觀圖=設(shè)O'A'=x，則O'B'=2x，B'C'=x3，A'B'=根據(jù)直角梯形的面積公式得12x+解得x=32.例3B[將圓臺(tái)的側(cè)面沿著母線AB剪開，展成平面圖形，延長BA，B1A1交于點(diǎn)O，連接AA1，AB1，BB1，如圖，顯然弧BB1的長為2π3，弧AA1的長為π3，設(shè)∠BOB1=α，則α×OA=π3則OB=2OA，即OA+1=2OA，得OA=1，于是A是OB的中點(diǎn)，α=π因此△OBB1是等邊三角形，有AB1⊥OB，且AB1與弧AA1相切，則AB1在此側(cè)面展開圖內(nèi)，所以螞蟻爬行的最短路線為線段AB1，AB1=ABtanπ3=3.跟蹤訓(xùn)練1(1)D[對(duì)于A，底面和側(cè)面的公共邊不是側(cè)棱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，底面是正多邊形的棱錐，頂點(diǎn)與底面中心的連線不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱錐，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，還要滿足各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，以其斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體由兩個(gè)共底的圓錐組合而成，D正確.](2)B[根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA=22，OD=4AB=CD=2，則AD=8+16=26故原平面圖形的周長為2+2+26+26=46+4.](3)A[∵圓柱體的高為11cm，外圓周長為6cm，又鐵絲在柱體上纏繞10圈，且鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一條母線的兩端，則我們可以得到將圓柱側(cè)面展開后的平面圖形，如圖所示，其中每一個(gè)小矩形的寬為圓柱的外圓周長6cm，高為圓柱的高11cm，則大矩形的對(duì)角線即為鐵絲長度的最小值，此時(shí)鐵絲長度的最小值為112+602=61(例4(1)A[以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的底面半徑r=2，高h(yuǎn)=2，∴所得圓柱的側(cè)面積S=2πrh=2π×2×2=8π.](2)B[圓臺(tái)的上底面圓半徑r'=1，下底面圓半徑r=3，設(shè)圓臺(tái)的母線長為l，扇環(huán)所在的小圓的半徑為x，依題意有2π×3=π(解得x所以圓臺(tái)的側(cè)面積S=π(r'+r)l=π(1+3)×4=16π.]例5(1)A[由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為R=192=9.5(m)，而圓臺(tái)另一個(gè)底面的半徑為r=1m則V半球=12×43×π×≈17143π(m3)V圓柱=π×9.52×14≈1260π(m3)，V圓臺(tái)=13×(9.52π+9.52π×π+π)×31.5≈31663π所以V=V半球+V圓柱+V圓臺(tái)≈17143π+1260π+31663π≈9064(m3)(2)D[如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，由題意知等腰梯形ABFE全等于等腰梯形DCFE，則EG=HF=2-12=12，AG=GD=BH=HC=1取AD的中點(diǎn)O，連接GO，因?yàn)锳G=GD，所以GO⊥AD，則GO=322所以S△ADG=S△BCH=12×22因?yàn)锳B∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB⊥AD，又因?yàn)锳D∩AG=A，AD，AG?平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，所以多面體的體積V=V三棱錐EADG+V三棱錐FBCH+V三棱柱AGDBHC=2V三棱錐EADG+V三棱柱AGDBHC=13×24×12×跟蹤訓(xùn)練2(1)B[設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長為r而它們的側(cè)面積相等，所以2πr×3=πr×3+即23=3+r2，故故圓錐的體積為13π×9×3=33π.(2