培優(yōu)點(diǎn)3泰勒展開式分值：60分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共15分)1.(2024·鄭州統(tǒng)考)計(jì)算器計(jì)算ex，lnx，sinx，cosx等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的.“泰勒展開式”的內(nèi)容為：如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a，b)內(nèi)可以進(jìn)行多次求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)x≠x0時(shí)，有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(xx0)+f''(x0)2！(xx0)2+f'''(x)3！(xx0)3+…，其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f'(x)的導(dǎo)數(shù)，f'''(x)是f″(xA.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.882.已知a=e0.11，b=sin0.1，c=ln1.1，則()A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<a3.設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.041，則()A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b二、多項(xiàng)選擇題(共6分)4.(2025·沈陽模擬)泰勒公式通俗地講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式：ex=1+x+x22！+x33！+x4sinx=xx33！+x55！x77！+…+(由此可以判斷下列各式中正確的是()A.eix=cosx+isinx(i是虛數(shù)單位)B.eix=i(i是虛數(shù)單位)C.2x≥1+xln2+(xln2)22D.cosx<1x22+x424(x∈(三、填空題(共5分)5.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的x∈R，sinx=xx33！+x55！x77！+…+(1)n1x2n-1(2n-1)！+…(n∈N*)，稱為正弦函數(shù)的泰勒展開式.在精度要求不高的情況下，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)x，可以用這個(gè)展開式來求sinx的近似值.如圖，百貨大樓的上空有一廣告氣球，直徑為6米，在豎直平面內(nèi)，某人測(cè)得氣球中心B的仰角∠BAC四、解答題(共34分)6.(17分)(2024·合肥模擬)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)f(x)在x=0處n(n∈N*)階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，f(x)在x=0處的n階泰勒展開式為f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2！x2+f(3)(0)3！x3+…+f(n)(0)n！xn+….注：f″(x)表示f(x)的2階導(dǎo)數(shù)，即為f'(x)的導(dǎo)數(shù)，f(n)(x)((1)寫出f(x)=11-x的泰勒展開式(只需寫出前4項(xiàng))；(4(2)根據(jù)泰勒公式估算sin12的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；(4分(3)證明：當(dāng)x≥0時(shí)，exx22sinxcosx≥0.(97.(17分)(2024·廊坊模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)，規(guī)定f'(x)=[f(x)]'，f″(x)=[f'(x)]'，f(3)(x)=[f″(x)]'，…，f(n)(x)=[f(n1)(x)]'，f(n)(x)叫做函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù).若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)開區(qū)間(a，b)上具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x∈(a，b)，f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+f″(x0)2！(xx0)2+f(3)(x0)3！·(xx0)3+…+f(n)(x0)n！(xx0)n+Rn(x)，該公式稱為函數(shù)f(x)在x=x0處的(1)寫出函數(shù)f(x)在x=1處的3階泰勒展開式(Rn(x)用R3(x)表示即可)；(4分)(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處的3階余項(xiàng)為g(x)，求證：對(duì)任意的x∈(1，1)，g(x)≤0；(4分)(3)求證：1+121+1221+123…1+12n答案精析1.B[根據(jù)題意，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f″(x)=sinx，f'''(x)=cosx，…，取x0=0，可得f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f''(0則f(x)=sinx=0+1×x+0×x2+(1)×13！x3+0×x4+1×15！x5+…=x16x3+1令x=1，代入上式可得f(1)=sin1=116+1120+…=101120+所以sin1≈0.84.]2.D[∵sinx=xx33！+ln(1+x)=xx22+xex=1+x+x22！+x∴sin0.1=0.10.136+ln1.1=0.10.122+e0.1=1+0.1+0.122+0.則e0.11=0.1+0.122+0.∴l(xiāng)n1.1<sin0.1<0.1<e0.11，故c<b<a.]3.B[因?yàn)閍=2ln1.01=ln1.012=ln1.0201>ln1.02，所以a>b，排除A，D；由公式ln(1+x)=xx22+得a=2ln(1+0.01)≈2×0.01-≈0.020.0001=0.0199，由公式(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！得c=(1+0.04)121≈12×0.04142×0.042≈0.020.0002=0所以a>c，排除C.]4.ACD[對(duì)于A，B，由sinx=xx33！+x55！x77！+…+兩邊求導(dǎo)得cosx=1x22！+x44！x66！+…+isinx=xix3i3！+x5i5！x7i7！+cosx+isinx=1+xix22！x3i3！+x44！+x5i5！x66！x7i7又eix=1+xi+(xi)22！+(xi=1+xix22！x3i3！+x44！+x5i5！x66！x7=cosx+isinx，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知ex=1+x+x22！+x33！+x44！+…+xnn因?yàn)?x=exln2(x≥0)，則exln2≥1+xln2+(xln2)22！，即2x≥1+xln2+(xln2對(duì)于D，cosx=1x22！+x44！x66！+x88！=1-x22！+x44！x66！+x當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，x66！+x88！<0，xx2n=x2n[x2-(2n+1)(2n+2)所以x66！+x88！x1010所以cosx<1x22！+x44！=1x22+x424(x∈5.86解析由題意過點(diǎn)B作切線的垂線交于點(diǎn)D，在△ABD中，BD=3，sin1°=BDAB所以AB=BDsin1°在Rt△ABC中，sin∠BAC=sin30°=BCAB聯(lián)立可得BC=32sin1°=32sinπ1806.(1)解f(x)=11-x，f'(x)=1(1-x)2，f″(x)=2(1-x)3，ff(0)=f'(0)=1，f″(0)=2，f

(3)(0)=6，所以f(x)=11-x=1+x+x2+x3+(2)解因?yàn)?sinx)'=cosx，(cosx)'=sinx，可得sinx=xx33！+x5故sin12=12148+…≈0(3)證明方法一由泰勒展開式ex=1+x+x22！+x33！+x44！易知當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1+x+x2所以exx22sinxcosx≥1+x+x22x22=1+xsinxcosx≥xsinx，令g(x)=xsinx，則g'(x)=1cosx≥0，所以g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)≥g(0)=0，即證得當(dāng)x≥0時(shí)，exx22sinxcosx≥方法二令G(x)=exx22sinxcosG'(x)=exx2cosx+易知當(dāng)x∈0，3π4時(shí)，y=ey=2cosx+所以G'(x)=exx2cosx+所以G'(x)≥G'(0)=0，所以當(dāng)x∈0，3π4時(shí)，G(所以G(x)≥G(0)=0，當(dāng)x∈3π4G(x)=exx22sinxcos≥exx22令F(x)=exx22則F'(x)=exx>0，則F(x)=exx22則當(dāng)x∈3π4，+∞時(shí)，F(xiàn)(x)=exx222>F(綜上，原不等式得證.7.(1)解由f(x)=ln(x+1)，得f'(x)=1x+1，f″(x)=f

(3)(x)=2(所以f(1)=ln2，f'(1)=12f″(1)=14，f

(3)(1)=1所以函數(shù)f(x)在x=1處的3階泰勒展開式為f(x)=ln2+12(x1)18(x1)2+124(x1)3+R3((2)證明由(1)，得f(0)=0，f'(0)=1，f″(0)=1，f

(3)(0)=2.所以函數(shù)f(x)在x=0處的3階泰勒展開式為f(x)=x12x2+13x3+R3(x所以g(x)=R3(x)=ln(x+1)x+12x213xg'(x)=1x+11+xx2=x3x+1，令g'(x)當(dāng)x∈(1，0)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)≤g(0)=0，即對(duì)任意的x∈(1，1)，g(x)≤0.(3)證明由(2)知，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)=ln(x+1)x+12x213x3即ln(x+1)<x12x2+