2025年高考數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性與周期性解題技巧試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-ax+1$，若$f(x)$為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.0B.1C.2D.32.函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx+1}{\cosx}$的奇偶性為（）A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)3.函數(shù)$f(x)=x^2\cdot\sin(\frac{1}{x})$（$x\neq0$）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則$f(x)$是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4.若函數(shù)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，且$f(1)=1$，則$f(-1)+f(0)$的值為（）A.0B.1C.-1D.25.函數(shù)$f(x)=\sqrt{1-x^2}$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$6.函數(shù)$f(x)=\sin(x+\pi)+2$的最小正周期是（）A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$7.已知函數(shù)$f(x)=\cos(2x+\varphi)$是奇函數(shù)，則$\varphi$可以是（）A.$-\frac{\pi}{2}$B.$\frac{\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\pi$8.函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期是（）A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$9.函數(shù)$f(x)=|x|\cdot\sinx$的奇偶性為（）A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)10.若函數(shù)$f(x)=\sin(x+\theta)$是偶函數(shù)，則$\theta$可以是（）A.$0$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\pi$D.$\frac{3\pi}{2}$二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在題中橫線上。11.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則$f(x)$是__________函數(shù)。12.已知函數(shù)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，且$f(x+2)=-f(x)$，則$f(2023)$的值為__________。13.函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\cosx$的最小正周期是__________。14.若函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$是奇函數(shù)，則$a+b$的值為__________。15.定義在$\mathbb{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=f(x)+1$，且$f(0)=1$，則$f(2023)$的值為__________。三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.(本小題滿分15分)已知函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\varphi)+\cos(2x+\varphi)$，其中$\varphi$為常數(shù)。(1)若函數(shù)$f(x)$的最小正周期為$\pi$，求$\varphi$的值；(2)在(1)的條件下，判斷函數(shù)$f(x)$的奇偶性。17.(本小題滿分15分)已知函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2+bx$，且$f(x)$是偶函數(shù)。(1)求$a$和$b$的值；(2)判斷函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性。18.(本小題滿分15分)已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，$g(x)=f(2x+\varphi)$，其中$\varphi$為常數(shù)。(1)若函數(shù)$g(x)$是奇函數(shù)，求$\varphi$的值；(2)在(1)的條件下，求函數(shù)$g(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間。19.(本小題滿分15分)已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx+1}{\cosx+a}$，其中$a$為常數(shù)。(1)若函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，求$a$的值；(2)在(1)的條件下，判斷函數(shù)$f(x)$的周期性，并求其最小正周期。20.(本小題滿分15分)已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx+\frac{2}{\sinx+\cosx}$。(1)求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；(2)求函數(shù)$f(x)$的值域。試卷答案一、選擇題：1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.C8.A9.B10.C二、填空題：11.偶12.013.$2\pi$14.015.2024三、解答題：16.(1)解析：函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\varphi)+\cos(2x+\varphi)=\sqrt{2}\sin(2x+\varphi+\frac{\pi}{4})$，其最小正周期為$\pi$，則$\frac{2\pi}{2}=\pi$，解得$\varphi+\frac{\pi}{4}=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，即$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$。(2)解析：由(1)知，$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$，則$f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+k\pi+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})=\sqrt{2}\sin(2x+k\pi+\frac{3\pi}{4})$。當(dāng)$k$為偶數(shù)時，$f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{3\pi}{4})$是奇函數(shù)；當(dāng)$k$為奇數(shù)時，$f(x)=-\sqrt{2}\sin(2x+\frac{3\pi}{4})$是奇函數(shù)。故函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)。17.(1)解析：由$f(x)$是偶函數(shù)，得$f(-x)=f(x)$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，即$-x^3-ax^2+bx=x^3-ax^2+bx$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，即$-2x^3=0$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，解得$a=0$，$b=0$。(2)解析：由(1)知，$f(x)=x^3$。當(dāng)$x>0$時，$f'(x)=3x^2>0$，函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$x<0$時，$f'(x)=3x^2>0$，函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞增。故函數(shù)$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增。18.(1)解析：函數(shù)$g(x)=f(2x+\varphi)=\sin(2x+\varphi)+\cos(2x+\varphi)=\sqrt{2}\sin(2x+\varphi+\frac{\pi}{4})$是奇函數(shù)，則$g(0)=0$，即$\sqrt{2}\sin(\varphi+\frac{\pi}{4})=0$，解得$\varphi+\frac{\pi}{4}=k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，即$\varphi=k\pi-\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$。(2)解析：由(1)知，$\varphi=k\pi-\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$，則$g(x)=\sqrt{2}\sin(2x+k\pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\sin(2x+k\pi)$。當(dāng)$k$為偶數(shù)時，$g(x)=\sqrt{2}\sin(2x)$，其單調(diào)遞增區(qū)間為$[k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}]$，$k\in\mathbb{Z}$；當(dāng)$k$為奇數(shù)時，$g(x)=-\sqrt{2}\sin(2x)$，其單調(diào)遞增區(qū)間為$[k\pi+\frac{\pi}{4},(k+1)\pi-\frac{\pi}{4}]$，$k\in\mathbb{Z}$。綜合可得，函數(shù)$g(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$[k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}]$，$k\in\mathbb{Z}$。19.(1)解析：由$f(x)$是奇函數(shù)，得$f(-x)=-f(x)$對任意$x\neq-a,a$恒成立，即$\frac{\sin(-x)+1}{\cos(-x)+a}=-\frac{\sinx+1}{\cosx+a}$對任意$x\neq-a,a$恒成立，即$\frac{-\sinx+1}{\cosx+a}=-\frac{\sinx+1}{\cosx+a}$對任意$x\neq-a,a$恒成立，即$-\sinx+1=-\sinx-1$對任意$x\neq-a,a$恒成立，解得$a=-1$。(2)解析：由(1)知，$a=-1$，則$f(x)=\frac{\sinx+1}{\cosx-1}$。函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\{x|x\neq2k\pi+\pi,k\in\mathbb{Z}\}$。$f(x+2\pi)=\frac{\sin(x+2\pi)+1}{\cos(x+2\pi)-1}=\frac{\sinx+1}{\cosx-1}=f(x)$，故函數(shù)$f(x)$是周期函數(shù)，且$2\pi$是其一個正周期。令$t=\sinx$，則$t\in(-1,1)$，$f(x)=\frac{t+1}{\cosx-1}=\frac{t+1}{-\sqrt{1-t^2}-1}=\frac{-(t+1)}{\sqrt{1-t^2}+1}$。令$u=\sqrt{1-t^2}+1$，則$u\in(0,2]$，$f(x)=-\frac{t+1}{u}=-\frac{\sqrt{1-(\frac{u-1}{2})^2}+1}{u}=-\frac{4-u^2+2u}{2u(u-2)}=\frac{1}{2}-\frac{2}{u(u-2)}$。當(dāng)$u\in(0,2]$時，$\frac{2}{u(u-2)}$的取值范圍是$(0,+\infty)$，故$f(x)$的值域?yàn)?(-\infty,\frac{1}{2})$。故函數(shù)$f(x)$的最小正周期為$2\pi$。20.(1)解析：令$t=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，則$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，$f(x)=t+\frac{2}{t}$。函數(shù)$f(x)$的最小正周期為$2\pi$。(2)解析：令$t=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，則$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，$f(x)=t+\frac{2}{t}$。當(dāng)$t\in[-\sqrt{2},-1]$時，$f(x)=t+\frac{2}{t}$是增函數(shù)，$f(x)\in(-\infty,-1-\sqrt{2}]$；當(dāng)$t\in[-1,1]$時，$f(x)=t+\