專題15.3等腰三角形（舉一反三講義）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等腰三角形的定義】 2【題型2等邊對等角】 4【題型3三線合一】 7【題型4等角對等邊】 11【題型5找出圖中的等腰三角形】 14【題型6格點(diǎn)中畫等腰三角形】 18【題型7直線上已知兩點(diǎn)確定第三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】 21【題型8求與圖形中任兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】 24知識點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)1.定義：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，相等的邊叫做腰．2.性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．3.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．4.拓展：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°．知識點(diǎn)2等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．拓展：（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．【題型1等腰三角形的定義】【例1】（24-25七年級下·上海普陀·期末）已知兩個(gè)全等的直角三角形，直角邊長分別為3和4，斜邊長為5．如果將這兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)等腰三角形，那么這個(gè)等腰三角形的周長為（

）A．16 B．18 C．16或18 D．14或16【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的定義，將兩個(gè)全等的直角三角形拼成等腰三角形時(shí)，有兩種可能的拼接方式：沿直角邊3或4拼接，形成底邊為6或8的等腰三角形，兩腰均為斜邊5；或者沿斜邊5拼接，但此時(shí)無法形成三角形．根據(jù)分析求出周長即可．【詳解】解：①沿直角邊3拼接：將兩個(gè)直角邊3重合，形成底邊為4+4=8，兩腰為斜邊5的等腰三角形．周長=5+5+8=18．②沿直角邊4拼接：將兩個(gè)直角邊4重合，形成底邊為3+3=6，兩腰為斜邊5的等腰三角形．周長=5+5+6=16．③沿斜邊5拼接，但此時(shí)無法形成三角形．綜上，等腰三角形的周長為16或18，故選：C．【變式1-1】（24-25七年級下·山東威海·期中）若方程組2x-y=6【答案】10【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是正確求解方程組．先求出二元一次方程組的解，再根據(jù)腰的取值不同，分兩種情況討論求解，求得等腰三角形的周長．【詳解】解：方程組2x-y∵方程組2x∴當(dāng)腰長為2時(shí)，三邊長為2，2，4，2+2=4，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為4時(shí)，三邊長為4，4，2，4+2=6>4，能構(gòu)成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長為4+4+2=10，故答案為：10．【變式1-2】（24-25八年級下·山東青島·期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a-b-c【答案】等腰三角形【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．將a-b-cb-a【詳解】解：∵a-b∴a-∴a-∵a、b、c是△ABC∴1+c∴a-∴a=∴△ABC故答案為：等腰三角形．【變式1-3】（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）在中國古代建筑中，有一種常見的裝飾元素叫做“斗拱”．斗拱由多個(gè)小木塊組成，它們之間通過榫卯結(jié)構(gòu)相互連接，形成了一種獨(dú)特的美感．如圖1，從正面觀察斗拱可發(fā)現(xiàn)其外輪廓形狀類似于一個(gè)等腰三角形．如圖2，若△ABC的周長為24，一邊長為6，則此等腰三角形的底邊長是(

A．6 B．12 C．6或9 D．6或12【答案】A【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．分兩種情況：等腰三角形的腰長或底邊是6，由三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行判斷，即可得答案．【詳解】解：如果等腰三角形的腰長是6，∴等腰三角形的底邊長=24-6×2=12，∵6+6=12，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，∴等腰三角形的腰長不能是6；如果等腰三角形的底邊長是6，∴等腰三角形的腰長=1∵6+9>9，滿足三角形三邊關(guān)系，∴等腰三角形的底邊長是6．故選：A．【題型2等邊對等角】【例2】（24-25七年級下·重慶大渡口·期末）如圖，點(diǎn)E,?F在BC(1)求證：△ABF≌△(2)若∠AFB=42°,?【答案】(1)見解析(2)58°【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角等知識．（1）利用AAS證明三角形全等即可．（2）由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠DEC=∠AFB=42°，【詳解】（1）證明：∵BE∴BE即BF=∵∠BED=∠AFC，∠BED=∠∴∠BAF∴△ABF（2）解：∵△ABF∴∠DEC又∠D∴∠又∵AB∴∠AEB∴∠AED【變式2-1】（24-25八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°得到△ADE，點(diǎn)C恰好落在DE上，則∠BCD【答案】42°/42度【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAE=42°，AC=AE，【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得∠CAE=42°，AC=∴∠ACE∴∠ACB∴∠BCD故答案為：42°．【變式2-2】如圖，鋼架中，∠A=α，焊上等長的鋼條P1P2，P2P3，P3P4【答案】18°≤【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次不等式組，以及三角形的外角性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠P3P【詳解】解：∵AP1=P1P∴∠A=∠P1P2A∴∠P∵要使得這樣的鋼條恰好焊上4根，∴∠P由題意得：4α∴18°≤α故答案為：18°≤α【變式2-3】（24-25八年級上·浙江寧波·期末）如圖，AB=AE，AC=(1)求證：△BAC(2)若AE平分∠BAC,∠EAC【答案】(1)見解析(2)42°【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)SAS即可證明△BAC（2）由角平分線的定義得∠BAE=∠CAE=42°，由全等三角形的性質(zhì)得AC=AD，【詳解】（1）證明：∵∠∴∠∴∠∵∴△（2）解：∵AE平分∴∠∵∠∴∠CAD∵△∴∴∠ACB∵∠ACD+∠∴∠【題型3三線合一】【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足，則下列結(jié)論：（1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可判斷（1）（2）（3），根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可判斷（4）．【詳解】解：∵AB=AC，∴BD=DC，∠BAD故（1）（2）（3）正確，∵AD平分∠BAC∴DE⊥∴DE故（4）正確，綜上，一共有4個(gè)正確，故選：D【變式3-1】（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分線，則∠ACD【答案】55°/55度【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．先求出∠OCA=110°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得【詳解】解：∵∠ACB∴∠OCA∵CD是OA的垂直平分線，∴OC∴∠ACD故答案為：55°．【變式3-2】（24-25七年級下·山西太原·階段練習(xí)）補(bǔ)全過程或依據(jù)：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，連接CE，使得CE=AE解：∵在△ABC中，AB∴∠①=∠B∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)∴AD⊥BC∴∠∴∠CAD=90°-∠ACB=∵AE∴∠ACE=∠CAD∴∠ECD=∠ACB-∠【答案】①ACB；②三線合一定理；③35；④等腰三角形兩底角相等；⑤20【分析】本題主要考查了三線合一定理，等邊對等角，根據(jù)三線合一定理，等邊對等角和已給推論過程求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AB∴∠ACB∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)∴AD∴∠∴∠∵AE∴∠ACE∴∠ECD【變式3-3】（24-25八年級上·福建南平·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE相交于點(diǎn)(1)求證：AB=(2)若AE=12【答案】(1)詳見解析；(2)22.5°．【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等得出∠BAD=∠FCD（2）由（1）得：AB=CF，∠BAD=∠FCD，則AE=12AB本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠∴∠FCD+∠DFC又∵∠AFE∴∠BAD在△ABD和△∠BAD∴△ABD∴AB=（2）解：由（1）得：AB=CF，∵AE=∴AE=∵CE⊥∴CE垂直平分AB，∴CA=∴∠BCE∵AD=CD，∴∠ACD∴∠BAD【題型4等角對等邊】【例4】（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，△ABC的周長為27，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BC=8，BF=6A．18 B．19 C．21 D．23【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線定義可得∠DBF=∠FBC，由平行線的性質(zhì)可得∠DFB=∠FBC，則∠DBF=∠DFB，所以BD=DF，同理CE【詳解】解：∵BF平分∠ABC∴∠DBF∵DE∥∴∠DFB∴∠DBF∴BD=同理：CE=∵△ABC的周長=AC+∴AB+∵△ADE的周長為====19，∴△ADE的周長是19故選：B．【變式4-1】（24-25八年級下·陜西·期中）如圖，△ABC中，∠A=∠BCA，將△ABC沿直線BC平移到△DCE的位置（使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B、C、【答案】見解析【分析】本題考查了平移的性質(zhì)證明，等角對等邊，根據(jù)平移性質(zhì)得到AB=CD，根據(jù)等角對等邊得到【詳解】解：∵△ABC將沿直線BC平移到△∴AB∵∠A∴AB∴BC【變式4-2】如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C，將△ABD沿AD所在直線翻折，點(diǎn)B在AC邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E，若AC=8，【答案】3【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=AB=5,DE=【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：AE=∵AC=8∴CE=∵∠B∴∠AED又∵∠AED∴∠C∴DE=∴BD=3故答案為：3．【變式4-3】（24-25八年級下·廣東深圳·期中）某市一座老式橋梁需進(jìn)行加固改造，工程師對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，如圖，△ABC為主梁框架，∠ABC是橋墩支撐角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程師計(jì)劃在∠BAC的角平分線處安裝鋼架AD，交底梁BC于點(diǎn)D，為確保穩(wěn)定性，必須過點(diǎn)B焊接加固鋼索BE，使得BE⊥AD，分別交(1)求證：加固后的△ABE(2)經(jīng)測量，主梁全長AC為13米，關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)間距BD為5米，求原始支撐段AB的長度．【答案】(1)見解析(2)原始支撐段AB的長度是8米【分析】（1）由垂直的定義得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分線的定義得到∠EAF（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF【詳解】（1）證明：∵BE∴∠AFE又∵AD平分∠∴∠EAF又∵在△AEF和△∠AFE+∠∴∠AEF∴AE∴△ABE（2）解：連接DE，

∵AE=AB，AD平分∴AD垂直平分BE∴BD∴∠DEF∵∠AEF∴∠AED又∵∠ABC∴∠AED又∵△CED中，∠∴∠C∴EC∴CE∴AB【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型5找出圖中的等腰三角形】【例5】（24-25八年級上·北京·期中）如圖，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖等知識，利用圖形分類討論是解題關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB為底以及AB為腰得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)AB=AF=3，BA=BD故選：B．【變式5-1】如圖所示，共有等腰三角形（

）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的判定，根據(jù)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∠EBC∴△EBC是等腰三角形，∠∴∠AEB∴∠AEB=∠A∴△ABE、△∵∠ABC=180°-∠ACB∴∠A=∠ABC∴△ABC、△故圖中共有5個(gè)等腰三角形，故選：C．【變式5-2】如圖，四邊形ABCD沿對角線AC對折后重合，連接BD交AC于點(diǎn)E，若AB∥CD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由對折后重合得相等的線段和相等的角，由平行線得相等的角，再得相等的線段，判斷出等腰三角形；【詳解】解：由對折后重合得，AD=AB，∠DAC=∠BAC∴△ADB和△∵AB∴∠BAC∴∠DAC=∠DCA∴AD=CD∴△ADC和△因此共有4個(gè)等腰三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，在圖形中找出相應(yīng)條件是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（24-25七年級上·山東淄博·期中）（1）如圖，已知△ABC≌△A1B1C1，D,

（2）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E,DE

（3）如圖，在△ABC中，∠BAC:∠B:∠C=3:1:1,①求∠ADE②寫出圖中所有的等腰三角形．

【答案】（1）AD與A1D1相等，理由見解析

（2）見解析

（3）①72°

②△ABD,△ADE,△AEC【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定；（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=A1B1（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，再由角平分線的性質(zhì)得到（3）①根據(jù)已知條件和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=108°，∠B=36°，∠C=36°，由于AD,②根據(jù)外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ADE=∠AED【詳解】（1）解：AD與A1∵△ABC∴AB在△ABD和△AB=∴△ABD∴AD（2）證明：∵DE垂直平分AB，∴AE∵∠ACB∴AC∵BE平分∠ABC∴DE∴BE即BE+（3）解：①∵∠BAC:∠B∴∠BAC=108°，∠B=36°∵AD，AE將∠BAC∴∠BAD∴∠ADE②∵∠BAD∴∠ADE∴AD=∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△【題型6格點(diǎn)中畫等腰三角形】【例6】（24-25八年級上·福建福州·期末）如圖的正方形網(wǎng)格中，像點(diǎn)A、點(diǎn)B這樣網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以AB為邊的等腰三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都屬于格點(diǎn)，這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)（

）A．10個(gè) B．8個(gè) C．6個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的定義，分AB為底和腰兩種情況解答即可求解，掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，分以下情況討論：①當(dāng)AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有6個(gè)：C②當(dāng)AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)：C∴點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6+4=10個(gè)，故選：A．【變式6-1】（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)P也在格點(diǎn)上，并使得以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．【答案】6【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)．結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角三角形ABP的底邊；②AB為等腰直角三角形ABP的一條腰；接下來分別找出上述兩種情況下滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，然后相加即可得到答案．【詳解】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰直角三角形ABP的底邊時(shí)，符合條件的P點(diǎn)有2個(gè)；②AB為等腰直角三角形ABP的一條腰時(shí)，符合條件的P點(diǎn)有4個(gè)．所以使得△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P有6個(gè)．【變式6-2】（24-25七年級下·上海楊浦·期末）如圖，點(diǎn)M、N是方格紙中的兩個(gè)格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)），在這個(gè)4×4方格紙中，找出格點(diǎn)P使△MNP為等腰三角形，那么滿足條件的格點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，畫出圖形即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，由圖得滿足條件的格點(diǎn)P有5個(gè)，故選：C．【變式6-3】（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，在8×6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為一個(gè)單位．(1)在圖①中畫出一個(gè)以BC為一邊，面積為12的三角形；(2)在圖②中畫出一個(gè)以AB為腰的等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要幾何圖形的變換，理解題意，根據(jù)圖形的面積公式及等腰三角形的定義即可求解，解題的關(guān)鍵就是對圖形性質(zhì)的理解．（1）根據(jù)三角形的面積為12，由BC=6，可先構(gòu)造高為4的三角形ABC（2）直接取格點(diǎn)C，使AC=AB或【詳解】（1）解：如圖，△ABC（2）解：如圖，△ABC【題型7直線上已知兩點(diǎn)確定第三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】【例7】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．【答案】4【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個(gè)交點(diǎn)；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個(gè)交點(diǎn)；作AB的垂直平分線與BC有一個(gè)交點(diǎn)，即有1+2+1＝4個(gè)，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動手操作能力．【變式7-1】如圖，在矩形ABCD的邊上找到一點(diǎn)P，使得△AEP為等腰三角形，請畫出所有的點(diǎn)P【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的定義找到符合題意的點(diǎn)．【詳解】解：如圖，AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5，則共有5個(gè)點(diǎn)P，使得△AEP為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．【變式7-2】如圖，點(diǎn)O在直線l上，點(diǎn)A在直線l外.若直線l上有一點(diǎn)P使得△APO為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P位置有個(gè)【答案】4【分析】本題考查了等腰三角形的定義，垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，分三種情況求解，即可得到答案，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，①以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫弧，與直線l交于點(diǎn)P1、P此時(shí)OA=OP1=②以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與直線l交于點(diǎn)P3此時(shí)OA=OP③作OA的垂直平分線，與與直線l交于點(diǎn)P4此時(shí)OP4=即滿足條件的點(diǎn)P位置有4個(gè)，故答案為：4．【變式7-3】如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x,ON=x+2，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M【答案】x>4或【分析】本題考查等腰三角形的判定．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論，分別求解范圍即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)x=2時(shí)，即OM=MN=2，以M為圓心，以2為半徑的圓交OB于點(diǎn)則點(diǎn)P，M，N構(gòu)成的等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)．②如圖2．當(dāng)x=4時(shí)，即，過點(diǎn)M作MP⊥OB∴MP=∴MP=作MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，則P'此時(shí)，以點(diǎn)P，M，N構(gòu)成的等腰三角形的點(diǎn)恰好有2個(gè)．則當(dāng)x>4時(shí)，以P，M，N綜上，當(dāng)x>4或x=2時(shí)，以P，M，故答案為：x>4或【題型8求與圖形中任兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【例8】如圖，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．點(diǎn)P為直線BC上一動點(diǎn)，若點(diǎn)P與△A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據(jù)等角對等邊，從右到左依次考慮，即可得到所有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．熟練掌握等腰三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：如圖，∵在△ABC中，∠ABC=75°∴∠ACB當(dāng)∠CAP=∠CPA當(dāng)∠BAP=∠BPA當(dāng)∠PAB=∠PBA當(dāng)P與C重合時(shí)，△ABP當(dāng)P與B重合時(shí)，△ACP當(dāng)∠PAC=∠PCA當(dāng)∠CAP=∠CPA當(dāng)∠BAP=∠B