專題15.3等腰三角形（舉一反三講義）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等腰三角形的定義】 2【題型2等邊對(duì)等角】 2【題型3三線合一】 3【題型4等角對(duì)等邊】 5【題型5找出圖中的等腰三角形】 6【題型6格點(diǎn)中畫等腰三角形】 7【題型7直線上已知兩點(diǎn)確定第三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】 8【題型8求與圖形中任兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】 9知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)1.定義：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，相等的邊叫做腰．2.性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．3.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）．4.拓展：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°．知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．拓展：（1）“等角對(duì)等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊](méi)有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．（2）“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．【題型1等腰三角形的定義】【例1】（24-25七年級(jí)下·上海普陀·期末）已知兩個(gè)全等的直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為3和4，斜邊長(zhǎng)為5．如果將這兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)等腰三角形，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．18 C．16或18 D．14或16【變式1-1】（24-25七年級(jí)下·山東威海·期中）若方程組2x-y=6【變式1-2】（24-25八年級(jí)下·山東青島·期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a-b-c【變式1-3】（24-25八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在中國(guó)古代建筑中，有一種常見的裝飾元素叫做“斗拱”．斗拱由多個(gè)小木塊組成，它們之間通過(guò)榫卯結(jié)構(gòu)相互連接，形成了一種獨(dú)特的美感．如圖1，從正面觀察斗拱可發(fā)現(xiàn)其外輪廓形狀類似于一個(gè)等腰三角形．如圖2，若△ABC的周長(zhǎng)為24，一邊長(zhǎng)為6，則此等腰三角形的底邊長(zhǎng)是(

A．6 B．12 C．6或9 D．6或12【題型2等邊對(duì)等角】【例2】（24-25七年級(jí)下·重慶大渡口·期末）如圖，點(diǎn)E,?F在BC(1)求證：△ABF≌△(2)若∠AFB=42°,?【變式2-1】（24-25八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°得到△ADE，點(diǎn)C恰好落在DE上，則∠BCD【變式2-2】如圖，鋼架中，∠A=α，焊上等長(zhǎng)的鋼條P1P2，P2P3，P3P4【變式2-3】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，AB=AE，AC=(1)求證：△BAC(2)若AE平分∠BAC,∠EAC【題型3三線合一】【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足，則下列結(jié)論：（1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-1】（24-25八年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分線，則∠ACD【變式3-2】（24-25七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）補(bǔ)全過(guò)程或依據(jù)：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，連接CE，使得CE=AE解：∵在△ABC中，AB∴∠①=∠B∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)∴AD⊥BC∴∠∴∠CAD=90°-∠ACB=∵AE∴∠ACE=∠CAD∴∠ECD=∠ACB-∠【變式3-3】（24-25八年級(jí)上·福建南平·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE相交于點(diǎn)(1)求證：AB=(2)若AE=12【題型4等角對(duì)等邊】【例4】（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為27，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BC=8，BF=6A．18 B．19 C．21 D．23【變式4-1】（24-25八年級(jí)下·陜西·期中）如圖，△ABC中，∠A=∠BCA，將△ABC沿直線BC平移到△DCE的位置（使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B、C、【變式4-2】如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C，將△ABD沿AD所在直線翻折，點(diǎn)B在AC邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E，若AC=8，【變式4-3】（24-25八年級(jí)下·廣東深圳·期中）某市一座老式橋梁需進(jìn)行加固改造，工程師對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，如圖，△ABC為主梁框架，∠ABC是橋墩支撐角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程師計(jì)劃在∠BAC的角平分線處安裝鋼架AD，交底梁BC于點(diǎn)D，為確保穩(wěn)定性，必須過(guò)點(diǎn)B焊接加固鋼索BE，使得BE⊥AD，分別交(1)求證：加固后的△ABE(2)經(jīng)測(cè)量，主梁全長(zhǎng)AC為13米，關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)間距BD為5米，求原始支撐段AB的長(zhǎng)度．【題型5找出圖中的等腰三角形】【例5】（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【變式5-1】如圖所示，共有等腰三角形（

）A．2 B．3 C．5 D．4【變式5-2】如圖，四邊形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折后重合，連接BD交AC于點(diǎn)E，若AB∥CD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（24-25七年級(jí)上·山東淄博·期中）（1）如圖，已知△ABC≌△A1B1C1，D,

（2）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E,DE

（3）如圖，在△ABC中，∠BAC:∠B:∠C=3:1:1,①求∠ADE②寫出圖中所有的等腰三角形．

【題型6格點(diǎn)中畫等腰三角形】【例6】（24-25八年級(jí)上·福建福州·期末）如圖的正方形網(wǎng)格中，像點(diǎn)A、點(diǎn)B這樣網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以AB為邊的等腰三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都屬于格點(diǎn)，這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)（

）A．10個(gè) B．8個(gè) C．6個(gè) D．4個(gè)【變式6-1】（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)P也在格點(diǎn)上，并使得以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．【變式6-2】（24-25七年級(jí)下·上海楊浦·期末）如圖，點(diǎn)M、N是方格紙中的兩個(gè)格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)），在這個(gè)4×4方格紙中，找出格點(diǎn)P使△MNP為等腰三角形，那么滿足條件的格點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（

A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-3】（24-25八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，在8×6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)單位．(1)在圖①中畫出一個(gè)以BC為一邊，面積為12的三角形；(2)在圖②中畫出一個(gè)以AB為腰的等腰三角形．【題型7直線上已知兩點(diǎn)確定第三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】【例7】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．【變式7-1】如圖，在矩形ABCD的邊上找到一點(diǎn)P，使得△AEP為等腰三角形，請(qǐng)畫出所有的點(diǎn)P【變式7-2】如圖，點(diǎn)O在直線l上，點(diǎn)A在直線l外.若直線l上有一點(diǎn)P使得△APO為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P位置有個(gè)【變式7-3】如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x,ON=x+2，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M【題型8求與圖形中任兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【例8】如圖，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與△A．4個(gè) B．6個(gè)