第一章《勾股定理》單元測試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（

）A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，152．在?ABC中，，、、所對邊的長分別為a、b、c，若，，那么的值是（

）A．2 B．6 C．20 D．363．已知?ABC的三條邊分別為，下列條件不能判斷?ABC是直角三角形的是（

）A． B．C． D．4．如圖，在四邊形中，，相交于點(diǎn)O，且，若，，則的值為（

）A．12 B．20 C．25 D．265．如圖，在四邊形中，，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：“如圖，在?ABC中，，，求的長”．若設(shè)，則可列方程為（）A． B．C． D．7．下列選項(xiàng)中（圖中三角形都是直角三角形），不能用來驗(yàn)證勾股定理的是（

）A．B．C．D．8．如圖，?ABC是一張紙片，，現(xiàn)將其折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長為（

）A． B．2 C． D．9．如圖1，以直角三角形的三邊為邊長制作正方形紙片，它們的面積分別記為．現(xiàn)將正方形紙片放置在最大的正方形內(nèi)，如圖2，陰影部分面積記為，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．10．有一個邊長為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2025次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．2026 B．2025 C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．在直線L上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是、、、，則12．已知a、b、c是的三邊長，且滿足關(guān)系，則的形狀為．13．如圖，圓柱體的底面直徑為，高為，是上底面的直徑，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)處覓食，則爬行的最短路程為．14．如圖，在單位長度為1的的網(wǎng)格系中，?ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則．15．如圖1，這個圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖案的示意圖如圖2，其中四邊形和四邊形都是正方形，，，，是四個全等的直角三角形．若，則的長為．

16．若直角三角形三邊長為正整數(shù)，且周長與面積數(shù)值相等，則稱此三角形為“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的斜邊長為三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題；每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．在中，．(1)若，，則______；(2)已知，，求、的值．18．在中，，，．(1)求邊和的長；(2)求?ABC的面積．19．學(xué)過《勾股定理》后，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組的隊(duì)員們來到操場上測量旗桿的高度，通過測量得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離為1米，到旗桿的距離為12米（如圖2）．根據(jù)以上信息，解答下列問題(1)設(shè)旗桿米，則______米，______米（用含的式子表示）(2)求旗桿的值．20．如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點(diǎn)，，道路因?yàn)槭┕ば枰忾]，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點(diǎn)（，，在同一條直線上），并新修一條道路，已知，，．(1)是否為村莊到河邊最近的道路？請通過計算加以說明；(2)已知新的取水點(diǎn)與原取水點(diǎn)相距，求新路比原路少多少千米．21．如圖，點(diǎn)M、N把線段依次分成、、三段，若以、、為邊組成的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段的“勾股分點(diǎn)”．(1)若，，，則點(diǎn)M、N______線段的“勾股分點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；(2)若M、N是線段的“勾股分點(diǎn)”，，，且是組成的直角三角形的一條直角邊，求的長．22．小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實(shí)驗(yàn)后，利用數(shù)學(xué)知識對其作了進(jìn)一步的探究．如圖1，在一個支架的橫桿點(diǎn)O處用一根細(xì)繩懸掛一個小球A，讓小球A可以自由擺動．如圖2，表示小球靜止時的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時，使小球從擺到位置，此時過點(diǎn)B作于點(diǎn)D．當(dāng)小球擺到位置時，與互相垂直（點(diǎn)A，B，O，C在同一平面內(nèi)），過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，測得，．(1)求證：；(2)求的長．23．如圖，在?ABC中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，．(1)如圖1，若，求的長；(2)如圖2，若點(diǎn)在的平分線上，求的長．24．我們規(guī)定：三角形任意一條邊的“邊高差”等于這條邊與這條邊上高的長度之差．如圖1，?ABC中，為邊上高，邊的“邊高差”等于，記為．(1)如圖2，若?ABC中，，，，則；(2)若?ABC中，，，求的值；(3)若?ABC中，，邊上的高為15，求的值．25．【問題提出】勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”．（1）在我國最早對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形（直角邊分別為，，斜邊為）拼成，用它可以驗(yàn)證勾股定理；（2）圖2為美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”，它用兩個全等的直角三角形（直角邊分別為，，斜邊為）和直角邊為的等腰直角三角形拼成一個直角梯形，用它也可以驗(yàn)證勾股定理【問題解決】（1）在直角三角形中，直角邊分別為，，斜邊為，從上述兩種方法中，任選一種方法證明勾股定理；（2）勾股定理的驗(yàn)證過程體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是（

）；A．函數(shù)思想

B．整體思想

C．分類討論思想

D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【知識應(yīng)用】（3）如圖3，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點(diǎn)，，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)（，，在同一條直線上），并新修一條路，現(xiàn)測得千米，千米，千米，為最大限度節(jié)省鋪路的費(fèi)用（保證質(zhì)量的前提下），求新修路的長．參考答案一、選擇題1．D【分析】本題考查了勾股數(shù)，如果三個正整數(shù)滿足，那么這三個正整數(shù)就是勾股數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、，7，12，13不是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，3，3，4不是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；C、0.1，0.2，0.3不是正整數(shù)，0.1，0.2，0.3不是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，9，12，15是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．B【分析】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．在直角三角形中，利用勾股定理直接計算斜邊的平方即可．【詳解】解：根據(jù)題意，?ABC為直角三角形，，因此邊c為斜邊，a、b為直角邊，由勾股定理得：，代入已知條件，，得：，因此，的值為6，故選：B．3．A【分析】根據(jù)直角三角形的判定對各個條件進(jìn)行分析，從而得到答案．本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵，，∴最大角為，∴?ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、∵，∴，∴，∴?ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴最大角是，∴能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴，∴最大角為，∴?ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．4．C【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，，，，∵，，∴，∴的值為25．故選：C．5．D【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．連接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∵，，∴，∵∴，∴是直角三角形，，∴．故選：D．6．C【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．設(shè)，可知，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，∵，∴．∵在中，，，∴，即．故選：C．7．B【分析】本題考查了勾股定理的證明，對三角形和正方形面積公式的熟練掌握和運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．利用面積法證明勾股定理即可解決問題．【詳解】解：A、中間小正方形的面積；化簡得，可以證明勾股定理，本選項(xiàng)不符合題意．B、不能證明勾股定理，本選項(xiàng)符合題意．C、利用A中結(jié)論，本選項(xiàng)不符合題意．D、中間小正方形的面積；化簡得，可以證明勾股定理，本選項(xiàng)不符合題意，故選：B．8．A【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用；由勾股定理可得．根據(jù)翻折可得；設(shè)，根據(jù)圖形翻折可得，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，求解再進(jìn)一步解答即可．【詳解】解：，∴．根據(jù)翻折可得：，設(shè)，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，解得：．在直角三角形中，由勾股定理可得：．故選A．9．C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)陰影部分的面積等于，結(jié)合勾股定理得出，即可求解．【詳解】解：∵以直角三角形的三邊為邊長制作正方形紙片，它們的面積分別記為．∴又∵，∴，故選：C．10．A【分析】本題考查了勾股定理，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積正方形A的面積，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2025次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2026．故選：A．二、填空題11．4【分析】本題考查了全等三角形的證明，勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中證明三角形全等得到相鄰兩個正放的正方形面積和等于這兩個正方形間斜放的面積是解題的關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)證明，則可得，同理得，，由此即可求解．【詳解】解：如圖，由題意知，；∴，∴，∴，∴；∵，∴；同理得，，∴；故答案為：4．12．等腰直角三角形【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出△ABC的形狀．【詳解】解：∵，∴，∴，∴△ABC的形狀為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．13．13【分析】本題考查了勾股定理最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方體，再然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】如圖所示，將圓柱展開，∵圓柱體的底面直徑為，∴∵高為∴∴爬行的最短路程為．故答案為：13．14．【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)．取格點(diǎn)D，使得，，連接．證明，是等腰直角三角形即可求解．【詳解】解：，，取格點(diǎn)D，使得，，連接，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故答案為：15．5【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)正方形，全等三角形的性質(zhì)得到，，在中由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形和四邊形都是正方形，，，，是四個全等的直角三角形，∴，，∴，在中，，故答案為：5．16．10或13【分析】本題主要考查了勾股定理，設(shè)“完美直角三角形”的三邊長為，其中是斜邊，則可得方程組，進(jìn)而可得，再由，得到，即為正整數(shù))，據(jù)此討論求解即可．【詳解】解：設(shè)“完美直角三角形”的三邊長為，其中是斜邊，由題意得，由②得③，把③代入代入①得，∴，∴，∵，∴∴為正整數(shù))∴，當(dāng)時，，當(dāng)，則當(dāng)，則，當(dāng)，則；綜上所述，“完美直角三角形”的斜邊長為10或13；故答案為：10或13．三、解答題17．（1）解：∵，，，∴；故答案為：12；（2）解：，設(shè)，．又，，，即，（舍去負(fù)值），．18．（1）解：如圖所示，

∵，∴設(shè)，∵，∴∴∴∴，；（2）解：∵，∴?ABC的面積．19．（1）解：根據(jù)題意，得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米故繩長為米；根據(jù)題意，得到四邊形是矩形，得到米，故米，故答案為：；．（2）解：在中，

即

解得：

答：旗桿的值為17米．20．（1）∵，，∴．∴是直角三角形，且．∴．根據(jù)“垂線段最短”可知是村莊到河邊最近的道路．（2）∵，∴．在中，．由，可知新路比原路少21．（1）解：∵，，，∴，∴，，，∴，∴以，，為邊的三角形不是一個直角三角形，∴根據(jù)勾股分割點(diǎn)定義，M，N不是線段的勾股分割點(diǎn)，故答案為：不是；（2）∵點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，有兩種情況：①為斜邊時，有，設(shè)，則，∴；②為斜邊時，有，設(shè)，則，∴；∴的長為5或13，∴的長為或，∴的長為5或13．22．（1）證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：在中，，由（1）得，∴．23．（1）解：在?ABC中，，，，，設(shè)，則，在Rt中，，，；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，平分，，在與中，，（），，，設(shè)，則，在中，，，.24．（1）解：∵，∴?ABC為等腰