勘察設(shè)計(jì)注冊(cè)土木工程師考試（公共基礎(chǔ)）全真題庫及答案(2025年株洲)數(shù)學(xué)部分題目1設(shè)向量$\vec{a}=(1,2,-2)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{2}$答案與解析本題可根據(jù)向量的點(diǎn)積公式$\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta$來求解夾角$\theta$。-計(jì)算$\vec{a}\cdot\vec$：根據(jù)向量點(diǎn)積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，若$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec=(x_2,y_2,z_2)$，則$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。已知$\vec{a}=(1,2,-2)$，$\vec=(2,-1,1)$，可得：$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)+(-2)\times1=2-2-2=-2$-計(jì)算$\vert\vec{a}\vert$和$\vert\vec\vert$：根據(jù)向量模長的計(jì)算公式，若$\vec{a}=(x,y,z)$，則$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。對(duì)于$\vec{a}=(1,2,-2)$，有$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=3$；對(duì)于$\vec=(2,-1,1)$，有$\vert\vec\vert=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$。-計(jì)算$\cos\theta$：將$\vec{a}\cdot\vec=-2$，$\vert\vec{a}\vert=3$，$\vert\vec\vert=\sqrt{6}$代入$\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta$，可得：$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{-2}{3\times\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{9}$。但本題可通過觀察發(fā)現(xiàn)$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)+(-2)\times1=0$，根據(jù)向量垂直的充要條件：若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}\perp\vec$，即夾角$\theta=\frac{\pi}{2}$。所以答案選D。題目2求極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值。答案與解析本題可利用重要極限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$來求解。令$u=3x$，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$u\to0$。則$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\times\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}$。因?yàn)?u=3x$，所以$3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}$。根據(jù)重要極限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$，可得$3\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=3\times1=3$。所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$。物理部分題目1一定量的理想氣體，在溫度不變的情況下，體積從$V_1$膨脹到$V_2$，則氣體對(duì)外做功為（）A.$p_1V_1\ln\frac{V_2}{V_1}$B.$p_1V_1\ln\frac{V_1}{V_2}$C.$p_2V_2\ln\frac{V_2}{V_1}$D.$p_2V_2\ln\frac{V_1}{V_2}$答案與解析本題可根據(jù)理想氣體等溫過程的做功公式來求解。對(duì)于理想氣體的等溫過程，其狀態(tài)方程為$pV=\nuRT$（$\nu$為物質(zhì)的量，$R$為普適氣體常量，$T$為溫度），且氣體對(duì)外做功的計(jì)算公式為$W=\int_{V_1}^{V_2}p\mathrmiycyka4V$。由$pV=\nuRT$可得$p=\frac{\nuRT}{V}$，將其代入做功公式可得：$W=\int_{V_1}^{V_2}\frac{\nuRT}{V}\mathrmcgg4i4oV=\nuRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\mathrmkyko44iV$。根據(jù)積分公式$\int\frac{1}{V}\mathrmyocicwaV=\lnV+C$，可得：$W=\nuRT\lnV\big|_{V_1}^{V_2}=\nuRT\ln\frac{V_2}{V_1}$。又因?yàn)?p_1V_1=\nuRT$，所以$W=p_1V_1\ln\frac{V_2}{V_1}$。所以答案選A。題目2一平面簡諧波的波動(dòng)方程為$y=0.02\cos(10\pit-6\pix)$（SI），則該波的波長為（）A.$\frac{1}{3}$mB.$\frac{2}{3}$mC.$\frac{3}{2}$mD.3m答案與解析本題可根據(jù)平面簡諧波的波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式來求解波長。平面簡諧波的波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為$y=A\cos(\omegat-kx)$，其中$A$為振幅，$\omega$為角頻率，$k$為波數(shù)，且波數(shù)$k$與波長$\lambda$的關(guān)系為$k=\frac{2\pi}{\lambda}$。已知波動(dòng)方程為$y=0.02\cos(10\pit-6\pix)$，與標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比可得$k=6\pi$。由$k=\frac{2\pi}{\lambda}$可得$\lambda=\frac{2\pi}{k}$，將$k=6\pi$代入可得：$\lambda=\frac{2\pi}{6\pi}=\frac{1}{3}$m。所以答案選A。化學(xué)部分題目1在$25^{\circ}C$時(shí)，反應(yīng)$N_2(g)+3H_2(g)\rightleftharpoons2NH_3(g)$的標(biāo)準(zhǔn)平衡常數(shù)$K^{\ominus}=6.0\times10^5$，若在該溫度下，某時(shí)刻測(cè)得系統(tǒng)中$p(N_2)=100$kPa，$p(H_2)=300$kPa，$p(NH_3)=200$kPa，則此時(shí)反應(yīng)（）A.向正反應(yīng)方向進(jìn)行B.向逆反應(yīng)方向進(jìn)行C.處于平衡狀態(tài)D.無法判斷反應(yīng)方向答案與解析本題可通過計(jì)算反應(yīng)的反應(yīng)商$Q$，并與標(biāo)準(zhǔn)平衡常數(shù)$K^{\ominus}$比較來判斷反應(yīng)方向。對(duì)于反應(yīng)$N_2(g)+3H_2(g)\rightleftharpoons2NH_3(g)$，其反應(yīng)商$Q$的表達(dá)式為：$Q=\frac{(\frac{p(NH_3)}{p^{\ominus}})^2}{(\frac{p(N_2)}{p^{\ominus}})(\frac{p(H_2)}{p^{\ominus}})^3}$其中$p^{\ominus}=100$kPa。將$p(N_2)=100$kPa，$p(H_2)=300$kPa，$p(NH_3)=200$kPa代入上式可得：$Q=\frac{(\frac{200}{100})^2}{(\frac{100}{100})(\frac{300}{100})^3}=\frac{4}{1\times27}=\frac{4}{27}\approx0.148$。已知標(biāo)準(zhǔn)平衡常數(shù)$K^{\ominus}=6.0\times10^5$，因?yàn)?Q\ltK^{\ominus}$，根據(jù)化學(xué)平衡移動(dòng)原理，當(dāng)$Q\ltK^{\ominus}$時(shí)，反應(yīng)向正反應(yīng)方向進(jìn)行。所以答案選A。題目2下列物質(zhì)中，屬于兩性氧化物的是（）A.$Na_2O$B.$Al_2O_3$C.$SO_3$D.$CaO$答案與解析本題可根據(jù)兩性氧化物的定義來判斷各物質(zhì)是否為兩性氧化物。兩性氧化物是指既能與酸反應(yīng)生成鹽和水，又能與堿反應(yīng)生成鹽和水的氧化物。-選項(xiàng)A：$Na_2O$是堿性氧化物，它能與酸反應(yīng)生成鹽和水，如$Na_2O+2HCl=2NaCl+H_2O$，但不能與堿反應(yīng)，所以不屬于兩性氧化物。-選項(xiàng)B：$Al_2O_3$既能與酸反應(yīng)生成鹽和水，如$Al_2O_3+6HCl=2AlCl_3+3H_2O$；又能與堿反應(yīng)生成鹽和水，如$Al_2O_3+2NaOH=2NaAlO_2+H_2O$，所以$Al_2O_3$是兩性氧化物。-選項(xiàng)C：$SO_3$是酸性氧化物，它能與堿反應(yīng)生成鹽和水，如$SO_3+2NaOH=Na_2SO_4+H_2O$，但不能與酸反應(yīng)，所以不屬于兩性氧化物。-選項(xiàng)D：$CaO$是堿性氧化物，它能與酸反應(yīng)生成鹽和水，如$CaO+2HCl=CaCl_2+H_2O$，但不能與堿反應(yīng)，所以不屬于兩性氧化物。所以答案選B。力學(xué)部分題目1一簡支梁受均布載荷作用，梁長為$l$，均布載荷集度為$q$，則梁跨中截面的彎矩為（）A.$\frac{ql^2}{8}$B.$\frac{ql^2}{4}$C.$\frac{ql^2}{2}$D.$ql^2$答案與解析本題可根據(jù)簡支梁受均布載荷作用時(shí)的彎矩計(jì)算公式來求解跨中截面的彎矩。對(duì)于簡支梁受均布載荷作用，其支座反力為$F_{A}=F_{B}=\frac{ql}{2}$（$A$、$B$為支座）。取梁的左半部分為研究對(duì)象，以跨中截面為研究點(diǎn)，根據(jù)彎矩的計(jì)算方法，跨中截面的彎矩$M$等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和。在左半部分梁中，均布載荷對(duì)跨中截面形心的力矩可通過積分計(jì)算，也可利用均布載荷的合力（大小為$\frac{ql}{2}$，作用點(diǎn)在左半部分梁的中點(diǎn)）來計(jì)算。均布載荷合力對(duì)跨中截面形心的力矩為$\frac{ql}{2}\times\frac{l}{4}$，左支座反力對(duì)跨中截面形心的力矩為$\frac{ql}{2}\times\frac{l}{2}$。則跨中截面的彎矩$M=\frac{ql}{2}\times\frac{l}{2}-\frac{ql}{2}\times\frac{l}{4}=\frac{ql^2}{4}-\frac{ql^2}{8}=\frac{ql^2}{8}$。所以答案選A。題目2已知一平面匯交力系中各力的大小分別為$F_1=10$N，$F_2=20$N，$F_3=30$N，各力之間的夾角分別為$\alpha_{12}=60^{\circ}$，$\alpha_{23}=60^{\circ}$，求該力系的合力大小。答案與解析本題可采用解析法來求解平面匯交力系的合力大小。建立直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算各力在$x$軸和$y$軸上的投影，然后根據(jù)合力投影定理求出合力在$x$軸和$y$軸上的投影，最后根據(jù)勾股定理求出合力大小。設(shè)$F_1$沿$x$軸正方向，則$F_1$在$x$軸和$y$軸上的投影分別為：$F_{1x}=F_1=10$N，$F_{1y}=0$。$F_2$在$x$軸和$y$軸上的投影分別為：$F_{2x}=F_2\cos60^{\circ}=20\times\frac{1}{2}=10$N，$F_{2y}=F_2\sin60^{\circ}=20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$N。$F_3$在$x$軸和$y$軸上的投影分別為：$F_{3x}=F_3\cos120^{\circ}=30\times(-\frac{1}{2})=-15$N，$F_{3y}=F_3\sin120^{\circ}=30\times\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$N。根據(jù)合力投影定理：合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。則合力