七、空間向量與立體幾何——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．設(shè)A，B，C，D是空間中4個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是().A.若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C.若，，則D.若，，則1．答案：C解析：若AC與BD共面，則A，B，C，D四點(diǎn)共面，故AD與BC共面，A中命題正確；假設(shè)AD與BC不是異面直線，則AD與BC共面，于是AC與BD共面，這與AC與BD是異面直線矛盾，故AD與BC是異面直線，B中命題正確；如圖所示，，，但不能推出，C中命題錯(cuò)誤；若，，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則，，，故平面ADE，又平面ADE，所以，D中命題正確.故選C.2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式.人們還用過(guò)一些類似的近似公式.根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是().A. B. C. D.2．答案：D解析：由，解得.設(shè)，則，將選項(xiàng)A中的常數(shù)代入得；將選項(xiàng)B中的常數(shù)代入得；將選項(xiàng)C中的常數(shù)代入得；將選項(xiàng)D中的常數(shù)代入得.故D的值最接近的真實(shí)值.3．選擇題（1）如果兩條直線a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a與b().A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線（2）設(shè)直線a，b分別是長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則a與b().A.平行 B.相交C.是異面直線 D.可能相交，也可能是異面直線（1）答案：D解析：根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，可得如果兩條直線a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么m與n可能平行，也可能是異面直線故選：D.（2）答案：D解析：如圖，長(zhǎng)方體中，當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時(shí)，a與b相交；當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時(shí)，a與b異面故選：D.4．平面與平面平行的充分條件可以是().A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行B.直線，，且直線a不在內(nèi)，也不在內(nèi)C.直線，直線，且，D.內(nèi)的任何一條直線都與平行4．答案：D解析：A：內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行，則面與面可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；B：直線，，且直線a不在與內(nèi)，則面與面可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；C：直線，直線，且，，則面與面可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；D：內(nèi)的任何直線都與平行，內(nèi)任取兩條相交的直線平行于，由面面平行的判定知，正確.故選：D.5．[2024年安徽高考真題]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為()A. B. C. D.5．答案：B解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因?yàn)樗鼈兊母呔鶠?，且?cè)面積相等，所以，得，所以圓錐的體積，故選B.6．[2021年遼寧高考真題]正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A. B. C. D.6．答案：D解析：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.7．[2024年黑龍江高考真題]已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為()A. B.1 C.2 D.37．答案：B解析：設(shè)正三棱臺(tái)的高為h，三條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P，作平面ABC于點(diǎn)O，PO交平面于點(diǎn)，連接，，如圖所示.由，可得，，又，，所以正三棱臺(tái)的體積，解得，故.由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，O為底面ABC的中心，則，因?yàn)槠矫鍭BC，所以是與平面ABC所成的角，在中，，故選B.8．[2025屆·黑龍江·模擬考試]如果直線l與平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么直線l與平面的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直 C.相交 D.直線在平面內(nèi)8．答案：A解析：如果直線l與平面沒(méi)有公共點(diǎn),則,故選:A.9．[2025屆·廣東肇慶·三模]P是正四棱柱表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)直線與正四棱柱六個(gè)面所成角的大小相等時(shí)，與所成角的余弦值為()A. B. C. D.9．答案：A解析：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則易知平面一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面、平面、平面所成的角分別為，，，由已知可得.又，，，所以有.又由P是正四棱柱表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，易知，，，所以.若P是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)A重合，舍去；若P是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)A重合，舍去；若P是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)A重合，舍去；若P是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)P可以為；若P是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，沒(méi)有滿足條件的點(diǎn)；若P是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知，，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，重復(fù)舍去.綜上所述，.所以.又，所以，與所成角的余弦值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題10．下列命題正確的是().A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面 D.梯形可確定一個(gè)平面10．答案：BD解析：平面上不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B正確；如果圓上兩點(diǎn)和圓心共線，不能確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；梯形上下底是兩平行直線，可以確定一個(gè)平面，故D正確；故選：BD.11．[2025年湖南高考真題]在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則()A. B.平面C. D.平面11．答案：BD解析：錯(cuò)誤項(xiàng)分析：A（×）由三棱柱的性質(zhì)可知，平面ABC，則，假設(shè)，又，平面，所以平面，矛盾，所以AD與不垂直.B（√）因?yàn)槿庵钦庵云矫鍭BC，則，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，，所以，又，平面，所以平面，又，所以平面.錯(cuò)誤項(xiàng)分析：C（×），與AB相交，所以AD與異面.D（√），平面，平面，所以平面.故選BD.12．[2022年湖北高考真題]已知正方體,則()A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為12．答案：ABD解析：如圖,連接、,因?yàn)?所以直線與所成的角即為直線與所成的角,因?yàn)樗倪呅螢檎叫?則,故直線與所成的角為,A正確;連接,因?yàn)槠矫?平面,則,因?yàn)?,所以平面,又平面,所以,故B正確;連接,設(shè),連接,因?yàn)槠矫?平面,則,因?yàn)?,所以平面,所以為直線與平面所成的角,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則,,,所以,直線與平面所成的角為,故C錯(cuò)誤;因?yàn)槠矫?所以為直線與平面所成的角,易得,故D正確.故選:ABD13．[2023年云南高考真題]已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為，則()A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為13．答案：AC解析：對(duì)于A，連接，，，，，圓錐的體積，故A正確.對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，OD.，，D為AC的中點(diǎn)，，.即為二面角的平面角，，又底面圓，底面圓，，，，，故C正確.對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選AC.三、填空題14．一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球（即正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球面上），過(guò)球心作一截面，則截面的圖形可能是___________.14．答案：（1）（2）（3）解析：當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得圖（3）；當(dāng)截面過(guò)正方體的體對(duì)角線時(shí)得圖（2）；當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過(guò)體對(duì)角線時(shí)得圖（1）；但無(wú)論如何都不能截出圖（4）.15．在正方體中，下列說(shuō)法正確的是__________.①平面；②AC與相交；③點(diǎn)，到平面的距離相等；④與AB平行的面只有一個(gè)，與AB垂直的面有兩個(gè).15．答案：①③解析：如圖所示，對(duì)于①，平面平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于②，AC與異面，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，平面，平面，且，所以，點(diǎn)、到平面的距離相等，命題③正確；對(duì)于④，與AB平行的平面有平面和平面，與AB垂直的面有平面和平面，命題④錯(cuò)誤.故答案為：①③.16．填空題（1）一個(gè)幾何體由7個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這個(gè)幾何體是__________.（2）一個(gè)多面體最少有__________個(gè)面，此時(shí)這個(gè)多面體是__________.16．答案：（1）正五棱柱（2）4；三棱錐或四面體解析：（1）如圖所示：由題意一個(gè)幾何體由7個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的五邊形，故此幾何體是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形，故五棱柱的上下底面邊長(zhǎng)相等且側(cè)棱與底面垂直，根據(jù)正棱柱的定義可知該幾何體是正五棱柱.故答案為：正五棱柱.（2）根據(jù)多面體的定義可知，一個(gè)多面體最少有4個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，它的名稱是三棱錐或四面體.故答案為：4；三棱錐或四面體.17．[2025春·高一·內(nèi)蒙古包頭·期中?？糫已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面直徑為__________m.17．答案：解析：設(shè)圓錐的底面半徑為，直徑為d，母線長(zhǎng)為l，所以，，，解得，即.故答案為：.18．如圖，在長(zhǎng)方體的各條棱所在直線中.（1）與直線AB垂直的直線有__________條；（2）與直線AB異面且垂直的直線有__________條；（3）與直線AB和都垂直的直線有__________條；（4）與直線AB和都垂直且相交的直線是直線__________.18．答案：（1）8（2）4（3）4（4）解析：（1）與直線AB垂直的直線有：，，，，，，，，共8條.（2）與直線AB異面且垂直的直線由，，，，共4條.（3）與直線AB和都垂直的直線有，，，，共4條.（4）與直線AB和都垂直且相交的直線是直線.故答案為：8；4；4；.19．[2023年云南高考真題]底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為__________.19．答案：28解析：棱臺(tái)的兩底