中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)案例一、問題解決教學(xué)的價(jià)值與定位在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，問題解決不僅是教學(xué)的目標(biāo)之一，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。它超越了傳統(tǒng)知識傳授的范疇，致力于引導(dǎo)學(xué)生在面對真實(shí)、復(fù)雜或具有挑戰(zhàn)性的情境時(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法去分析問題、構(gòu)建模型、尋求解法，并對過程與結(jié)果進(jìn)行反思和評價(jià)。這種教學(xué)模式，有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提升其邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力，最終培養(yǎng)其獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識。因此，將問題解決理念融入日常教學(xué)設(shè)計(jì)，是落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求、提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的必然選擇。二、教學(xué)設(shè)計(jì)案例：“中點(diǎn)四邊形”的探究與發(fā)現(xiàn)（一）教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自初中幾何內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的性質(zhì)與判定之后進(jìn)行的一節(jié)專題探究課?！爸悬c(diǎn)四邊形”是一個經(jīng)典的幾何問題，其結(jié)論的得出與原四邊形的對角線密切相關(guān)，探究過程能夠很好地體現(xiàn)從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，適合開展問題解決教學(xué)。（二）教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：學(xué)生能夠理解中點(diǎn)四邊形的概念；通過探究，掌握任意四邊形中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對角線之間的關(guān)系，并能運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行證明和應(yīng)用。2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察——猜想——驗(yàn)證——推理——概括——拓展”的問題解決過程，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，提升幾何直觀和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：在探究活動中，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生主動參與、合作交流的意識，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣和成功的喜悅。（三）教學(xué)重難點(diǎn)*重點(diǎn)：探究并證明任意四邊形中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對角線的關(guān)系。*難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生從對角線的角度分析中點(diǎn)四邊形的形狀成因；輔助線的構(gòu)造與合理推理。（四）教學(xué)方法與手段采用“問題引領(lǐng)、自主探究、合作交流、教師點(diǎn)撥”相結(jié)合的教學(xué)方法。借助幾何畫板等多媒體工具輔助教學(xué)，增強(qiáng)直觀性，激發(fā)探究興趣。（五）教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題（問題的引入與初步感知）*教師活動：*（出示一個普通的四邊形ABCD）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了各種特殊的四邊形。今天，我們來玩一個“中點(diǎn)游戲”。請大家在紙上任意畫一個四邊形ABCD，然后順次連接各邊的中點(diǎn)E、F、G、H，得到一個新的四邊形EFGH。大家動手畫一畫，觀察一下，這個新的四邊形是什么形狀的呢？*給學(xué)生2-3分鐘時(shí)間動手操作，并鼓勵他們相互交流所畫圖形的形狀。*學(xué)生活動：動手畫圖，觀察，小組內(nèi)交流?？赡軙玫狡叫兴倪呅?、矩形、菱形等不同答案（取決于初始四邊形的選擇）。*設(shè)計(jì)意圖：通過簡單的動手操作，創(chuàng)設(shè)輕松的探究氛圍，讓學(xué)生初步感知“中點(diǎn)四邊形”的存在，并產(chǎn)生認(rèn)知沖突（為什么有的同學(xué)畫出來是平行四邊形，有的是矩形？），從而自然地引出本節(jié)課的研究主題。2.初步探究，形成猜想（問題的細(xì)化與規(guī)律的初步探尋）*教師活動：*提問：同學(xué)們畫出來的四邊形EFGH大多是什么形狀？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)大多是平行四邊形）*追問：是不是任意一個四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形呢？我們能不能想辦法驗(yàn)證一下？*引導(dǎo)學(xué)生回憶：如何判定一個四邊形是平行四邊形？（兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等、對角線互相平分等）*啟發(fā)：要說明EH∥FG且EH=FG，或者EF∥HG且EF=HG，我們可以利用什么已知條件？（中點(diǎn)）中點(diǎn)能聯(lián)想到什么重要的幾何性質(zhì)？（三角形中位線定理）*引導(dǎo)學(xué)生連接原四邊形的一條對角線，例如AC。*學(xué)生活動：思考教師提出的問題，嘗試連接對角線AC，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。利用三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半），可以得到EH是△ABD的中位線，F(xiàn)G是△CBD的中位線，從而EH∥AC，EH=1/2AC；FG∥AC，F(xiàn)G=1/2AC。因此EH∥FG且EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形。*教師活動：規(guī)范學(xué)生的證明過程，并板書。*結(jié)論1：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。*再追問：既然都是平行四邊形，那為什么有的同學(xué)畫出來的中點(diǎn)四邊形是矩形或者菱形呢？這說明中點(diǎn)四邊形的形狀還可能與原四邊形的什么因素有關(guān)？（引導(dǎo)學(xué)生從原四邊形的特殊性入手思考）*學(xué)生活動：思考，可能會猜測與原四邊形的形狀有關(guān)（如原四邊形是矩形、菱形等）。*設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，通過邏輯推理證明“任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形”這一基本事實(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力。同時(shí)，通過追問，將探究引向深入，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究中點(diǎn)四邊形特殊形狀的欲望。3.深入探究，揭示本質(zhì)（問題的深化與規(guī)律的精準(zhǔn)把握）*教師活動：*我們知道，平行四邊形是特殊的四邊形，它還可以進(jìn)一步特殊化為矩形、菱形、正方形。那么，原四邊形具備什么條件時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形會是矩形呢？*引導(dǎo)學(xué)生回顧：矩形是特殊的平行四邊形，它特殊在哪里？（有一個角是直角，或?qū)蔷€相等）*提出探究任務(wù)：請大家小組合作，嘗試改變原四邊形ABCD的形狀，特別是關(guān)注它的對角線，看看當(dāng)原四邊形的對角線滿足什么條件時(shí)，其中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形。可以利用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示（教師操作或?qū)W生分組操作）。*學(xué)生活動：小組合作，利用幾何畫板（或畫圖）進(jìn)行探究。通過拖動原四邊形的頂點(diǎn)，改變其對角線AC、BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，觀察中點(diǎn)四邊形EFGH的變化。*可能會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)原四邊形的對角線互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形。*教師活動：*組織學(xué)生匯報(bào)探究結(jié)果，并引導(dǎo)他們進(jìn)行證明。*啟發(fā)：要使平行四邊形EFGH成為矩形，需要有一個角是直角。如何利用原四邊形對角線互相垂直的條件得到∠HEF=90°？（提示：EH∥AC，EF∥BD，AC⊥BD，則EH⊥EF）*學(xué)生活動：嘗試寫出證明過程，并進(jìn)行展示交流。*教師活動：*類似地，引導(dǎo)學(xué)生探究：原四邊形對角線滿足什么條件時(shí)，其中點(diǎn)四邊形是菱形？（對角線相等）原四邊形對角線滿足什么條件時(shí)，其中點(diǎn)四邊形是正方形？（對角線互相垂直且相等）*每個結(jié)論都要求學(xué)生先提出猜想，再進(jìn)行邏輯證明。*設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的核心探究環(huán)節(jié)。通過小組合作和幾何畫板的輔助，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系。在“猜想-驗(yàn)證-證明”的過程中，深化學(xué)生對幾何圖形性質(zhì)的理解，提升邏輯推理和合作探究能力。4.總結(jié)提升，形成體系（問題的解決與知識的結(jié)構(gòu)化）*教師活動：*引導(dǎo)學(xué)生共同總結(jié)：*任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是__________。*若原四邊形的對角線互相垂直，則中點(diǎn)四邊形是__________。*若原四邊形的對角線相等，則中點(diǎn)四邊形是__________。*若原四邊形的對角線互相垂直且相等，則中點(diǎn)四邊形是__________。*提問：如果原四邊形是特殊的四邊形，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等，它們的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？（引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合上述結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)）*學(xué)生活動：思考，回答，并解釋理由。例如，矩形的對角線相等，所以其中點(diǎn)四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直，所以其中點(diǎn)四邊形是矩形；正方形的對角線互相垂直且相等，所以其中點(diǎn)四邊形是正方形。*設(shè)計(jì)意圖：通過表格或板書形式進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，幫助學(xué)生梳理知識脈絡(luò)，形成清晰的知識結(jié)構(gòu)。同時(shí)，將新學(xué)知識與已有知識（特殊四邊形的性質(zhì)）聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)知識的融會貫通。5.應(yīng)用拓展，鞏固深化（問題的延伸與能力的遷移）*教師活動：出示幾道不同層次的練習(xí)題：1.（基礎(chǔ)題）已知一個四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.對角線相等的四邊形2.（中檔題）若一個四邊形的對角線互相垂直，且長度分別為6和8，則這個四邊形的中點(diǎn)四邊形的周長和面積分別是多少？3.（拓展題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)。求證：四邊形EGFH是菱形。*學(xué)生活動：獨(dú)立思考，完成練習(xí)，小組內(nèi)交流解法。*設(shè)計(jì)意圖：通過不同層次的練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對所學(xué)知識的掌握程度，鞏固重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。拓展題則進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決復(fù)雜問題的能力。6.課堂小結(jié)，反思提升（問題的回顧與思維的升華）*教師活動：*引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：什么是中點(diǎn)四邊形？中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的什么因素有關(guān)？具體有哪些關(guān)系？*提問：在探究這些結(jié)論的過程中，我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論等）*鼓勵學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲與體會，以及在探究過程中遇到的困難和解決方法。*學(xué)生活動：回顧，總結(jié)，分享。*設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的知識要點(diǎn)和思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力和反思習(xí)慣，提升學(xué)習(xí)的有效性。7.布置作業(yè)，延伸探究（問題的拓展與持續(xù)學(xué)習(xí)）*必做題：教材配套練習(xí)中相關(guān)習(xí)題。*選做題（探究性作業(yè)）：1.已知一個三角形的中點(diǎn)三角形（連接三邊中點(diǎn)得到的三角形）是等邊三角形，則原三角形是什么三角形？為什么？2.嘗試探究：四邊形的“中點(diǎn)四邊形”的面積與原四邊形面積之間有什么關(guān)系？*設(shè)計(jì)意圖：必做題鞏固基礎(chǔ)知識，選做題則為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步探究的空間，激發(fā)其持續(xù)學(xué)習(xí)和研究的興趣。三、案例解讀與教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)案例以“中點(diǎn)四邊形”這一具體問題為載體，完整地呈現(xiàn)了問題解決教學(xué)的一般流程。在設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中，需關(guān)注以下幾點(diǎn)：1.問題驅(qū)動是核心：整個教學(xué)過程圍繞“中點(diǎn)四邊形的形狀由什么決定”這一核心問題展開，并通過一系列子問題引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究。問題的設(shè)置由淺入深，層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。2.學(xué)生主體是關(guān)鍵：通過動手操作、小組討論、自主探究等多種形式，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和積極性。教師的角色更多是引導(dǎo)者、組織者和合作者，而非知識的灌輸者。3.思維訓(xùn)練是重點(diǎn)：在探究過程中，特別注重對學(xué)生邏輯推理能力、幾何直觀能力和空間想象能力的培養(yǎng)。鼓勵學(xué)生大膽猜想，并引導(dǎo)他們進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。4.技術(shù)輔助是手段：幾何畫板等信息技術(shù)工具的恰當(dāng)運(yùn)用，為學(xué)生提供了動態(tài)直觀的探究平臺，有效突破了傳統(tǒng)教學(xué)中靜態(tài)演示的局限，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成猜想。5.教學(xué)預(yù)設(shè)與生成的平衡：教師在課前對教學(xué)過程有充分的預(yù)設(shè)，但在實(shí)際教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生的即時(shí)反應(yīng)和生成性問題，靈活調(diào)整教學(xué)策略，真正做到以學(xué)定教。在實(shí)際教學(xué)中，可能會遇到學(xué)生在證明環(huán)節(jié)存在困難，或者對“對角線”這一關(guān)鍵因素的聯(lián)想不夠順暢。此時(shí)，教師需要耐心引導(dǎo)，通過恰當(dāng)?shù)奶釂柡蛦l(fā)，幫助學(xué)生搭建思維的橋梁。同時(shí)，對于學(xué)生在探究過程中出現(xiàn)的錯誤或不完整的認(rèn)識，應(yīng)視為寶貴的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生共同分析、修正，從而深化理解。四、實(shí)施問題解決教學(xué)的建議1.精選問題是前提：選擇的問題應(yīng)具有挑戰(zhàn)性、趣味性和探究性，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)概念和思想方法。2.營造氛圍是基礎(chǔ)：建立民主、平等、和諧的師生關(guān)系，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑、積極思考、勇于表達(dá)自己的見解。3.適時(shí)引導(dǎo)是保障：教師要把握好引導(dǎo)的時(shí)機(jī)和尺度，既要給學(xué)生充分的自主探究空間，又要在關(guān)鍵時(shí)刻給予點(diǎn)撥和幫助，避免學(xué)生