中考數(shù)學(xué)截長(zhǎng)補(bǔ)短解題思路及例題在中考數(shù)學(xué)的幾何證明題中，我們常常會(huì)遇到一些涉及線段和差關(guān)系的問題，比如證明“某線段等于另外兩條線段之和”或“某線段等于另外兩條線段之差”。這類問題如果直接證明，往往會(huì)感到無(wú)從下手。這時(shí)候，一種重要的輔助線添加策略——“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，就能發(fā)揮其獨(dú)特的作用。掌握了這種方法，很多看似復(fù)雜的幾何難題便能迎刃而解。一、截長(zhǎng)補(bǔ)短法的核心思路“截長(zhǎng)補(bǔ)短”是兩種類似但方向相反的輔助線作法，其核心思想都是通過構(gòu)造全等三角形（或其他全等圖形），將分散的線段關(guān)系集中起來(lái)，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。1.截長(zhǎng)法：顧名思義，就是在較長(zhǎng)的線段上截取一段，使其等于兩條較短線段中的一條。然后，只需證明截剩下的部分等于另一條較短線段即可。例如，要證明線段`a+b=c`，其中`c`是最長(zhǎng)的線段。我們可以在`c`上截取一段`d`，使得`d=a`，然后證明剩下的部分`c-d=b`。2.補(bǔ)短法：與截長(zhǎng)法相反，補(bǔ)短法是將兩條較短線段中的一條延長(zhǎng)，使得延長(zhǎng)后的總長(zhǎng)度等于另一條較短線段，或者將一條短線段延長(zhǎng)，使其等于最長(zhǎng)線段，然后證明延長(zhǎng)的部分等于另一條短線段。例如，要證明線段`a+b=c`。我們可以延長(zhǎng)線段`a`，使其延長(zhǎng)部分為`b`（即延長(zhǎng)后的線段長(zhǎng)度為`a+b`），然后證明這個(gè)延長(zhǎng)后的線段等于`c`；或者延長(zhǎng)線段`a`至`d`，使`d=c`，然后證明延長(zhǎng)的部分`d-a=b`。二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法的解題步驟（以證明`a+b=c`為例）1.觀察結(jié)論，明確目標(biāo)：確認(rèn)要證明的結(jié)論是線段和差關(guān)系，例如`a+b=c`。2.選擇方法，嘗試構(gòu)造：*若用截長(zhǎng)法：在長(zhǎng)線段`c`上截取一段等于`a`（或`b`），得到兩條新線段。*若用補(bǔ)短法：將短線段`a`（或`b`）延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)部分等于`b`（或`a`），得到一條新的長(zhǎng)線段。3.證明全等（或其他關(guān)系），實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化：通過構(gòu)造的輔助線，創(chuàng)造出全等三角形的條件，證明所截取或延長(zhǎng)后的線段與目標(biāo)線段相等。4.得出結(jié)論：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（或其他已證關(guān)系），推導(dǎo)出原結(jié)論成立。三、例題解析例題1（補(bǔ)短法）已知：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D。求證：AB+BD=AC。分析：要證`AB+BD=AC`，這是典型的線段和差關(guān)系。我們可以考慮使用“補(bǔ)短法”，將AB延長(zhǎng)，或者將BD補(bǔ)到AB上。證明：（補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。）1.構(gòu)造輔助線：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。2.利用等角對(duì)等邊：因?yàn)锽E=BD，所以∠E=∠BDE。又因?yàn)椤螦BD是△BDE的外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。3.結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化：已知∠ABC=2∠C，而∠ABC=∠ABD，所以2∠E=2∠C，即∠E=∠C。4.證明三角形全等：因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△AED和△ACD中：∠E=∠C，∠EAD=∠CAD（公共角的一部分，AD是角平分線），AD=AD（公共邊），所以△AED≌△ACD（AAS）。5.得出結(jié)論：由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得AE=AC。而AE=AB+BE，且BE=BD（輔助線作法），所以AE=AB+BD。因此，AB+BD=AC。證畢。例題2（截長(zhǎng)法）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在CD邊上，且∠EAF=45°。求證：EF=BE+DF。分析：要證`EF=BE+DF`，同樣是線段和差。正方形的性質(zhì)很多，邊長(zhǎng)相等，四個(gè)角都是直角，這為構(gòu)造全等提供了便利。我們可以嘗試“截長(zhǎng)法”，在EF上截取一段等于BE或DF。證明：（截長(zhǎng)法：在EF上截取EG=BE，連接AG。）1.構(gòu)造輔助線：在EF上截取EG=BE，連接AG。2.證明第一組全等：在△ABE和△AGE中：AB=AG（待證，或考慮證全等），BE=GE（輔助線作法），AE=AE（公共邊）。（此處直接SSS條件不足，我們換個(gè)思路，先證角相等）考慮到∠EAF=45°，∠BAD=90°，所以∠BAE+∠DAF=45°。若能證明∠GAE=∠BAE，∠GAF=∠DAF，則問題可解。（或者，我們也可以用補(bǔ)短法：延長(zhǎng)CB至G，使BG=DF，連接AG，證明△ADF≌△ABG，再證△AEF≌△AEG，這種補(bǔ)短法可能更常見也更直觀。為了展示截長(zhǎng)，我們嘗試完成截長(zhǎng)的思路。）（截長(zhǎng)法續(xù)）假設(shè)我們已截取EG=BE。在△ABE和△AGE中，AE=AE，BE=GE。若能證∠ABE=∠AGE=90°，則可用HL?！螦GE=180°-∠AGF。若能證∠AGF=∠ADF=90°，且AG=AD，GF=DF，則問題解決。這似乎又繞回了需要證明AG=AD和GF=DF，與補(bǔ)短法異曲同工。（為了更清晰展示，我們調(diào)整為更優(yōu)的補(bǔ)短法）證明（補(bǔ)短法，更優(yōu)）：1.構(gòu)造輔助線：延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG。2.證明第一組全等：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°，所以∠ABG=∠D=90°。在△ABG和△ADF中：AB=AD，∠ABG=∠D，BG=DF，所以△ABG≌△ADF（SAS）。因此，AG=AF，∠BAG=∠DAF。3.角度轉(zhuǎn)化：因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°。所以∠GAE=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45°，即∠GAE=∠EAF。4.證明第二組全等：在△AEG和△AEF中：AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE（公共邊），所以△AEG≌△AEF（SAS）。5.得出結(jié)論：因此，EG=EF。而EG=BE+BG=BE+DF（因?yàn)锽G=DF），所以EF=BE+DF。證畢。四、方法歸納與技巧提醒1.輔助線的描述要規(guī)范：在證明過程中，輔助線的作法要清晰、準(zhǔn)確地寫出，例如“延長(zhǎng)XX至點(diǎn)X，使XX=XX”，“在XX上截取XX=XX”。2.全等是核心工具：截長(zhǎng)補(bǔ)短法的目的往往是構(gòu)造全等三角形，因此要熟悉全等三角形的判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），并善于從圖形中尋找或創(chuàng)造這些條件（如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、垂直平分線性質(zhì)等）。3.多角度嘗試：有些題目既可以用截長(zhǎng)法，也可以用補(bǔ)短法，甚至多種變式。不要拘泥于一種思路，嘗試從不同角度構(gòu)造輔助線。4.結(jié)合圖形性質(zhì)：充分利用題目中圖形的特殊性，如等腰三角形、等邊三角形、正方形、菱形等的性質(zhì)，它們往往能為截長(zhǎng)補(bǔ)短提供便利。5.勤加練習(xí)，善于總結(jié)：幾何輔助線的添加需要經(jīng)驗(yàn)積累。通過大量練習(xí)，熟悉常見模型（如角平分線模型、半角模型等），才能在考試中快速找到突破口。五、結(jié)語(yǔ)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”是解決中考數(shù)學(xué)中線段