2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第06講函數(shù)的概念與表示（精講）①函數(shù)的判斷與相同函數(shù)的判斷②給出函數(shù)解析式求解定義域③抽象函數(shù)定義域的求法④函數(shù)值域的求法（八大類(lèi)型）⑤函數(shù)解析式的求法（五大類(lèi)型）⑥分段函數(shù)一、必備知識(shí)整合一、必備知識(shí)整合一、函數(shù)的概念(1)一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù).記作：，.集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為.(2)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書(shū)寫(xiě)方式為，(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.(5)同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.二、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域.三、基本初等函數(shù)的值域(1)的值域是.(2)的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?3)的值域是.(4)且的值域是.(5)且的值域是.五、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．提醒：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．二、考點(diǎn)分類(lèi)精講二、考點(diǎn)分類(lèi)精講【題型一函數(shù)的判斷與相同函數(shù)的判斷】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).【典例1】（單選題）（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，一、單選題1．（23-24高一上·重慶·期中）已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如下圖所示，則的值為（

）12343A． B．0 C．3 D．42．（22-23高一上·北京西城·期中）下列圖象中，不是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）下列圖象中，能表示函數(shù)圖象的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③4．（23-24高一上·北京豐臺(tái)·期中）下列圖象中，表示定義域和值域均為的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

5．（23-24高三上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．6．（15-16高一上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．， B．，C．， D．，7．（22-23高一上·上海青浦·階段練習(xí)）下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A．與 B．與C．與 D．與8．（2023高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，在下列四個(gè)圖形中，能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的有（

）

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【題型二給出函數(shù)解析式求解定義域】已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域：若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集．(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．【典例1】（22-23高一上·甘肅臨夏·期末）求函數(shù)定義域：(1)；(2)．一、單選題1．（23-24高一下·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，其定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·浙江·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為，且炮彈距地面的高度（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系為．該函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·浙江麗水·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C．且 D．且二、填空題5．（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?．（23-24高一上·北京·期中）求函數(shù)的定義域7．（23-24高一上·山西長(zhǎng)治·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?8．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數(shù)的定義域．9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋⒔獯痤}10．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函數(shù)的定義域(1)(2)(3)11．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，且，求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【題型三抽象函數(shù)定義域的求法】抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．提醒：明確定義域是自變量“x”的取值范圍．【典例1】求下列函數(shù)的定義域：(1)已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，2]，求函數(shù)的定義域；(2)已知函數(shù)的定義域[1，2]，求函數(shù)的定義域；(3)已知函數(shù)的定義域[1，2]，求函數(shù)的定義域.一、單選題1．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．（22-23高一上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．二、填空題6．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.7．（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.8．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋绢}型四函數(shù)值域的求法（八大類(lèi)型）】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域.（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）.(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法.【典例1】（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．一、單選題1．（23-24高三上·寧夏固原·階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·新疆·期中）下列函數(shù)的定義域與值域相同的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·安徽宣城·開(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù)，則的最小值為（

）A．0 B．2 C． D．35．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域?yàn)?若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（23-24高一下·廣東梅州·期中）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則（

）A．4 B．5 C．8 D．10二、多選題8．（23-24高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．是偶函數(shù)C．的值域?yàn)镈．9．（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B． C． D．三、填空題10．（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)?11．（23-24高一上·廣東珠?！て谀┖瘮?shù)的值域?yàn)?12．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是．13．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?4．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）時(shí)，的值域?yàn)?四、解答題15．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）求函數(shù)的值域．16．（23-24高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.(1)時(shí)，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.17．（22-23高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知．(1)若時(shí)，求的值域；(2)函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，求a的取值范圍．【題型五函數(shù)解析式的求法（五大類(lèi)型）】函數(shù)解析式的常見(jiàn)求法【典例1】（22-23高一上·廣東惠州·期中）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求解析式；（2）已知，求的解析式．【典例2】（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2），求的解析式.一、單選題1．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）圖象是以為頂點(diǎn)且過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則（

）A．11 B．9 C．7 D．53．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意均滿足：則函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．25．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，則（

）A． B．C． D．二、多選題6．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函數(shù)滿足，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)則（）A． B．C．的最小值為-1 D．的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)三、填空題8．（23-24高一上·湖北荊門(mén)·階段練習(xí)）已知滿足，則解析式為．9．（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)滿足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的函數(shù)的解析式.10．（22-23高三·廣東深圳·階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為.四、解答題11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數(shù)，且，求；(4)定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的解析式．12．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式.【題型六分段函數(shù)】1．分段函數(shù)求值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值．(2)當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類(lèi)討論，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)．2．求參數(shù)或自變量的值解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(lái)(取并集)即可．3．分段函數(shù)與不等式問(wèn)題解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類(lèi)討論．如果分段函數(shù)的圖象比較容易畫(huà)出，也可以畫(huà)出函數(shù)圖象后，結(jié)合圖象求解．【典例1】（單選題）（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【典例2】（單選題）（2024·江西南昌·二模）已知，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【典例3】（單選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高一下·陜西西安·期中）設(shè)函數(shù)，則（

）A．6 B．9 C．12 D．152．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）已知函數(shù)，存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西銅川·三模）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·湖北荊門(mén)·期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值