2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（精講）①對數(shù)式的化簡與求值②對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)③解對數(shù)方程與不等式④對數(shù)型復(fù)合函數(shù)⑤對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用一、必備知識整合一、必備知識整合一、對數(shù)式的運(yùn)算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；二、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)二、考點(diǎn)分類精講二、考點(diǎn)分類精講【題型一對數(shù)式的化簡與求值】對數(shù)運(yùn)算的一般思路轉(zhuǎn)化①利用ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)對題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化；②利用換底公式化為同底數(shù)的對數(shù)運(yùn)算恒等式注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的應(yīng)用拆分將真數(shù)化為積、商或底數(shù)的指數(shù)冪形式，正用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡合并將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)形式，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算【典例1】（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）計算：(1)；(2).【典例2】（單選題）（2024·云南楚雄·一模）垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù)．已知某種垃圾的分解率與時間（月）近似滿足關(guān)系（其中、為正常數(shù)），經(jīng)過個月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過個月，這種垃圾的分解率為，則這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（

）個月（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·河南開封·三模）已知，則（

）A． B． C． D．32．（2024·山東聊城·二模）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·青?！つM預(yù)測）若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－24．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．5．（2024·全國·三模）若，則的值是（

）A．零 B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) D．以上皆有可能二、多選題6．（23-24高三上·河南焦作·階段練習(xí)）下列等式成立的是（）A． B．C． D．7．（23-24高三上·安徽六安·期末）地震釋放的能量E與地震震級M之間的關(guān)系式為，2022年9月18日我國臺灣地區(qū)發(fā)生的6.9級地震釋放的能量為，2023年1月28日伊朗西北發(fā)生的5.9級地震釋放的能量為，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼馬拉什省發(fā)生的7.7級地震釋放的能量為，下列說法正確的是（

）A．約為的10倍B．超過的100倍C．超過的10倍D．低于的10倍三、填空題8．（2024·北京海淀·一模）已知，則.9．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若，，則.10．（2024·河南鄭州·三模）已知，則的值為．【題型二對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時，常利用數(shù)形結(jié)合思想．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．2.比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進(jìn)行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較【典例1】（單選題）（23-24高一上·山東濱州·期末）若函數(shù)（，且）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)與圖象對應(yīng)正確的為（

）A． B．C． D．【典例2】（單選題）（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的圖象恒過定點(diǎn)，冪函數(shù)過點(diǎn)，則為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（單選題）（23-24高三上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．一、單選題1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．2．（2024·山東聊城·三模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖南長沙·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南·一模）已知，若，則（

）A． B．C． D．5．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的最小值為，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是.7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a＝，則f(f(a))＝．8．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為.9．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為.【題型三解對數(shù)方程與不等式】求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法logax＞logab借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論logax＞b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解【典例1】（單選題）已知，則x的值為（

）A．1 B．32 C．64 D．16【典例2】（單選題）（2024·遼寧·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·河南·模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若的值域是，則的值為（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的解為（

）A． B．或 C．或 D．或4．（23-24高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）宇宙之大，粒子之微，無處不用到數(shù)學(xué)．2023年諾貝爾物理學(xué)獎頒給了“阿秒光脈沖”，光速約為阿秒等于．一尺之棰，日取其半，萬世不竭，一根米長的木棰，第一次截去總長的一半，以后每次截去剩余長度的一半，至少需要截（

）次才能使其長度小于光在阿秒內(nèi)走的距離．（參考數(shù)據(jù)：）A．30 B．31 C．32 D．33二、填空題5．（2024·北京西城·二模）函數(shù)的定義域是．6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）若，則.7．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）方程的解是.8．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，則不等式的解集為.【題型四對數(shù)型復(fù)合函數(shù)】求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟一求求出函數(shù)的定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論二判判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，分a＞1與0＜a＜1兩種情況判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．(1)若過定點(diǎn)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若值域為，求a的取值范圍．一、單選題1．（23-24高二下·四川·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）已知函數(shù)，則是（

）A．奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)二、填空題4．（23-24高三上·四川廣安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域是.5．（23-24高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的值域是.6．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是.【題型五對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用】解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點(diǎn)(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)．(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行．(3)轉(zhuǎn)化時一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性．【典例1】（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.一、單選題1．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（22-23高一上·上海普陀·階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍