2025-2026學(xué)年香山中學(xué)高三級8月月考數(shù)學(xué)科試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知z＝－1－i，則|z|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2【答案】C[因?yàn)閦＝－1－i，所以|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2).故選C．2.設(shè)集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，即，此時，由，得，而，所以.3.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】令，則，即，f1=0，所以曲線在處的切線方程為，即4.已知函數(shù)，則不等式解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得到不等式解集.【詳解】當(dāng)時，，解得，與求交集得，當(dāng)，，解得，與求交集得，故的解集為.故選：B5.設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對一切成立，于是.故選：A6.已知且且且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.【詳解】因?yàn)椋?，同理，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)?，故，即，而，故，同理，，，因?yàn)?，故，所?故選：D．7.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A、10B、20C、25D、50【答案】C解：由得，即，由基本不等式得，當(dāng)且時，等號成立。8.已知若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，,則,當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時，.當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時，.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，所以與的圖象有兩個交點(diǎn)，由圖可知或.所以的取值范圍為.故選C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．A．?x∈R，x2－x＋1>0B．“”是“”的必要不充分條件C．若命題：，，則的否定為：，D．若，則【答案】ABC【詳解】對于選項(xiàng)A：，故A選項(xiàng)為真命題；對于選項(xiàng)B：因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件，故B選項(xiàng)為真命題；對于選項(xiàng)D：若，則，，故D選項(xiàng)為假命題.10.已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，則()A．f(x)的定義域是(－6,4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0,4]上單調(diào)遞增AB[由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋6＞0，,4－x＞0，))解得－6＜x＜4，即f(x)的定義域是(－6,4)，則A正確；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因?yàn)閥＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上單調(diào)遞增，在(－1,4)上單調(diào)遞減，y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－6，－1)上單調(diào)遞增，在(－1,4)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，則B正確；因?yàn)閒(x)在(－6，－1)上單調(diào)遞增，在(－1,4)上單調(diào)遞減，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，則C錯誤；因?yàn)閒(x)在(－1,4)上單調(diào)遞減，所以D錯誤11.已知函數(shù)f(x)的定義域是R，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(2x－1)＋1是奇函數(shù)，則()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函數(shù)f(x)的一個周期D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝9對稱BC[因?yàn)閒(2x－1)＋1是R上的奇函數(shù)，所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]，整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2.令x＝0，得2f(－1)＝－2，解得f(－1)＝－1，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1)＝－1，B正確；將2x替換為x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①，又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，將x替換為x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②，由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③，則f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④，③－④得f(x＋4)＝f(x)，故4是函數(shù)f(x)的一個周期，C正確；因?yàn)閒(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，－1)中心對稱，又因?yàn)?是函數(shù)f(x)的一個周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)關(guān)于點(diǎn)(9，－1)中心對稱，D錯誤；因?yàn)閒(x)關(guān)于點(diǎn)(1，－1)中心對稱，故點(diǎn)(0，f(0))與點(diǎn)(2，f(2))關(guān)于點(diǎn)(1，－1)中心對稱，無法得到f(0)＝－1，A錯誤．故選BC．]三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量若，則___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因?yàn)椋瑒t，則，解得.則，則.故答案為：.13.已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，則a＝________.【答案】e[(1)因?yàn)閒(ln2)＝aln2，f(ln4)＝aln4，所以f(ln2)f(ln4)＝aln2·aln4＝aln2＋ln4＝a3ln2＝(aln2)3＝8，所以aln2＝2，所以a＝e.14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x＞1，,ax－2，x≤1，))若對任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】(1,2]解析：因?yàn)閷θ我鈞1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x＞1，,ax－2，x≤1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＞0，,loga1≥a－2，))解得1＜a≤2.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值解：（1），………………2分則，………………3分由題意可得，………………4分解得；………………5分（2）由，故，其定義域?yàn)椤?分則，………………7分故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，…9分故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，……11分故有極大值，………………12分有極小值………………13分（本小題滿分15分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義可求得，可得其通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，………………2分解得（舍去），………………4分所以.即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.………………6分（2）由（1）知①，………………8分所以②.………………10分①－②得………………12分…………13分所以.………………15分（本小題滿分15分）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即eq\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1.………………2分從而f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝－f(－1)知eq\f(－2＋1,4＋a)＝－eq\f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.………………5分所以a＝2，b＝1.經(jīng)驗(yàn)證滿足f(x)是奇函數(shù)．………………6分(2)由(1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，………………7分由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價(jià)于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．………………9分因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，………………12分從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq\f(1,3).………………14分故實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).………………15分（本小題滿分17分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)的值．【詳解】（1）由題意得的定義為，且，……………2分當(dāng)時，恒成立，此時在上單調(diào)遞減；……………3分當(dāng)時，令，則或，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；…4分當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，……………6分此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；……………8分綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；……………9分當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；……………10分（2）由（1）可得當(dāng)時，為減函數(shù)則無最小值，所以，……………12分當(dāng)時，即時，取得極小值也是最小值，…14分所以，解得或，……………16分故函數(shù)的最小值為，實(shí)數(shù)的值為或.……………17分19.(本小題滿分17分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝2an－n＋1.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,an－bn，n為偶數(shù)，))求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)的和．解析：(1)證明：當(dāng)n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0...................1分由題意Sn＝2an－n＋1①得：則Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1②，...................2分②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1，...................3分即an＋1＝2an＋1，...................4分所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2....................5分又因?yàn)閍1＋1＝1，...................6分所以{an＋1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．...................7分(2)由(1)知an＋1＝2n-1，則an＝2n－1－1，...................9分所以bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1－1，n為奇數(shù)，,2n－1－1－bn，n為偶數(shù)，))...................10分且b1＝a2＝22-1－1＝1，......