四川省內(nèi)江市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在平面直角坐標系中，已知角的始邊是軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解，利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】因為角終邊經(jīng)過點，所以，故.故選：C.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的坐標表示，共軛復(fù)數(shù)定義可得答案.【詳解】由題意知，則.故選：A4.已知正三角形的邊長為4，那么的直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以BC中點O為原點，BC為x軸建立直角坐標系，再畫出直觀圖形，根據(jù)，，,即可得到答案.【詳解】解：如圖所示，以BC中點O為原點，BC為x軸建立直角坐標系，再即可得到的直觀圖如下圖所示：則的面積為：.故選：B.5.在△中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理，可得，從而可設(shè)，，進而結(jié)合余弦定理，可求出答案.【詳解】由正弦定理，可得，設(shè)，則，由余弦定理，可得.故選：B.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事件為“向上的點數(shù)不超過3”，則概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】滿足向上的點數(shù)是偶數(shù)或向上的點數(shù)不超過3的點數(shù)有：五種情況，得到答案.【詳解】滿足向上的點數(shù)是偶數(shù)或向上的點數(shù)不超過3的點數(shù)有：五種情況，故.故選：.【點睛】本題考查了概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.7.在中，為其內(nèi)部一點，且滿足，則和的面積比是A.3：4 B.3:2 C.1:1 D.1:3【答案】D【解析】【詳解】取中點,則由得,所以,在線段上,因此，選D.8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將圖象上的所有點向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)有下列四個說法，其中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的一條對稱軸為直線C.函數(shù)的一個對稱中心坐標為D.再向左平移個單位得到的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象求得的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，根據(jù)的最小正周期、對稱軸、對稱中心、圖象變換等知識確定正確答案.【詳解】對于，由圖可知，，，，由于，所以，所以.圖象上的所有點向右平移個單位得到函數(shù)，的最小正周期為，A選項錯誤.，B選項錯誤.點的縱坐標是，所以不是的對稱中心，C選項錯誤.再向左平移個單位得到，所得函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項正確.故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于樣本數(shù)據(jù)5，2，7，9，8，11，說法正確的是（）A.中位數(shù)為7 B.中位數(shù)為7.5 C.極差為9 D.方差為2【答案】BC【解析】【分析】AB選項，將數(shù)據(jù)從小到大排列，從而利用中位數(shù)的定義進行求解；C選項，利用極差的定義計算即可；D選項，先計算出平均數(shù)，從而計算出方差.【詳解】AB選項，按照從小到大排序如下：2,5,7,8,9,11，共6個數(shù)據(jù)，所以第3和第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，A錯誤，B正確；C選項，極差為，C正確；D選項，平均數(shù)為，故方差為，D錯誤.故選：BC10.已知向量，，下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則與夾角的正弦值為C.若，則 D.若，則或16【答案】BD【解析】【分析】對A，根據(jù)向量共線求出可判斷；對B，根據(jù)數(shù)量積關(guān)系求出即可判斷；對C，根據(jù)垂直關(guān)系求出可判斷；對D，求出，根據(jù)模為13求出可判斷.【詳解】對A，因為．所以．解得，A錯誤；對B，若，則，，，則，B正確；對C，因為．所以，解得，C錯誤；對D，因為，所以，解得或16，D正確．故選：BD.11.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中，正確的命題是（

）A.在中，若，則B.若，則等腰三角形C.若在線段上，且，則的面積為8D.若，動點在所在平面內(nèi)且，則動點軌跡的長度為【答案】ACD【解析】【詳解】利用正弦定理結(jié)合三角形中大邊對大角，可判斷A；化簡條件得到，求得或，可判定B；設(shè)，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，結(jié)合面積公式，可判定C；根據(jù)題意得到點在以為弦的一個圓上，結(jié)合正弦定理和圓的性質(zhì)，以及弧長公式，可判定D．【分析】對于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因為，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由在線段上，且，，，，則，設(shè)，在中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，則，所以的面積為，故C正確；對于D，在中，因為，，則點在以為弦的一個圓上，由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，當(dāng)點在外部時，如圖所示，因為，可得，所以，所以的長度為，同理，當(dāng)點在內(nèi)部時，可得對應(yīng)的弧長也是，所以動點的軌跡的長度為，故D正確．故選：ACD.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的圓心角為，半徑為6，則該扇形的面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式，求出結(jié)果即可.【詳解】由扇形面積公式，得.故答案為：.13.已知，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式，對已知條件進行變換，進而求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)二倍角公式，由得，即，根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以.故答案為：14.如圖，在中，斜邊，，在以為直徑的半圓上有一點（不含端點），，設(shè)的面積，的面積.（1）若，求______；（2）令則的最大值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)已知用表示出、，分別由、并結(jié)合三角恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，求或面積的最大值.【詳解】因為中，，，所以，，，又因為為以為直徑的半圓上一點，所以，中，，，，作于點，則，，，若，則，因為，所以，即，整理得，所以，；由，則，因為，所以，當(dāng)時，即，有最大值．故答案為：，四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.某學(xué)校高一新生體檢，校醫(yī)室為了解新生的身高情況，隨機抽取了100名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)（單位:），制作成頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計這100名同學(xué)身高的上四分位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從中抽出一個容量為17的樣本，如果樣本按比例分配，則各區(qū)間應(yīng)抽取多少人?【答案】（1）176.25（2）7人，6人，4人【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，再由百分位數(shù)的定義列方程求解即得；（2）根據(jù)抽樣比即可計算出各組應(yīng)抽取的人數(shù).【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.35，第三組的頻率為，第四組的頻率為0.20，第五組的頻率為0.10，則解得，因為前3組的頻率和為0.7，前4組的頻率和為0.9，所以第75百分位數(shù)在第四組，不妨設(shè)，則m?175解得，即第75百分位數(shù)約為176.25；【小問2詳解】根據(jù)題意，第組應(yīng)抽取人，第組應(yīng)抽取人，第組應(yīng)抽取人.16.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）求的周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化，然后再利用余弦定理可計算得角；（2）由正弦定理可表示出，然后將三角形的周長表示為角的三角函數(shù)，然后求解值域.【詳解】（1）由題意得，，，∴由正弦定理可得.又.（2）由及正弦定理得，..由得，，∴當(dāng)，即時，.【點睛】解三角形中關(guān)于邊的最值的問題的求解一般利用正弦定理邊角互化，轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的值域求解.17.已知函數(shù).（1）化簡的解析式；（2）若為銳角，且，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡計算即得；（2）利用條件先求出和，再由sinβ=sinα+β?α展開求得和【小問1詳解】fx【小問2詳解】fα=255即，由題意，，則0<α+故，sinα+因，則，由，因為銳角，故，則得.18.如圖所示，平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，F(xiàn)為BC上一點，且．（1）以，為基底表示向量與；（2）若，，與的夾角為，求．（3）設(shè)線段AM、HF的交點為，在（2）的條件下，求的余弦值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量的線性運算及向量的中點表示即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算律即可求解；（3）利用（1）（2）及向量的數(shù)量積運算律，結(jié)合向量的模公式及向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，．，.【小問2詳解】由（1）知，，，，，與的夾角為，,.【小問3詳解】由（1）（2）知，，，，，，，，，，因為線段AM、FM的交點為，所以就是向量與的夾角，所以.故的余弦值為.19.已知（1）求的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，①求m的取值范圍；②求的值.【答案】（1）（2）①或②【解析】【分析】（1）由三角恒等