第九講顯式非線性動態(tài)分析

王慎平北京怡格明思工程技術(shù)有限公司

顯式動力學方法顯式動力學過程概述顯式動力學求解器與隱式求解器，比如ABAQUS/Standard，是互為補充的。從用戶的角度出發(fā)，隱式與顯式方法顯著的區(qū)別為：顯式方法需要小的時間增量。只與模型的最高自然頻率相關(guān)。與載荷類型和載荷持續(xù)時間無關(guān)。一般的，增量步的數(shù)量級為10,000到1,000,000個增量，但是每個增量步內(nèi)的計算費用相對較小。顯式動力學過程概述應力波的傳播應力波傳播的例子說明了顯式動力學方法的求解過程：沒有迭代，或求解線性方程組?？紤]應力波沿著三個桿單元傳播問題。在時間增加的過程中，研究桿的狀態(tài)。質(zhì)量被集中到節(jié)點。桿的初始構(gòu)型，自由端有一個集中力P顯式動力學過程概述第一個增量步結(jié)束時的構(gòu)型顯式動力學過程概述第三個增量步開始時桿的構(gòu)型第二個增量步開始時桿的構(gòu)型顯式時間積分

ABAQUS/Explicit應用中心差分方法對運動方程進行顯示的時間積分，應用一個增量步的動力學條件計算下一個增量步的動力學條件。在增量步開始時，程序求解動力學平衡方程，表示為用節(jié)點質(zhì)量矩陣M乘以節(jié)點加速度等于節(jié)點的合力（在所施加的外力P與單元內(nèi)力I之間的差值）：在當前增量步開始時（t時刻），計算加速度為：由于顯式算法總是采用一個對角的、或者集中的質(zhì)量矩陣，所以求解加速度并不復雜，不必同時求解聯(lián)立方程。任何節(jié)點的加速度是完全取決于節(jié)點質(zhì)量和作用在節(jié)點上的合力，使得節(jié)點計算的成本非常低。對加速度在時間上進行積分采用中心差分方法，在計算速度的變化時假定加速度為常數(shù)。應用這個速度的變化值加上前一個增量步中點的速度來確定當前增量步中點的速度：速度對時間的積分并加上在增量步開始時的位移以確定增量步結(jié)束時的位移：這樣，在增量步開始時提供了滿足動力學平衡條件的加速度。得到了加速度，在時間上“顯式地”前推速度和位移。所謂“顯式”是指在增量步結(jié)束時的狀態(tài)僅依賴于該增量步開始時的位移、速度和加速度。這種方法精確地積分常值的加速度。為了使該方法產(chǎn)生精確的結(jié)果，時間增量必須相當小，這樣在增量步中加速度幾乎為常數(shù)。由于時間增量步必須很小，一個典型的分析需要成千上萬個增量步。幸運的是，因為不必同時求解聯(lián)立方程組，所以每一個增量步的計算成本很低。大部分的計算成本消耗在單元的計算上，以此確定作用在節(jié)點上的單元內(nèi)力。單元的計算包括確定單元應變和應用材料本構(gòu)關(guān)系（單元剛度）確定單元應力，從而進一步地計算內(nèi)力。顯式動力學求解過程總結(jié)：1.節(jié)點計算

a.動力學平衡方程

b.對時間顯式積分2.單元計算

a.根據(jù)應變速率，計算單元應變增量

b.根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計算應力

c.集成節(jié)點內(nèi)力

3.設(shè)置時間

t為，返回到步驟1。

顯式時間積分方法的優(yōu)越性顯式方法特別適用于求解需要分成許多小的時間增量來達到高精度的高速動力學時間，諸如沖擊，碰撞，爆破問題等；2.接觸問題和其他一些極度非連續(xù)事件在顯式方法中很容易表達清楚并且能夠一個節(jié)點一個節(jié)點地求解而不需要迭代。節(jié)點加速度能夠用來調(diào)整外力和內(nèi)力在接觸中的平衡；3.顯式方法最顯著的特性是沒有整體切線剛度矩陣，而這是隱式方法所必須的。因為模型的狀態(tài)為顯式求解，所以不需要迭代和收斂準則；顯式方法的條件穩(wěn)定性基于時間段開始時刻t的模型狀態(tài)，應用顯式方法求解，模型的狀態(tài)通過時間的增量發(fā)生變化。狀態(tài)能夠發(fā)生變化而且要保留對問題的精確描述，一般的時間增量非常短。如果時間增量比最大的時間增量長，此時間增量就是所謂超出了穩(wěn)定極限。超過穩(wěn)定極限的可能后果就是數(shù)值不穩(wěn)定，會導致解答不收斂。一般不可能精確地確定穩(wěn)定極限，而是采用保守的估計值。穩(wěn)定極限對可靠性和精確性有很大的影響，所以必須一致和保守地確定。為了計算的有效性，ABAQUS/Explicit選擇盡可能接近而且不超過穩(wěn)定極限的時間增量。穩(wěn)定極限的定義穩(wěn)定極限是依據(jù)系統(tǒng)的最高頻率（

）來定義的。無阻尼時穩(wěn)定極限由下式定義：有阻尼時由下式定義：是具有最高頻率的模型的臨界阻尼比(為了控制高頻振動）

系統(tǒng)的實際最高頻率是基于復雜的一組相互作用的因素，要計算出確切的值是不大可行的。代替的辦法是應用一個有效、保守的簡單估算。不考慮模型整體，我們估算模型中每個單獨構(gòu)件的最高頻率，它常常與擴展的模態(tài)有關(guān)。可以觀察到由一個個單元為基礎(chǔ)確定的最高頻率常常比有限元組合模型的最高頻率要高。基于一個個單元的估算，穩(wěn)定極限可以用單元長度和材料波速重新定義：因為沒有明確怎么確定單元的長度，對于多數(shù)單元類型，例如，一個扭曲的四邊形單元，上述方程只是實際一個個單元的穩(wěn)定極限的估算。作為近似值，可以來用最短的單元尺寸，但是結(jié)果估算并不一定總是保守的。單元長度越短，穩(wěn)定極限越小。波速是材料的一個特性：

其中E是楊氏模量，是密度。材料的剛度越大，波速越高，結(jié)果是穩(wěn)定極限越小。密度越高，波速越低，結(jié)果是穩(wěn)定極限越大。我們對簡單的穩(wěn)定極限定義提供了一些直覺的理解。穩(wěn)定極限是擴展波通過由單元特征長度定義的距離的短暫時間。如果我們知道最小的單元尺寸和材料的波速，我們就能估算穩(wěn)定極限。例如，如果最小單元尺寸是5mm，擴展波速是5000m／s，穩(wěn)定時間增量就在1×10－6s量級。ABAQUS／Explicit的自動時間增量ABAQUS／Explicit在分析的過程中自動調(diào)整時間增量的大小，以使基于當前模型狀態(tài)的穩(wěn)定極限永不越界。時間增量是自動的，不需用戶干涉，甚至不需要建議初始的時間增量。穩(wěn)定極限是從數(shù)值模型得來的數(shù)學概念。因為有限元程序包含所有的相關(guān)細節(jié)，所以能夠確定出一個有效并且守的穩(wěn)定極限。ABAQUS／Explicit容許用戶在必要時可不考慮自動時間增量。質(zhì)量縮放控制時間增量因為質(zhì)量密度影響穩(wěn)定極限，在某些環(huán)境下，縮放質(zhì)量密度能夠潛在地提高分析的效率。例如，因為許多模型的復雜的離散性，有些區(qū)域常常包含著控制穩(wěn)定極限的非常小或者形狀極差的單元。這些控制單元常常數(shù)量很少并且可能存在于局部區(qū)域。通過只增加這些控制單元的質(zhì)量，穩(wěn)定極限可以顯著的增加，同時對模型整體動力學行為的影響是可以忽略的。ABAQUS/Explicit