PAGEPAGE二次函數(shù)自我評估（本試卷滿分120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列函數(shù)中，y一定是x的二次函數(shù)的是（）A.y=3x-7 B.y= C.y=3x2-7x+3 D.y=ax2-6x-22.已知（0，a）是拋物線y=x2-2x-3上一點，則a的值為（）A.-3 B.-1 C.0 D.33.拋物線y=x2-2x-1與x軸交點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.34.如圖是某小區(qū)一塊等腰直角三角形的綠地（△ABC），計劃在綠地內(nèi)建造一個矩形的休閑書吧PMBN，其中點P，M，N分別在邊AC，BC，AB上.記PM=x，圖中陰影部分的面積為S，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A.二次函數(shù)關(guān)系 B.正比例函數(shù)關(guān)系 C.反比例函數(shù)關(guān)系 D.一次函數(shù)關(guān)系 第4題圖 第8題圖 第10題圖5.已知拋物線y=（a-1）x2，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1 6.對于拋物線y=-（x-2）2+1，下列說法錯誤的是（）A.對稱軸是x=2 B.頂點坐標是（2，1） C.當(dāng)x>2時，y隨x的增大而減小 D.當(dāng)x=2時，y的最小值為17.若關(guān)于x的二次函數(shù)y=（a-3）x2+bx+a2-9的圖象過原點，則a的值為（）A.-3 B.3 C.±3 D.08.一副眼鏡的兩個鏡片下半部分輪廓分別對應(yīng)兩條拋物線的一部分，且在平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱，如圖所示（1cm對應(yīng)1個單位長度），AB∥x軸，AB=4cm，最低點C在x軸上，CH⊥AB且CH=1cm，BD=2cm，則輪廓線DFE所在拋物線的表達式為（）A.y=（x+3）2 B.y=（x-3）2 C.y=（x-4）2 D.y=（x-4）29.已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+1（a為常數(shù)，且a>0）的圖象上有A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y2<y3<y110.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）圖象的對稱軸為x=-1，則下列結(jié)論：①abc<0；②2a-b=0；③9a-3b+c<0；④a（m2-1）+b（m+1）≤0（m為任意實數(shù)）.其中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.若拋物線y=mx2-6x-9與x軸只有一個交點，則m的值為_____________.

12.若點（0，a），（4，b）都在拋物線y=（x-2）2上，則ab．（填“＞”“＜”或“=”）13.將拋物線y=3x2先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后，得到新拋物線的表達式是.14.某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離s（米）關(guān)于滑行時間t（秒）的函數(shù)表達式為s=-0.25t2+10t，則無人機著陸后滑行秒才能停下來.15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c<-1的解集是.第15題圖 第16題圖16.如圖，正方形OABC的邊長為2，OA與x軸負半軸的夾角為15°，點B在拋物線y=ax2（a<0）的圖象上，則a的值為.三、解答題（本大題共8小題，共66分）17.（每小題4分，共8分）求下列函數(shù)的最大（?。┲担海?）y=-x2+8x；（配方法） （2）y=3x2+5x+1.（公式法）18.（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a（x-3）2-1經(jīng)過點（2，1）.

（1）求該拋物線的表達式，并用描點法畫出圖象；

（2）將該拋物線向上平移___________個單位長度后，所得拋物線與x軸只有一個交點.19.（6分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A（-1，0），C（0，3）兩點，對稱軸為x=1.（1）求該二次函數(shù)的表達式和頂點坐標；（2）結(jié)合圖象，當(dāng)y<3時，直接寫出x的取值范圍.第19題圖 第20題圖20.（6分）如圖，過點B（1，0）的拋物線與直線y=x+b交于A（0，-4），C兩點.（1）求拋物線的表達式；（2）連接AB，求△ABC的面積.21.（8分）【新定義】我們定義兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數(shù)的“和諧值”.（1）求拋物線y=x2-2x+2與x軸的“和諧值”；（2）求拋物線y=x2-2x+2與直線y=x-1的“和諧值”.22.（10分）世界羽壇最高水平團體賽成都2024“湯尤杯”于4月27日至5月5日在成都高新體育中心舉行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公開亮相.某商場銷售該吉祥物，已知每套吉祥物的進價為20元，如果以單價30元銷售，那么每天可以銷售400套，根據(jù)經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20套.

（1）若商家每天想要獲取4320元的利潤，為了盡快清空庫存，銷售單價應(yīng)定為多少元？

（2）銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？23.（10分）如圖，取某一位置的水平線為x軸，建立平面直角坐標系后，小山坡AB可近似地看成拋物線l1：y1=的一部分.小蘇在點C處拋出小球，小球的運動軌跡為拋物線l2：y2=x2+bx+c的一部分，落在山坡的點D處（點D在小山坡AB坡頂?shù)挠覀?cè)）.（1）求小山坡AB的坡頂高度；（2）若AC=3米，且測得點D離y軸的水平距離為12米，求拋物線l2的表達式（不要求寫出自變量x的取值范圍）. 第23題圖 第24題圖 24.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-2x-3的頂點為A，與y軸交于點C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點B.（1）求拋物線的對稱軸及點B的坐標；（2）P為拋物線上一點，若S△PBC=2S△ABC，求點P的坐標；（3）當(dāng)拋物線y=x2-2x-3的自變量x滿足m≤x≤m+2時，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p-q=2，求m的值.二次函數(shù)自我評估參考答案答答案速覽一、1.C2.A3.C4.A5.B6.D7.A8.B9.D10.C二、11.-112.=13.y=3（x-3）2+214.2015.0<x<2.816.三、解答題見“答案詳解”答案詳解三、17.解：（1）由y=-x2+8x=-（x-4）2+16，得該函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，16）.因為-1<0，所以該函數(shù)有最大值，最大值為16.（2）在y=3x2+5x+1中，a=3，b=5，c=1，所以，.所以該函數(shù)圖象的頂點坐標為.因為3>0，所以該函數(shù)有最小值，最小值為.18.解：（1）把（2，1）代入y=a（x-3）2-1，得a（2-3）2-1=1，解得a=2.所以拋物線的表達式為y=2（x-3）2-1.用描點法畫出圖象略.（2）119.解：（1）因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點C（0，3），所以c=3.設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=ax2+bx+3.根據(jù)題意，得解得所以二次函數(shù)的表達式為y=-x2+2x+3.因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（1，4）.（2）x<0或x>2.20.解：（1）把A（0，-4）代入y=x+b，得b=-4.所以直線AC的函數(shù)表達式為y=x-4.令y=0，得x-4=0，解得x=5.所以C（5，0）.設(shè)拋物線的表達式為y=a（x-1）（x-5）.把A（0，-4）代入，得5a=-4，解得a=-.所以y=-（x-1）（x-5）=.所以拋物線的表達式為y=.（2）因為A（0，-4），B（1，0），C（5，0），所以BC=5-1=4.所以S△ABC=BC·OA=×4×4=8.21.解：（1）因為y=（x-1）2+1，所以拋物線上的點到x軸的最短距離為1. 所以拋物線y=x2-2x+2與x軸的“和諧值”為1.（2）設(shè)x=t，則函數(shù)y=x2-2x+2的值為y1=t2-2t+2，函數(shù)y=x-1的值為y2=t-1，所以y1-y2=t2-2t+2-（t-1）=t2-3t+3=.因為1>0，所以y1-y2有最小值，當(dāng)t=時，y1-y2取得最小值，為.所以拋物線y=x2-2x+2與直線y=x-1的“和諧值”為.22.解：（1）設(shè)銷售單價定為x元.根據(jù)題意，得（x-20）[400-20（x-30）]=4320，解得x=32或x=38.因為要盡快清空庫存，所以x=32.所以售價應(yīng)定為32元.（2）設(shè)銷售單價定為a元，則每天獲得利潤w元.根據(jù)題意，得w=（a-20）[400-20（a-30）]=-20（a-35）2+4500.因為-20<0，所以w有最大值.當(dāng)a=35時，每天獲得利潤最大，最大利潤為4500元.所以銷售單價為35元時，每天獲利最大，最大利潤為4500元.23.解：（1）當(dāng)x==7時，y1=.所以小山坡的坡頂高度為米.（2）當(dāng)x=12時，y1=×122+×12+1=4，所以D（12，4）.當(dāng)x=0時，y1=1，所以A（0，1）.因為AC=3米，所以C（0，4）.把D（12，4），C（0，4）代入y2=x2+bx+c，得解得所以拋物線l2的表達式為y2=x2+3x+4.24.解：（1）由對稱軸的公式，得x==1，所以拋物線的對稱軸為x=1.當(dāng)x=0時，y=x2-2x-3=-3，所以C（0，-3）.因為CB∥x軸，所以點B與點C關(guān)于直線x=1對稱.所以B（2，-3）.（2）設(shè)點P的坐標為（t，t2-2t-3）.當(dāng)x=1時，y=x2-2x-3=-4，所以A（1，-4）.所以S△ABC=×2×1=1.因為S△PBC=2S△ABC，所以S△PBC=2.所以易得點P到BC的距離為2.因為B（2，-3），C（0，-3），所以點P的縱坐標為-1，即t2-2t-3=-1，解得t=1-或t=1+.所以點P的坐標為或.（3）由（1）知拋物線y=x2-2x-3的對稱軸為x=1.①當(dāng)m>1時，q=m2-2m-3，p=（m+2）2-2（m+2）-3=m2+2m-3.因為p-q=2，所以m2+2m-3-（m2-2m-3）=2，解得m=（舍去）；②當(dāng)m+2<1，即m<-1時，p=