第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京重點(diǎn)校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編集合與常用邏輯用語(yǔ)章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．則集合（

）A． B．C． D．2．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）命題，則是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·北京順義·高一統(tǒng)考期末）命題：“”的否定為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京順義·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知集合都是的子集，中都至少含有兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)于任意，若，則；②對(duì)于任意，若，則.若中含有4個(gè)元素，則中含有元素的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）命題“”的否定為（

）A． B．C． D．7．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．8．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知a為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┮阎希簦?/p>

）A． B．C． D．10．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）命題“”的否定是（

）A． B． C． D．11．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）若命題P：“，”，則為（

）A．， B．，C．， D．，12．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．13．（2023秋·北京大興·高一統(tǒng)考期末）若集合，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．14．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知命題p：x<1，，則為A．x≥1,＞ B．x<1,C．x<1, D．x≥1,16．（2023秋·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)命題，則為A． B．C． D．二、填空題17．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合，則____________．18．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）能說(shuō)明“，”是假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)a的取值是________．19．（2023秋·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為非空實(shí)數(shù)集滿足：對(duì)任意給定的（可以相同），都有，，，則稱為幸運(yùn)集.①集合為幸運(yùn)集；②集合為幸運(yùn)集；③若集合、為幸運(yùn)集，則為幸運(yùn)集；④若集合為幸運(yùn)集，則一定有；其中正確結(jié)論的序號(hào)是________三、解答題20．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合，且為集合A的生成集．(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說(shuō)明理由．21．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，集合A是U的真子集．設(shè)正整數(shù)，若集合A滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱A為U的子集：①；②，若，則；③，若，則．(1)當(dāng)時(shí)，判斷是否為U的子集，說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，若A為U的子集，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，若A為U的子集，求集合A．22．（2023秋·北京順義·高一統(tǒng)考期末）已知是非空數(shù)集，如果對(duì)任意，都有，則稱是封閉集.(1)判斷集合是否為封閉集，并說(shuō)明理由；(2)判斷以下兩個(gè)命題的真假，并說(shuō)明理由；命題：若非空集合是封閉集，則也是封閉集；命題：若非空集合是封閉集，且，則也是封閉集；(3)若非空集合是封閉集合，且為全體實(shí)數(shù)集，求證：不是封閉集.23．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)有限集合，對(duì)于集合，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則稱A為的封閉子集；②對(duì)于集合A中任意兩個(gè)元素，都有，則稱A為的開(kāi)放子集.(1)若，集合，判斷集合為的封閉子集還是開(kāi)放子集；（直接寫出結(jié)論）(2)若，且集合A為的封閉子集，求的最小值；(3)若，且為奇數(shù)，集合A為的開(kāi)放子集，求的最大值.24．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知集合．若集合A是U的含有個(gè)元素的子集，且A中的所有元素之和為0，則稱A為U的“k元零子集”．將U的所有“k元零子集”的個(gè)數(shù)記為．(1)寫出U的所有“2元零子集”；(2)求證：當(dāng)，且時(shí)，；(3)求的值．25．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于非空數(shù)集A，若其最大元素為M，最小元素為m，則稱集合A的幅值為，若集合A中只有一個(gè)元素，則.(1)若，求；(2)若，，求的最大值，并寫出取最大值時(shí)的一組；(3)若集合的非空真子集兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同，且，求n的最大值.26．（2023秋·北京·高一清華附中?？计谀┮阎麛?shù)，集合，對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，，定義A與B之間的距離為．若且，則稱是是中的一個(gè)等距序列．(1)若，判斷是否是中的一個(gè)等距序列？(2)設(shè)A，B，C是中的等距序列，求證：為偶數(shù)；(3)設(shè)是中的等距序列，且，，．求m的最小值．27．（2023秋·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知命題．(1)寫出命題p的否定；(2)判斷命題p的真假，并說(shuō)明理由，28．（2023秋·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知全集，若集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．C【分析】已知集合、集合，由集合的基本運(yùn)算，直接求解.【詳解】集合，集合，則集合.故選：C2．D【分析】根據(jù)全稱命題的否定是存在命題，即可得到答案.【詳解】命題，則：.故選：D3．A【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式直接判斷可得.【詳解】全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，所以的否定為.故選：A4．C【分析】根據(jù)交集的概念，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.5．C【分析】令且，，根據(jù)已知條件確定可能元素，進(jìn)而寫出且時(shí)的可能元素，討論、，結(jié)合確定的關(guān)系，即可得集合A、B并求出并集中元素個(gè)數(shù).【詳解】令且，，如下表行列分別表示，集合可能元素如下：則，若，不妨令，下表行列分別表示，由，而，且，顯然中元素超過(guò)4個(gè)，不合題設(shè)；若，則，下表行列分別表示，由，而，且，要使中元素不超過(guò)4個(gè)，只需，此時(shí)，顯然，即，則，即且，故，所以，即，而，故，共7個(gè)元素.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令且，，結(jié)合已知寫出可能元素，由且時(shí)的可能元素且研究的關(guān)系.6．A【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“”的否定為“”.故選：A7．D【分析】利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以，故選：D8．A【分析】根據(jù)，但，得到答案.【詳解】，但，比如，則“”是“”的充分而不必要條件.故選：A9．B【分析】利用交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.10．A【分析】根據(jù)存在命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)存在命題的否定可知，存在變?nèi)我?，范圍不變，結(jié)論相反，故其否定為.故選：A.11．D【分析】利用存在量詞命題的否定，直接寫出作答.【詳解】命題P：“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以為：，.故選：D12．C【分析】題中陰影部分表示的集合為，求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，集合，而題中陰影部分表示的集合為，則.故選：C.13．C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可判斷A，求出可判斷BC；求出可判斷D.【詳解】，，，故A錯(cuò)誤；，所以，故B錯(cuò)誤，C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.14．A【解析】通過(guò)基本不等式可得充分性成立，舉出反例說(shuō)明必要性不成立.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)，時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.15．C【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題之間的關(guān)系，可知命題的否定為，故選C．16．C【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項(xiàng)為C.17．【分析】根據(jù)并集的定義運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故答案為?8．(中任一值均可)【分析】根據(jù)題意可知：命題為真命題，列出不等式解之即可.【詳解】因?yàn)槊}：，為假命題，所以命題：為真命題，也即成立，所以，故答案為：4（中的任一值均可）19．②④【解析】①取判斷；②設(shè)判斷；③舉例判斷；④由可以相同判斷；【詳解】①當(dāng)，，所以集合P不是幸運(yùn)集，故錯(cuò)誤；②設(shè)，則，所以集合P是幸運(yùn)集，故正確；③如集合為幸運(yùn)集，但不為幸運(yùn)集，如時(shí)，，故錯(cuò)誤；④因?yàn)榧蠟樾疫\(yùn)集，則，當(dāng)時(shí)，，一定有，故正確；故答案為：②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：讀懂新定義的含義，結(jié)合“給定的（可以相同），都有，，”，靈活運(yùn)用舉例法.20．(1)；(2)4；(3)不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解；（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；（3）假設(shè)存在集合，可得，，，，然后結(jié)合條件說(shuō)明即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；?）設(shè)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于4個(gè)，又，則，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于4個(gè)，所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為4；（3）不存在，理由如下：假設(shè)存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，不妨設(shè)，則集合A的生成集由組成，又，所以，若，又，則，故，若，又，則，故，所以，又，則，而，所以不成立，所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.21．(1)不是U的子集；(2)證明見(jiàn)解析；(3)集合.【分析】（1）取，由不滿足性質(zhì)②可得不是U的子集；（2）通過(guò)反證法，分別假設(shè)，的情況，由不滿足子集的性質(zhì)，可證明出；（3）由（2）得，，，，再分別假設(shè)，，，四種情況，由不滿足子集的性質(zhì)，可得出，再根據(jù)性質(zhì)②和性質(zhì)③，依次湊出8~23每個(gè)數(shù)值是否滿足條件即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，取，則，但，不滿足性質(zhì)②，所以不是U的子集.（2）當(dāng)時(shí)，A為U的子集，則；假設(shè)，設(shè)，即取，則，但，不滿足性質(zhì)②，所以，；假設(shè)，取，，且，則，再取，，則，再取，，且，但與性質(zhì)①矛盾，所以.（3）由（2）得，當(dāng)時(shí)，若A為U的子集，，，，所以當(dāng)時(shí)，，若A為U的子集，，，；若，取，，則，，再取，，則，與矛盾，則，；若，取，，則，與矛盾，則，；若，取，，則，與矛盾，則，；若，取，，則，與矛盾，則，；取，，則，；取，，則；取，，則，；取，，則；取，，則，；綜上所述，集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.22．(1)集合都是封閉集，理由見(jiàn)解析；(2)命題為假命題，命題q為真命題，理由見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)封閉集的定義判斷即可；(2)對(duì)命題舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于命題：設(shè)，由是封閉集，可得，從而判斷為正確；(3)根據(jù)題意，令，只需證明不是封閉集即可，取中的即可證明.【詳解】（1）解：對(duì)于集合因?yàn)?，所以是封閉集；對(duì)于集合，因?yàn)?，，，所以集合是封閉集；（2）解：對(duì)命題：令，則集合是封閉集，如，但不是封閉集，故錯(cuò)誤；對(duì)于命題：設(shè)，則有，又因?yàn)榧鲜欠忾]集，所以，同理可得，所以，所以是封閉集，故正確；（3）證明：因?yàn)榉强占鲜欠忾]集合，且所以，假設(shè)是封閉集，由(2)的命題可知：若非空集合是封閉集，且，則也是封閉集，又因?yàn)椋圆皇欠忾]集.得證.23．(1)A為的封閉子集，B為E的開(kāi)放子集(2)9(3)【分析】對(duì)于（1），利用封閉子集，開(kāi)放子集定義可得答案；對(duì)于（2），，設(shè).因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.據(jù)此可得，得，后排除8，再說(shuō)明9符合題意即可；對(duì)于（3），因，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)，將里面的奇數(shù)組成集合A，說(shuō)明集合A為E開(kāi)放子集，且為最大值即可.【詳解】（1）對(duì)于A，因，且，則A為E的封閉子集；對(duì)于B，由題可得，注意到其中任意兩個(gè)元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他兩個(gè)元素之和，且，故B為E的開(kāi)放子集；（2）由題：，設(shè).因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.得，，，.因，則.若，則，則在A中存在元素，使它們的和為.又，則當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.又當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.注意到奇數(shù)，且，故不存在元素，使，這與集合A為的封閉子集矛盾，故.當(dāng)，取，易得其符合的封閉子集的定義，故的最小值為9；（3）因，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)，將里面的奇數(shù)組成集合A，則，因A中每個(gè)元素都是奇數(shù)，而任意兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)，且，則A為E開(kāi)放子集，此時(shí)集合A元素個(gè)數(shù)為.下面說(shuō)明為最大值.時(shí)，顯然成立；當(dāng)，若，則中至少有一個(gè)屬于的偶數(shù)，設(shè)為，則，得為屬于集合中的奇數(shù)，這與E開(kāi)放子集的定義矛盾，故.綜上：的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合新定義，難度較大.（1）問(wèn)主要考查對(duì)于定義的理解；（2）問(wèn)從定義出發(fā)，得到，得，繼而結(jié)合定義分析出；（3）問(wèn)，由任意兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)可構(gòu)造出集合A.24．(1)；(2)詳見(jiàn)解析；(3)31【分析】（1）根據(jù)“k元零子集”的定義列舉；（2）根據(jù)“k元零子集”的定義列舉；（3）由（2）的結(jié)論求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以U的所有“2元零子集”是；（2）當(dāng)時(shí)，1元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，2元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，3元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，4元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，5元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，6元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，7元零子集是，則；當(dāng)時(shí)，，8元零子集是，則，故當(dāng)，且時(shí)，；（3）由（2）知：，.25．(1)(2)的最大值為，(3)n的最大值為11【分析】（1）根據(jù)新定義即可求出；（2）由，且要使得取到最大，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值.（3）要n的值最大，則集合的幅值最小，且是集合的兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，故對(duì)集合中元素分析列出方程解出即可.【詳解】（1）由集合知，，所以.（2）因?yàn)?，，由此可知集合中各?個(gè)元素，且完全不相同，根據(jù)定義要讓取到最大值，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值，所以的最大值為，所以有一組滿足題意，（3）要n的值最大，則集合的幅值要盡量最小，故幅值最小從0開(kāi)始，接下來(lái)為，因?yàn)槭羌系膬蓛稍貍€(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，不妨設(shè)是集合中只有一個(gè)元素的非空真子集，此時(shí)，例如,則是集合中有兩個(gè)元素的非空真子集，且，例如，同理是集合中有三個(gè)元素的非空真子集，且，例如，是集合中有個(gè)元素的非空真子集，且，例如，所以，解得或（舍去），所以n的最大值為11.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)