第1章隨機(jī)事件及其概率

⑴隨假如一種試驗(yàn)在相似條件下可以反復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能成果

機(jī)試驗(yàn)不止一種，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)成果，則

和隨機(jī)稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。

事件試驗(yàn)的可能成果稱為隨機(jī)事件。

在一種試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事

件，它具有如下性質(zhì)：

①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一種事件；

（2）基

②任何事件，都是由這一組中的部分事件構(gòu)成的。

本領(lǐng)

這樣一組事件中的每一種事件稱為基本領(lǐng)件，用。來表達(dá)。.

件、樣

基本領(lǐng)件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用。表達(dá)。

本空間

一種事件就是由。中的部分點(diǎn)（基本領(lǐng)件①）構(gòu)成的集合。一般用大

和事件

寫字母A,B,C,…表達(dá)事件，它們是。的子集。

。為必然事件，？為不可能事件。

不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事

件；同理，必然事件（Q）的概率為1,而概率為1的事件也不一

定是必然事件。

①關(guān)系：

假如事件A的構(gòu)成部分也是事件5的構(gòu)成部分，（力發(fā)生必有事件B

⑶事

發(fā)生）：AuB

件的關(guān)

假如同步有BnA,則稱事件2與事件夕等價(jià)，或稱］等于必

系與運(yùn)

A=BO

算

A.3中至少有一種發(fā)生的事件：或者4+及

屬于A而不屬于月的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與6的差，記為A-B,

也可表達(dá)為ZT8或者“，它表達(dá)力發(fā)生而夕不發(fā)生的事件。

A.3同步發(fā)生：A^B9或者"。AAB=?,則表達(dá)A與B不可能同步

發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；绢I(lǐng)件是互不相容

嘰

Q-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為耳。它表達(dá)A

不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。

②運(yùn)算：

結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分派率：(AB)UC=(AUC)n(BUG)(AUB)nC=(AC)U(BC)

800

n4=u4

德摩根率：11AUB=AC\B9AC\B=A\JB

設(shè)。為樣本空間，為事件，對(duì)每一種事件均有一種實(shí)數(shù)P(A),

⑷概4A

若滿足下列三個(gè)條件：

率的公1°0<P(A)Wl,

2°P(Q)=1

理化定

3°對(duì)于兩兩互不相容的事件A,A2,…有

義則稱P(A)為事件人的概率。

1°c={外，。=…必},

(5)古2°p⑷)=尸(0)=…p(叱)」。

n

典概型設(shè)任一事件A,它是由…叫構(gòu)成的,則有

P(A)-{(<y,)U(6>2)U???U(69z?)}=P⑷)+P(g)+???+D(％)

若隨機(jī)試驗(yàn)的成果為無限不可數(shù)并且每個(gè)成果出現(xiàn)的可能性均勻，

同步樣本空間中的每一種基本領(lǐng)件可以使用一種有界區(qū)域來描述，

⑹幾

則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A,

何概型

P(4)=然。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。

⑺加P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

法公式當(dāng)AB不相容P(AB)=0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)

當(dāng)AB獨(dú)立,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(8)減

當(dāng)BuA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)

法公式

當(dāng)A二。時(shí)，P(B)=1-P(B)

定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱愣為事件A發(fā)生條

aA)

(9)條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)=g華。

尸(A)

件概率條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。

例如P(。/B)=1nP(5/A)=1-P(B/A)

(10)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

更一般地,對(duì)事件A],A2,-An,若P(A也…AQ>0,則有

乘法公P(A]A2???A”)=P{A\)P(Ai|A\)P(A?>|A\Ai)...P(An\A]Ai???An-00

式

①兩個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)事件4、8滿足尸(AB)=P(A)P(切,則稱事件A、8是相互獨(dú)立的。

若事件A、3相互獨(dú)立，且P(A)>。，則有

若事件A、8相互獨(dú)立，則可得到彳與8、A與鼠N與月也都相

互獨(dú)立。

必然事件。和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。

?與任何事件都互斥。

(11)

②多種事件的獨(dú)立性

獨(dú)立性

設(shè)ABC是三個(gè)事件，假如滿足兩兩獨(dú)立的條件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同步滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互獨(dú)立。

對(duì)于n個(gè)事件類似。

設(shè)事件剛叫…,B,滿足

(12)1°期及，…，&兩兩互不相容,P(B)>O(i=12…,％

全概公Au[JB

O乙oi=l,

式則有

P(A)=P(B)P(A|8)+尸(82)月(人|氏)+一+尸(8“)。(4|8,)。

全概率公式處理的是多種原因?qū)е碌某晒麊栴}，全概率公式的題型：

將試驗(yàn)可當(dāng)作分為兩步做，假如規(guī)定第二步某事件的概率，就用全

概率公式；

設(shè)事件8,BI9???,8,及A滿足

1°Bi,81兩兩互不相容，P(Bi))q,i=l92,…，〃，

Au[J8

2°M,P(4)>0,

(13)則

P(BJA)=J(BM(AQ),,2,…n。

貝葉斯i=1

￡P(guān)(3J)P(A/冬)

公式此公式即'J貝葉斯公式。

P(B),。=1,2,…，〃)，一般叫先驗(yàn)概率。P(BJA),(i=l,2,…，

〃)，一般稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反應(yīng)了“因果”的概率規(guī)律，

并作出了“由果朔因”的推斷。將試驗(yàn)可當(dāng)作分為兩步做，假如求

在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。

我們作了〃次試驗(yàn)，且滿足

?每次試驗(yàn)只有兩種可能成果，A發(fā)生或A不發(fā)生；

?〃次試驗(yàn)是反復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；

?每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)人發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)

(14)生與否是互不影響的。

伯努利這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為〃重伯努利試驗(yàn)。.

概型用，表達(dá)每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則]發(fā)生的概率為J〃=3用「心)

表達(dá)〃重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)%(?！缎摹?次的概率，

P〃(k)=C：P%";4=0,1,2,…"。

第二章隨機(jī)變量及其分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量x的可能取值為X(k=l,2,…)且取各個(gè)值的概率，

(1)k

即事件(X=X。的概率為P(X=xJ=Pk,k=l,2,…,

離散則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分

布列的形式給出：

型隨

X?也也…兇,…

P(X=Xk)1pi,p2,…，pk,…

機(jī)變o

顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：

量的8

V=1

(1)…,仆1,2,…，(2)白/PA

分布o(jì)

律

(2)設(shè)外幻是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)”1),對(duì)任意實(shí)數(shù)

孫有

持續(xù)F(x)=[J(x)dx

型隨則稱X為持續(xù)型隨機(jī)變量。/*)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，

簡稱概率密度。

機(jī)變

密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：

量的1、小)雙

Jf(x)dx=l

分布乙9、J""00O

3、P(x<X<x)=尸(々)_F(X)=[f(x)dx

密度2]J玉

4、P(x=a)=O,a為常數(shù)，持續(xù)型隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為0

(3)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)

分布稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一種累積函數(shù)。

函數(shù)P(a<X<b)=F[b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a向的概率。分布函

數(shù)尸。)表達(dá)隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8,x]內(nèi)的概率。

分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：

100<F{x)<1,-oo<x<+oo;

2°尸(X)是單調(diào)不減的函數(shù)，即M<X2時(shí)，有F(x\)<F(X2);

3°F(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

4°F(x+0)=F(x),即產(chǎn)(工)是右持續(xù)期

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)o

對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Zpc

對(duì)于持續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=jf(x)dxo

-00

(4)0-1分P(X=l)=p,P(X=0)=q

六大布

分布二項(xiàng)分在〃重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生

布的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2,…/。

P(X=k)=R仆)=,其中g(shù)=1一〃,0v〃vl,&=0,1,2,…,〃，

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃，〃的二項(xiàng)分布。記為

X~B(n,p)o

當(dāng)〃=1時(shí)，P(X=k)=p，"k,A:=().1,這就是(OT)分布，因

此(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。

泊松分設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

布

p（X=k）=-e",2>0,攵=0,1,2…，

k\

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為幾的泊松分布，記為X?萬（團(tuán)或者

P（Z）O

泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=X,n-°°）o

均勻分設(shè)隨機(jī)度量X的值只落在［a,b］內(nèi)，其密度函數(shù)/㈤在［a,

b］上為常數(shù)二L,即？

布b-a

_J_aWxWb

/(1)=,了其他，

則稱隨.機(jī)變量X在［a,b］上服從均勻分布，記為）Cu（a,b）。

分布函數(shù)為

0,x<a?

9?9?

vx-a

F(x)=J^f（x）dx=\b-a'aWx〈b

Xi<X^b儀'X落在區(qū)限區(qū)，%）內(nèi)的概率為

當(dāng)aW.2

1氣）二山。

P(x<》

tb-a

?

指數(shù)分{<'9，

fM=

布??挑中彳>。，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為％的指數(shù)

分布。

正杰分設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

.(X-")一

-8VXV+OO,

布/(-y)=f—e

其中〃、。>0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃、。的

正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為x?“(4，/)。

具有如下性質(zhì)：

1°/⑴的圖形是有關(guān)％=〃對(duì)稱的；

2°當(dāng)時(shí)，/(〃)=—為最大值；

,72兀0

若?。-)，則X的分布函數(shù)為

■褰4年、？葭MW正態(tài)分布稱為原則正態(tài)分布，記為

X~M。%其;密度函數(shù)記為

(p(x)=.e2

4249-oo<^<+oo,

分布函數(shù)為

1x匕

①(%)=.——fe2dto

后士

①(幻是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。

①(-x)=1-0(x)且①(0)=-o

Y2

假如X?Ng/),則壬2?N(0,1)。

P{x<X<x)=O

12-CT-

(6)下分位表：P(X</Ja)=a;

上分位表：尸。

分位(X>/)=a

數(shù)

(7)離散型已知X的分布列為

XI,…，

9XX2,X/iy…

函數(shù),P(X=x；.)pi,〃2,…

y=g(x)日出芬希列(月=g(xj互不相等)如下：

的分Yg(8),g(X2),…，g(M),…

尸(丫=必)

布函若有某&2眼)霜等，…則他將對(duì)應(yīng)的心相加作為g(x)的概率。

先運(yùn)用的概率密度()寫出的分布函數(shù)

數(shù)持續(xù)型XfxXYFY(y)=P(g(X)

Wy),再運(yùn)用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fy(y)。

第三章二維隨機(jī)變量及其分布

（1）聯(lián)離散型假如二維隨機(jī)向量4（X,Y）時(shí)所有可能取值為至多可列

合分布個(gè)有序?qū)Γ▁,y）,則稱g為離散型隨機(jī)量。

設(shè)1（X,Y）的所有可能取值為（卬匕）億J=12…），且事

件匕=（如力）｝的概率為R/,稱

p｛（x,y）=（%力）｝=p“（i,j=i2…）

為1（X,Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)

合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表達(dá)：

\

??????

%yj

??????

X1PnP12Pu

??????

X2P21P22P2J

??????

XiPn

這里加具有下面兩個(gè)性質(zhì):

(1)Pi會(huì)。(i,j=l,2,—)；

⑵EE〃廣L

tj

持續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量q=(x,y),假如存在非負(fù)函數(shù)

y)(-0°<x<+00,-00<y<+oo)9使對(duì)任意一種其鄰邊分別平

行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D={(X,Y)|a<x〈b,c<y<d}有

則稱4為持續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為J=(X,Y)時(shí)

分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：

(1)f(x,y)20；

(2)1「f(x,y)dxdy=1.

J-coJ-oo

2聯(lián)合設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)

分布函稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的

數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。

分布函數(shù)是一種以全平面為其定義域，以事件

{(69],02)|r<X(“])?x,r<y(02)?),}的概率為函數(shù)值的一種實(shí)值函數(shù)。

分布函數(shù)F(x,y)具有如下的基本性質(zhì)：

(1)0<F(x,y)<1;

(2)F(x,y)分別對(duì)x和y是非減的,即

當(dāng)X2*時(shí)，有F(x2,y)^F(xi,y)；當(dāng)y2>yi時(shí)，有F(x,y2)2F(x,y)；

(3)F(x,y)分別對(duì)x和y是右持續(xù)時(shí)，即

(4)F(-oo,-oo)=F(-co,y)-F(x,—oo)=0,尸(+8,+8)=1.

(5)對(duì)于用<%必〈)’2，

F(X,y)-F(xy^-FUpy)+FU,,.^)>()

P(X1<X^X2,yi<y^y2)=222f2

3邊緣離散型X的邊緣分布為

分布P"P(X=xj=￡p..(z,J=1,2,--);

j

Y的邊緣分布為

p”=p(y=x)=Z…)。

i

持續(xù)型X的邊緣分布密度為

Y的邊緣分布密度為

4條件離散型在已知不守的條件下，Y取值的條件分布為

分布在已知片力的條件下，X取值的條件分布為

持續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為

A(y)

在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為

5獨(dú)立一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)

性離散型有零不獨(dú)立

持續(xù)型f(x,y)=fx(x)fy(y)

直接判斷，充要條件：

①可分離變量

②正概率密度區(qū)間為矩形

二維正夕=0

態(tài)分布

隨機(jī)變?nèi)鬤1,X2,…X?X/1,…Xn相互獨(dú)立,h,g為持續(xù)函數(shù),則:

量的函h(Xi,X2,…XJ和g(X*,…XQ相互獨(dú)立。

數(shù)特例：若X與Y獨(dú)立，貝I)：h(X)和g(Y)獨(dú)立。

例如：若X與Y獨(dú)立，貝(J:3X+1和5Y-2獨(dú)立。

6二維設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為

均勻分其中SD為區(qū)域D的面積，則稱(X,Y)服從D上的均勻分布，記為

布(X,Y)?U(D)o

圖3.2

7正杰設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為

分布其中〃“2>0，電>0，1P1<1是5個(gè)參數(shù),則稱(X,Y)服從二維正態(tài)

分布，

記為(X,Y)?N

由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍

為正態(tài)分布，

即X?N(,of),y?NW。；).

不過若X?N(M，b：),y~N(〃2,b；)，(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。

8函數(shù)Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z)=P(Z<z)=P(X+r<z)

的分布對(duì)于持續(xù)型，fz(z)=[f(x.z-x)dx

-00

兩個(gè)獨(dú)立的正杰分布的和仍為正態(tài)分布(M+〃2?；+犬)。

n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。

ii

Z=max,m若X「X?…X”相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為

G(x).…,則Z=max,min(Xi,X,???Xn)的分布函

in(XuX22

，…Xn)數(shù)為:

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特性

(1)-離散型持續(xù)型

維隨機(jī)期望設(shè)X是離散型隨機(jī)設(shè)X是持續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密

變量的期望就是變量，其分布律為度為f（x）,

數(shù)字特平均值P（X=占）=Pk,（規(guī)定絕對(duì)收斂）

性k=l,2,…,n,

（規(guī)定絕對(duì)收斂）

函數(shù)的期Y=g(X)Y=g(X)

望

方差

D(X)=E[X

-E(X)]2,

原則差

⑵期(1)E(C)=C

望的性(2)E(CX)=CE(X)

質(zhì)

(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),石這crX,)=^C/E(XJ

<=iz=i

(4)E(XY)=E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立；

充要條件：X和丫不有關(guān)。

⑶方(1)D(C)=O；E(C)=C

差的性(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

質(zhì)(3)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)