202X東營市中考數(shù)學期末幾何綜合壓軸題易錯匯編一、中考數(shù)學幾何綜合壓軸題1．問題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長為________；拓展延伸（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內順時針旋轉，設旋轉角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．解析：（1）①垂直，②4；（2）作圖見解析，或【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②過點C作CF⊥AD于點F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長，即可求AD的長；（2）分點D在BC左側和BC右側兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案為：垂直②如圖，過點C作CF⊥AD于點F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案為：4．（2）①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負值舍去）．∴AD=．②如圖，同①設BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負值舍去）．∴AD=．綜上可得，線段AD的長為【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質等知識點，關鍵是添加恰當輔助線．2．問題背景（1）如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉變換得到，請寫出旋轉中心、旋轉方向及旋轉角的大?。畤L試應用（2）如圖（2）．在中，，分別以AC，AB為邊，作等邊和等邊，連接ED，并延長交BC于點F，連接BD．若，求的值．拓展創(chuàng)新（3）如圖（3）．在中，，，將線段AC繞點A順時針旋轉得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．解析：（1）旋轉中心是點A，旋轉方向是順時針，旋轉角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉性質即可得；（2）證明，由全等三角形的性質得，，得出，由直角三角形性質得，則可計算得答案；（3）過點A作，且使AE=AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質求出BE、PE的長即可得解．【詳解】解（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，，，，，可以由繞點A順時針旋轉得到，即旋轉中心是點A，旋轉方向是順時針，旋轉角是；（2)和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設BF=x，則CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴點C在以AB為直徑的圓上運動，取AB的中點D，連接CD，，如圖，過點A作，且使AE=AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點A順時針旋轉得到線段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值為+1．【點睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、直角三角形的性質、圓周角定理；熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵．3．（1）（問題背景）如圖1，在中，，，D是直線BC上的一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°至AE，連接CE，求證：；（2）（嘗試應用）如圖2，在（1）的條件下，延長DE，AC交于點G，交DE于點F．求證：；（3）（拓展創(chuàng)新）如圖3，是內一點，，，，直接寫出的面積為_____________．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）【問題背景】如圖1，根據(jù)SAS證明三角形全等即可．（2）【嘗試應用】如圖2，過點D作DK⊥DC交FB的延長線于K．證明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再證明FG＝DE＝即可．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過點A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．利用全等三角形的性質證明CE＝BD，CE⊥BD，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）【問題背景】證明：如圖1，∵，∴，在和中，，∴．（2）【嘗試應用】證明：如圖2，過點D作交FB的延長線于K．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過點A作交BD于E，連接CE．∵，，∴與都是等腰直角三角形，同法可證，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．4．在中，點D，E分別是邊上的點，．基礎理解：（1）如圖1，若，求的值；證明與拓展：（2）如圖2，將繞點A逆時針旋轉a度，得到，連接；①求證：；②如圖3，若在旋轉的過程中，點恰好落在上時，連接，則的面積為________．解析：（1）；（2）①見詳解；②13.44【分析】（1）利用平行線分線段定理，直接求解即可；、（2）①先推出，從而得，進而即可得到結論；②先推出AE=AE1=8，DE=D1E1=10，過點A作AM⊥DE于點M，則DM=3.6，D1E=2.8，再證明∠D1EE1=90°，進而即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴=；（2）①∵將繞點A逆時針旋轉a度，得到，∴=AD，=AE，∠BAD1=∠CAE1，∵，∴，即，∴，∴，∴；②由①可知，∴，∵將繞點A逆時針旋轉，得到，點恰好落在上，∴AD1=AD=6，∠D1AE1=∠DAE=90°，∴AE=AE1=AD1=8，DE=D1E1=，過點A作AM⊥DE于點M，則DM=D1M=AD×cos∠ADE=AD×=6×=3.6，∴D1E=10-3.6×2=2.8，∵∠D1AE1=∠DAE=90°，∴∠DAD1=∠EAE1，又∵AD1=AD，AE=AE1，∴∠ADE=，∴∠AED+=∠AED+∠ADE=90°，即：∠D1EE1=90°，∴，∴的面積=D1E?EE1=×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理，平行線分線段成比例定理，旋轉的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，是解題的關鍵．5．平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向形如旋轉，設旋轉角為α（0°≤α≤60°）．發(fā)現(xiàn)（1）當α＝0°，即初始位置時，點P____直線AB上．（填“在”或“不在”）求當α是多少時，OQ經(jīng)過點B？（2）在OQ旋轉過程中．簡要說明α是多少時，點P，A間的距離最??？并指出這個最小值：（3）如圖，當點P恰好落在BC邊上時．求α及S陰影．拓展如圖．當線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設BM＝x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍．探究當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．解析：發(fā)現(xiàn)：（1）在，15°；（2）當α=60°時，最小距離為1；（3）30°，．拓展：x的范圍是；探究：sinα的值為或或．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)（1）在；當OQ過點B時，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°．（2）如圖3．連AP，有OA＋AP≥OP，當OP過點A，即α＝60°時等號成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1．∴當α＝60°時．P，A間的距離最?。郟A的最小值為1．（3）如圖3，設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，過點R作RE⊥KQ于點E．在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°，∴α＝60°－30°＝30°．由AD//BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°．∴∠RKQ＝2×30°＝60°．，在Rt△RKE中，，，；拓展如圖5，∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，所以△AON∽△BMN．∴，即，∴．如圖4，當點Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點F．．∴x的范圍是．【注：如果考生答“或”均不扣分】探究半圓與矩形相切，分三種情況：①如圖5，半圓K與BC切于點T，設直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點G．Rt△OSK中，．Rt△OSO′中，，．Rt△KGO′中，∠O′=30°，KG=Rt△OGK中，②半圓K與AD切于點T，如圖6，同理可得．③當半圓K與CD相切時，成Q與點D重合，且為切點．∴α＝60°，∴．綜上述，sinα的值為或或．考點：圓，直線與圓的位置關系，銳角三角函數(shù)，相似，三角形法則求最值6．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關系，并說明理由；（3）應用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見解析；（3）10或12﹣．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對角相等，利用等角對等角得到兩對角相等，進而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉的性質，相似三角形的性質和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關鍵，分類討論是解本題的難點，是一道中考常考題．7．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉構造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉性質可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點C旋轉90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【點睛】考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.8．（問題情境）如圖1，點E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點，連接BE、CE．求證：S平行四邊形ABCD．（說明：S表示面積）請以“問題情境”為基礎，繼續(xù)下面的探究（探究應用1）如圖2，以平行四邊形ABCD的邊AD為直徑作⊙O，⊙O與BC邊相切于點H，與BD相交于點M．若AD＝6，BD＝y(tǒng)，AM＝x，試求y與x之間的函數(shù)關系式．（探究應用2）如圖3，在圖1的基礎上，點F在CD上，連接AF、BF，AF與CE相交于點G，若AF＝CE，求證：BG平分∠AGC．（遷移拓展）如圖4，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中點，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，過D分別作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，請直接寫出DG：DH的值．解析：【問題情境】見解析；【探究應用1】；【探究應用2】見解析；【遷移拓展】.【分析】（1）作EF⊥BC于F，則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，即可得出結論；（2）連接OH，由切線的性質得出OH⊥BC，OH＝AD＝3，求出平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝18，由圓周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即可得出結果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，得出AF×BM＝CE×BN，證出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四邊形的性質得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，設AB＝4x，則BC＝3x，由直角三角形的性質得出BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，由三角形的面積關系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出結果．【詳解】（1）證明：作EF⊥BC于F，如圖1所示：則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，∴．（2）解：連接OH，如圖2所示：∵⊙O與BC邊相切于點H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即xy＝9，∴y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝；（3）證明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如圖3所示：同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．（4）解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如圖4所示：∵平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，設AB＝4x，則BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中點，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，則△CDE的面積＝△ADF的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝．【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質、三角形面積公式、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、角平分線的判定等知識；本題綜合性強，需要添加輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質和勾股定理是解題的關鍵．9．數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且，如圖，試確定線段與的大小關系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結論當點E為的中點時，如圖1，確定線段與的大小關系．請你直接寫出結論：_____（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：如圖2，題目中，與的大小關系是：____（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（請你完成以下解答過程）（3）拓展結論，設計新題在等邊三角形中，點E在直線上，點D在直線上，且．若的邊長為1，，求的長（請你直接寫出結果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質和等腰三角形的性質求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD=3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，交于點，為等邊三角形，，∠A=60°，∴為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）如圖1，過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．（3）CD=1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖2過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM和△EBN中，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN=BM=，∴CN=1+=，CD=2CN=3；②如圖3，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴，∴，∴MN=1，∴CN=1-=，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【點睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點的應用，解（2）小題的關鍵是構造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解?。?0．綜合與實踐（1）（探索發(fā)現(xiàn)）在中.，，點為直線上一動點（點不與點，重合），過點作交直線于點，將繞點順時針旋轉得到，連接．如圖（1），當點在線段上，且時，試猜想：①與之間的數(shù)量關系：______；②______．（2）（拓展探究）如圖（2），當點在線段上，且時，判斷與之間的數(shù)量關系及的度數(shù)，請說明理由．（3）（解決問題）如圖（3），在中，，，，點在射線上，將繞點順時針旋轉得到，連接．當時，直接寫出的長．解析：（1）①；②；（2），．理由見解析；（3）的長為1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解決問題；（2）結論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問題；（3）分當點D在線段BC上和當點D在BC的延長線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，設AB交DE于O．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF=BE，∠DAF=∠E，∵∠AOD=∠EOB，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案為AF=BE，90°．（2），.理由：∵，∴，.∵，∴.∴.∴∵，，，∴.又∵，∴.∴，.∴，，∴.（3）1或2.解：當點在線段上時，過點作交直線于點，如圖（1）.∵，∴.∵，∴.∵，∴，.∵，，∴.∵，∴.∴.∴.又，∴，.當點在線段的延長線上時，過點作交的延長線于點，如圖（2）.∵，∴.∴.∴.同理可得.綜上可得，的長為1或2.【點睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．11．如圖1，已知，，點D在上，連接并延長交于點F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點B順時針方向旋轉，當小于時，得到圖2，連接并延長交于點F，則（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展：圖1中，過點E作，垂足為點G．當?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時，若，，直接寫出的長．解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設BD延長線DM交AE于M點，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四邊形AEGC為矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：．故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質和判定，矩形的性質和判定，本題的關鍵是延長DF到G點并使FG=DC，進而構造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．12．綜合與實踐如圖①，在中中，，，，過點作于，將繞點逆時針方向旋轉，得到，連接，，記旋轉角為．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖②，當時，__________；如圖③，當時，__________．（2）拓展探究試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖④的情形給出證明．（3）問題解決如圖⑤，當繞點逆時針旋轉至點落在邊上時，求線段的長．解析：（1），；（2）無變化，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根據(jù)三角形面積求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情況進一步得出的值即可；（2）根據(jù)旋轉的性質可得出，，再證明即可得出結論；（3）過點作于，證，推出，得出，繼而得到，再根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴∵∴∴當時，∴當時，∴故答案為：；；（2）無變化．證明：∵在中，，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴，．∴．由旋轉可知，，．∴．∵，∴．∴．∴．（3）如圖，過點作于．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴．∴．∴．∵，∴．【點睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式、旋轉的性質、相似三角形的判定及性質等多個知識點，綜合性較強，要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，會利用相似三角形的性質解題，此題結構精巧，考查范圍廣．13．如圖1，在中，，，，點D，E分別是邊，的中點，連接.將繞點C按逆時針方向旋轉，記旋轉角為α．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當時，；②當時，；（2）拓展探究試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決當旋轉至時，請直接寫出的長．解析：（1）①；②；（2）不變，證明見解析；（3）2或2【分析】（1）①當=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出BD、AE的比值；②中，圖形如下，與①有所變化，但求解方法完全相同；（2）證明△ECA∽△DCB，從而根據(jù)邊長成比例得出比值；（3）存在2種情況，一種是當時，；另一種是當時，，分別利用勾股定理可求得．【詳解】（1）①∵在中，，，，點D，E分別是邊，的中點∴CD=BD=2，在Rt△ABC中，AB=，AC=∴AE=∴；②圖形如下：同理可知：BC=4，AC=，DC=2，DE=，CE=∴BD=DC+CB=2+4=6，AE=EC+AC==∴；（2）不變，理由如下∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴；（3）情況一：當時，，圖形如下，過點D作BC的垂線，交BC延長線于點F∵ED∥AC，∴∠ACD=∠EDC=90°∵∠ACB=∠ECD=30°∴∠ECF=30°，∴∠FCD=60°∵CD=2∴在Rt△DCF中，CF=1，F(xiàn)D=∴FB=FC=CB=1+4=5∴在Rt△FDB中，DB=2；情況二：當時，，圖形如下，過點D作BC的垂線，交BC于點F∵DE∥AC，∴∠ACD=90°∵∠ACB=30°，∴∠DCF=60°∵CD=2，∴在Rt△CDF中，CF=1，DF=∴FB=CB－CF=4－1=3∴在Rt△FDB中，DB=2綜上得：DB的長為2或2．【點睛】此題屬于旋轉的綜合題．考查了旋轉的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．14．我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個三角形的“等底”．（1）概念理解:如圖1,在中,,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請說明理由.（2）問題探究:如圖2,是“等高底”三角形,是“等底”，作關于所在直線的對稱圖形得到,連結交直線于點.若點是的重心,求的值.（3）應用拓展:如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底”在直線上,點在直線上,有一邊的長是的倍.將繞點按順時針方向旋轉得到,所在直線交于點.求的值.解析：（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2【解析】分析：（1）過點A作AD⊥直線CB于點D，可以得到AD=BC=3，即可得到結論；（2）根據(jù)ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC與ΔABC關于直線BC對稱，得到∠ADC=90°，由重心的性質，得到BC=2BD．設BD=x，則AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到結論；（3）分兩種情況討論即可：①當AB=BC時，再分兩種情況討論；②當AC=BC時，再分兩種情況討論即可．詳解：（1）是．理由如下：如圖1，過點A作AD⊥直線CB于點D，∴ΔADC為直角三角形，∠ADC=90°．∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即ΔABC是“等高底”三角形．（2）如圖2，∵ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ΔA′BC與ΔABC關于直線BC對稱，∴∠ADC=90°．∵點B是ΔAA′C的重心，∴BC=2BD．設BD=x，則AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=x，∴．（3）①當AB=BC時，Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點E，DF⊥AC于點F．∵“等高底”ΔABC的“等底”為BC，l1//l2，l1與l2之間的距離為2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=．∵ΔABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到ΔA'B'C，∴∠CDF=45°．設DF=CF=x．∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．Ⅱ．如圖4，此時ΔABC是等腰直角三角形，∵ΔABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到ΔA'B'C，∴ΔACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=．②當AC=BC時，Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形．∵ΔABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到ΔA′B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1于點E，則AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到ΔA′B′C時，點A′在直線l1上，∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無交點．綜上所述：CD的值為，，2．點睛：本題是幾何變換-旋轉綜合題．考查了重心的性質，勾股定理，旋轉的性質以及閱讀理解能力．解題的關鍵是對新概念“等高底”三角形的理解．15．問題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F．請按圖示數(shù)據(jù)填空：四邊形DBFE的面積，△EFC的面積，△ADE的面積．探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若，，DE與BC間的距離為．請證明．拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試利用（2）中的結論求△ABC的面積．解析：（1），，；（2）見解析；（3）18【分析】（1）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質即可解決問題．（2）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質，分別求出S1、S2即可解決問題．（3）過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，利用（2）的結論求出□DBHG的面積，△GHC的面積即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∴S=2×3=6，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC∴S2=1，故答案為6，9，1．（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE為平行四邊形，，．∴△ADE∽△EFC．∴．∵，∴．∴．而，∴（3）解：過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形．∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF．∴BH=EF．∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面積為5+3=8．由（2）得，□DBHG的面積為．∴△ABC的面積為．【點睛】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會轉化的思想，把問題轉化為我們熟悉的題型，屬于中考壓軸題，16．(1)方法選擇如圖①，四邊形是的內接四邊形，連接，，．求證：.小穎認為可用截長法證明：在上截取，連接…小軍認為可用補短法證明：延長至點，使得…請你選擇一種方法證明．(2)類比探究（探究1）如圖②，四邊形是的內接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．（探究2）如圖③，四邊形是的內接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關系式是______．(3)拓展猜想如圖④，四邊形是的內接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關系式是______．解析：(1)方法選擇：證明見解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.【分析】（1）方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據(jù)全等三角形的性質得到BM=CD，于是得到結論；（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°，過A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質得到結論；【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據(jù)直角三角形的性質得到MD=2AD，根據(jù)相似三角形的性質得到BM=CD，于是得到結論；（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據(jù)相似三角形的性質得到BM=CD，DM=AD，于是得到結論．【詳解】(1)方法選擇：∵，∴，如圖①，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴；(2)類比探究：如圖②，∵是的直徑，∴，∵，∴，過作交于，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，∴，，過作交于，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為；(3)拓展猜想：；理由：如圖④，∵若是的直徑，∴，過作交于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.故答案為.【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．17．（問題）如圖1，在中，，過點作直線平行于．，點在直線上移動，角的一邊始終經(jīng)過點，另一邊與交于點，研究和的數(shù)量關系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學興趣小組運用“從特殊到一般”的數(shù)學思想，發(fā)現(xiàn)當點移動到使點與點重合時，通過推理就可以得到，請寫出證明過程；（數(shù)學思考）（2）如圖3，若點是上的任意一點（不含端點），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點作交于點，就可以證明，請完成證明過程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點（不含端點），是射線上一點，且，連接與交于點，這個數(shù)學興趣小組經(jīng)過多次取點反復進行實驗，發(fā)現(xiàn)點在某一位置時的值最大．若，請你直接寫出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見解析；【數(shù)學思考】（2）見解析；【拓展引申】（3）時，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過點作交于點，連接，可證明，再推出即可得=，則.【詳解】證明：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）∵∴∵∴，且∴∴即【數(shù)學思考】（2）∵∴∴，∵∴，且，∴∴【拓展引申】（3）如圖4，過點作交于點，連接，∵，∴∵∴∴∴，且∴∴∵，∴∴∴∴∴∵∴點，點，點，點四點共圓，∴∴，且∴∴∴∴∴時，有最大值為2．【點睛】本題考查等腰三角形，解題關鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質.18．如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．解析：（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長；（3）過點A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長，