4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用年級(jí)：九年級(jí)學(xué)科：初中數(shù)學(xué)（浙教版）

問(wèn)題1

前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的哪些知識(shí)？

問(wèn)題2

類(lèi)比全等三角形的研究路徑，接下來(lái)我們要研究

什么內(nèi)容？

相似三角形的定義，判定

相似三角形的性質(zhì)類(lèi)比定方向

問(wèn)題3

根據(jù)全等三角形的研究思路，我們可以研究相似

三角形哪些幾何量之間的關(guān)系？

三條對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系、三個(gè)對(duì)應(yīng)角的關(guān)系；

對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的關(guān)系；

周長(zhǎng)和面積等.性質(zhì)探究1

問(wèn)題3

根據(jù)全等三角形的研究思路，我們可以研究

相似三角形哪些幾何量之間的關(guān)系？

問(wèn)題4

如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么

關(guān)系呢？

相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比例.猜想：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比與相似比有什么關(guān)系呢？A'BCAB'C'

三條對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系、三個(gè)對(duì)應(yīng)角的關(guān)系；

對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的關(guān)系；

周長(zhǎng)和面積等.性質(zhì)探究猜想：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于

.D'A'DBCAB'C'

求證：

∵△ABC∽△A′B′C′

∴∠B=∠B′

又∵AD、A′D′是高，

∴∠ADB=∠A′D′B′=90°

∴△ADB∽△A′D′B′證明：性質(zhì)定理：

如圖，△ABC∽△A′B′C′,相似比為k，AD、A′D′是分別為BC、B′C′邊上的高．相似比類(lèi)比探究猜想：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于

.D'A'DBCAB'C'

如圖，△ABC∽△A′B′C′,相似比為k，AD、A′D′分別為對(duì)應(yīng)角∠BAC,∠B′A′C′的角平分線．

求證：證明：性質(zhì)定理：

∵△ABC∽△A′B′C′

∴∠BAC=∠B′A′C′，

又∵AD、A′D′是角平分線，

∴∠BAD=∠B′A′D′，

∴△ADB∽△A′D′B′

相似比類(lèi)比探究猜想：相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于

.D'A'DBCAB'C'

如圖，△ABC∽△A′B′C′,相似比為k，AD、A′D′是分別為BC、B′C′邊上的中線．

求證：證明：性質(zhì)定理：相似比性質(zhì)歸納相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比與對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比.D'A'DBCAB'C'性質(zhì)定理：結(jié)論拓展猜想：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.D'A'DBCAB'C'

如圖，△ABC∽△A′B′C′,相似比為k，AD、A′D′是分別為BC、B′C′邊上的對(duì)應(yīng)線段．求證：證明：性質(zhì)定理：性質(zhì)探究2思考：（1）相似三角形周長(zhǎng)的比與相似比有什么關(guān)系呢？A'BCAB'C'（2）相似三角形面積的比與相似比有什么關(guān)系呢？性質(zhì)探究2思考：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.A'BCAB'C'猜想：（1）相似三角形周長(zhǎng)的比與相似比有什么關(guān)系呢？如圖，△ABC∽△A′B′C′,相似比為k.求證：證明：性質(zhì)定理：性質(zhì)探究2思考：相似三角形面積的比等于

.猜想：（2）相似三角形面積的比與相似比有什么關(guān)系呢？

如圖，△ABC∽△A′B′C′,相似比為k.

求證：證明：A'BCAB'C'D'D相似比的平方性質(zhì)定理：性質(zhì)歸納性質(zhì)定理：A'BCAB'C'相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似三角形的面積之比等于相似比的平方；相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.學(xué)以致用

（1）兩個(gè)相似三角形的相似比為2∶3，它們的對(duì)應(yīng)角平分線之比為

，周長(zhǎng)之比為

，面積之比為

；（2）若兩個(gè)相似三角形面積之比為16∶9，則它們的對(duì)應(yīng)高之比為

，對(duì)應(yīng)中線之比為

.（3）如圖若點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，∠ADE＝∠B，F(xiàn)、G分別是BC、BE的中點(diǎn)，設(shè)AD＝3，AB＝5，則=

．

CABEDFG2∶34∶92∶34∶34∶35∶3例題講解例3在△ABC和△DEF中AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.DBCAEF分析：△DEF的邊EF上的高和面積.△ABC的邊BC上的高和面積.轉(zhuǎn)化例題講解DBCAEF解：例3在△ABC和△DEF中AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,若△ABC的